8.5 平行线的性质定理-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

５　平行线的性质定理 【边学边练】 知识点　平行线的性质定理 １．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点Ｅ，Ｄ，Ｂ，Ｆ在同一条直线上，若∠ＡＤＥ＝ １２５°，则∠ＤＢＣ的度数为 （　　） Ａ．１２５° Ｂ．７５° Ｃ．６５° Ｄ．５５° ２．如图，已知ＡＢ∥ＣＤ。 （１）你能找出∠Ｂ，∠Ｄ，∠ＢＥＤ的关系吗？ （２）如果∠Ｂ＝４６°，∠Ｄ＝５８°，则∠ＢＥＤ的度数为多少？ 【随堂小测】 １．如图，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝３０°，ＤＢ平分∠ＡＤＥ，则∠ＤＥＣ的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．１２０° 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 ２．如图，ＤＡ⊥ＡＢ，ＣＤ⊥ＤＡ，∠Ｂ＝５６°，则∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．１５４° Ｂ．１４４° Ｃ．１３４° Ｄ．１２４° ３．如图，已知ａ∥ｂ，直角三角形的直角顶点在直线ａ上，若∠１＝５０°，则∠２＝ （　　） Ａ．４０° Ｂ．５２° Ｃ．２６° Ｄ．３４° １３ ４．如图，点Ａ在直线ＤＥ上，ＤＥ∥ＢＣ，则∠ＢＡＣ＝ 度。 第４题图 　　　 第５题图 ５．如图，直线ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｃ＝４５°，ＡＥ⊥ＣＥ，则∠１＝ 。 ６．（核心素养·推理能力）如图，ＡＢ∥ＤＥ，∠１＝∠２。求证：ＡＥ∥ＤＣ。完成下列推理， 并把每一步的依据填写在后面的括号内。 证明：∵ＡＢ∥ＤＥ（ 　　　）， ∴∠１＝ （ 　　　）。 ∵∠１＝∠２（ 　　　）， ∴ ＝ （ 　　　）。 ∴ＡＥ∥ＤＣ（ 　　　）。 ７．如图，直线 ＥＦ分别与直线 ＡＢ，ＣＤ交于点 Ｅ，Ｆ，ＥＭ平分∠ＢＥＦ，ＦＮ平分∠ＣＦＥ，且 ＥＭ∥ＦＮ。求证：ＡＢ∥ＣＤ。 ８．已知直线ＡＢ∥ＣＤ，点Ｐ是直线ＡＢ，ＣＤ所确定的平面内的一点。 （１）如图１，∠Ａ＝１２０°，∠Ｃ＝１３０°，求∠ＡＰＣ的度数； （２）如图２，写出∠ＡＰＣ，∠Ａ，∠Ｃ之间的数量关系，并说明理由。 图１ 　　　 图２ ２３ C.∠1=∠4，∠1与∠2是对顶角，∴.∠1=∠2=∠4。 ∠2和∠4是同位角，同位角相等，两直线平行，能判 定a∥b,不符合题意； D.∠5+∠6=180°，∠5和∠6是邻补角，不能判定 45 u∥b,符合题意。故远D。 :AB∥CD,∠C=45°， 2.D3.D .∠AFC=∠C=45。 4.内错角相等，两直线平行 AE⊥CE, 5.①②③ .∠AEF=90° 6.(1)解：∠2和∠7 :∠I+∠EAF=I8O°，∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°， (2)证明：∠1=∠3（对顶角相等），∠1=∠2 ∴.∠1=∠AEF+∠AFC=90°+45°=135°- (已知)， 6.证明：AB∥DE(已知)， .∠2=∠3（等量替换）。 ·∠1=∠AED(两直线平行，内错角相等)。 ∴.a∥6（同位角相等，两直线平行）。 :∠1=∠2（已知）， 5平行线的性质定理 ,∠2=∠AED(等量代换) 【边学边练】 ∴.AE∥DC(内错角相等，两直线平行)。 1.D 7.证明：EM平分∠BEF,FN平分∠CFE, 2.解：(1)∠BED=∠B+∠D。理由如下： ∠MEF=∠BEP,∠NE=∠CPE。 如图，过点E作EF∥AB。 :EM∥FN, A .∠MEF=∠NFE。 ∠BF=寸CFE即∠EF=∠CFE。 .AB∥CD AB∥CD, 8.解：(1)如图1，过点P作PQ∥AB, .EF∥AB∥CD B .∠B=∠BEF,∠D=∠DEF。 ∴.∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D D (2)∠BED=∠B+∠D,∠B=46°，∠D=58°， ∴.∠BED=46°+58°=104°。 图1 【随堂小测】 ∴.∠A+∠APQ=180°。 1.B2.D ∠A=120°， 3.A【解析】如图， ,∠APQ=180°-∠A=180°-120°=60° AB∥CD,∴PQ∥CD .∠C+∠GCPQ=180°。 ∠C=130°， .∠CPQ=180°-∠C=180°-130°=50°。 .∠AP℃=∠APQ+∠CPQ=60°+50°=1I0°。 a∥b,.∠2+∠3+∠1=180° (2)∠APC=∠A-∠C。理由如下： ∠3=90°，∠1=50°，.∠2=40°。 如图2，过点P作PQ∥AB, 故选A。 4.46【解析小DE∥BC, ,.∠EAG=180°-124°=56° .∠BAC=180°-∠DAB-∠EAG=180°-78°- 56°=46° 图2 5.135°【解析】如图，延长CE交AB于点F ∴.∠APQ=180°-∠A 105 :AB∥CD,.PQ∥CD AD是△ABC的角平分线 .∠CPQ=180°-∠C ∠APC=∠CPQ-∠APQ, 六∠BD=∠CD=寸∠C=40。 ∴.∠APC=180°-∠C-(180°-∠A)=∠A-∠C。 .∠ADB=80° 6三角形内角和定理 DE是△ADC的高， ! 第1课时三角形内角和定理 ∴.∠DEA=90° .∠ADE=50° 【边学边练】 1.A【解析1小：∠1+∠2+∠A=180°， 第2课时三角形内角和定理的推论 ∠B+∠C+∠A=180°， 【边学边练】 .∠1+∠2=∠B+∠Ce 1.C ∠B=30°，∠C=55°， 2.105 ∴.∠1+∠2=∠B+∠C=30°+55°=85°。 3.解：∠C+∠ADC+∠3=180°（三角形内角和 故选A。 定理)， 2.C【解析】小：∠BAC=80°，∠B=40°， ∠ADC=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相 ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°。 邻的两个内角的和)， CD是∠ACB的平分线， ∴.∠C+∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）。 .LACD-LACB-30 【随堂小测】 1.B【解析】因为三角形的外角与相邻的内角是互补 ∴.∠ADC=180°-∠ACD-∠BAC=70°。 关系，所以当外角是锐角时，相邻的内角一定是钝角， 故选C。 所以该三角形是纯角三角形。故选B。 【随堂小测】 2.D 1.D【解析】，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°， 3.B【解析】EF⊥BC,∠DEF=15°， ∴.∠C=180°-60°-40°=80°。 ! ∴.∠ADB=90°-15°=75°。 DE∥BC,∴.∠AED=∠C=80°。故选D ∠C=35°， 2.B .∠CAD=∠ADB-∠C=75°-35°=40°。 3.A【解析】在△ABC中，，∠A=55°， :AD是∠BAC的平分线， .∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°。 .∠BAC=2∠CAD=80°。 在△DBC中，∠BDC=90°， ∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°。 .∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° 故选B。 ∴.∠ABD+∠ACD=125a-90°=35°。 4.80°【解析】如图，连接AD,延长AD到点E 故选A。 4.B【解析】.∠AOD=80°， .∠A0C=100°。∠A=45°， .∠004=180°-100°-45°=35° :C0是△ABC的角平分线，∴.∠BCD=∠OCA=35°。 :BD∥AC,∴.∠D=∠0CA=35° .在△BCD中，∠CBD=180°-∠D-∠BCD=110°。 故选B。 :∠BDE=∠B+∠BAE,∠CDE=∠C+∠CAE, 5.95°【解析】.0C=0A,∠A0C=130°， .∠BDC=∠B+∠C+∠BAE+∠CAE=∠B+ ÷∠C40=180°，130°=25° ∠C+∠BAC 2 ∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°， 又，∠A0B=70°，，∠CD0=180°-(180°-∠C40- ∴.∠BAC=80° ∠A0B)=∠CA0+∠A0B=25°+70°=95°。 5.140°【解析】如图，由题意，得∠ACB=90°-65°= 6.40 25°。∠A=60°，∴.∠BDE=∠ADC=180°-60° 7.解：在△ABC中，：∠B=60°，∠C=40°， 25°=95°。：∠B=45°，∴a=∠B+∠BDE=45°+ .∠BAC=80°。 95°=140°. 106