8.3 基本事实与定理-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

３　基本事实与定理 【边学边练】 知识点　利用基本事实与定理进行证明 １．数学老师说了下面四句话，其中可以作为定理使用的是 （　　） Ａ．同位角相等 Ｂ．两点之间，线段最短 Ｃ．同旁内角互补 Ｄ．对顶角相等 ２．如图，ａ∥ｂ，将一块三角板的直角顶点放在直线ａ上，若∠１＝４２°，求∠２的度数。以 下是排乱的推理过程： ①因为∠１＝４２° ②因为ａ∥ｂ ③所以∠３＝９０°－４２°＝４８° ④所以∠２＝４８° ⑤所以∠２＝∠３ 推理步骤正确的顺序是 （　　） Ａ．①→③→②→④→⑤ Ｂ．①→③→②→⑤→④ Ｃ．①→⑤→②→③→④ Ｄ．②→③→①→④→⑤ 【随堂小测】 １．（易错题）同一平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一 边相互 （　　） Ａ．平行 Ｂ．垂直 Ｃ．平行或垂直 Ｄ．平行或垂直或相交 ２．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是 （　　） Ａ．两点之间，线段最短 Ｂ．边边边公理 Ｃ．同位角相等，两直线平行 Ｄ．垂线段最短 ３．“同角或等角的补角相等”是 （　　） Ａ．定义 Ｂ．基本事实 Ｃ．定理 Ｄ．假命题 ４．如图，点Ａ是公路ｌ旁的居民点，从点Ａ向公路ｌ修一条连接公路的小路ＡＢ，ＡＢ⊥ｌ， 这样修的依据是 。 ７２ ５．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＥＯ⊥ＡＢ于点 Ｏ，∠ＥＯＤ＝５０°，则∠ＢＯＣ的度数 为 。 ６．如图，在海上有两个观测所Ａ和 Ｂ，且观测所 Ｂ在 Ａ的正东方向。若在 Ａ观测所测 得船Ｍ的航行方向是北偏东５４°，在Ｂ观测所测得船Ｎ的航行方向也是北偏东５４°， 则船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ是否平行？请加以证明。 ７．（核心素养·推理能力）（１）如图，请在ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°，∠ＣＤＡ＝３０°三项中选择 两个作为条件，一个作为结论，写一个命题： 如果 ，那么 ； （２）请证明你写的命题是真命题。 ８．如图，已知ＯＡ∥ＣＤ，ＯＢ∥ＣＤ，那么∠ＡＯＢ是平角，为什么？ ８２ 图１ 　　 图２ 图３ 　　 图４ ４．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线 平行 ５．解：（１）不是命题；（２）是命题。条件：两负数相乘。结 论：积为正数。是真命题；（３）是命题。条件：两个角相 等。结论：这两个角是对顶角。是假命题；（４）是命题。 条件：在同一平面内，过一点画已知直线的垂线。结 论：能够画一条而且只能画一条。是真命题。 ６．解：（１）如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁 内角互补，那么这两条直线平行。 条件：两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角 互补。 结论：这两条直线平行。 （２）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形 的两个底角相等。 条件：一个三角形是等腰三角形。 结论：这个三角形的两个底角相等。 ２　证明的必要性 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ｄ ３．解：这一结论不对。因为３＋３＜８，所以另一边不能 为３，只能为８，此时周长为３＋８＋８＝１９。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ａ　【解析】因为３人分别读了 Ａ，Ｂ，Ｃ三本书，所以 甲：Ａ，Ｂ，Ｃ，乙：Ｂ，Ｃ，Ａ，丙：Ｃ，Ａ，Ｂ。因为甲读的第三 本书是乙读的第二本书，所以丙读的第二本书是甲读 的第一本书。故选Ａ。 ３．①②③　【解析】由题目知每次碰撞都会减少一颗粒 子，现在共有１５颗粒子，碰撞１４次后只剩１颗粒子， （１）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一颗，题 目中开始有４颗乙粒子，１４次碰撞之后剩余的乙粒 子颗数也是偶数不可能是１颗；（２）每次碰撞之后， 甲、丙粒子的总数不变或者减少两颗，题目中甲和丙 粒子之和为１１颗，无论碰撞多少次甲和丙都没有了 是不可能的。综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能 是乙。故正确结论的序号是①②③。 ４．ＣＡＤＢ　【解析】①假设甲说的Ｃ得亚军正确，则甲说 的Ｄ得季军错误，于是乙说的Ａ得亚军错误，则乙说 的Ｄ得冠军正确，故丙说的 Ｂ得亚军正确，与假设甲 说的Ｃ得亚军正确互相矛盾，所以①错误；②假设甲 说的Ｃ得亚军错误，则甲说 Ｄ得季军正确，于是乙说 的Ｄ得冠军错误，则乙说的Ａ得亚军正确，故丙说的 Ｂ得亚军错误，Ｃ得冠军正确，故冠、亚、季、殿军分别 为Ｃ，Ａ，Ｄ，Ｂ。 ５．解：武冠军的做法错误，他将 ＢＤ，ＣＥ当作角平分线， 这是没有根据的。 ６．解：设赤道半径为Ｒｍ， 则缝隙大小为 ２πＲ＋３０ ２π －Ｒ＝１５ π ｍ， 因此一只老鼠和一头大象均能通过。 ３　基本事实与定理 １．Ｄ　２．Ｂ 【随堂小测】 １．Ａ　２．Ａ　３．Ｃ　４．垂线段最短　５．１４０° ６．解：船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 证明：∵船 Ｍ的航行方向与船 Ｎ的航行方向都是北 偏东５４°， ∴∠ＭＡＣ＝∠ＮＢＣ＝３６°。 ∴ＡＭ∥ＢＮ（同位角相等，两直线平行）， 即船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 ７．（１）解：ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°　∠ＣＤＡ＝３０° （２）证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°， ∴∠ＣＤＡ＝∠Ａ＝３０°（两直线平行，内错角相等）。 （本题答案不唯一，合理即可） ８．解：∵ＯＡ∥ＣＤ，ＯＢ∥ＣＤ，且ＯＡ，ＯＢ交于点 Ｏ，根据过 直线ＣＤ外一点Ｏ有且只有一条直线与已知直线ＣＤ 平行，∴ＯＡ，ＯＢ共直线。∴Ａ，Ｏ，Ｂ三点共直线。 ∴∠ＡＯＢ是平角。 ４　平行线的判定定理 【边学边练】 １．Ｂ ２．证明：∵ＣＮ平分∠ＢＣＤ，∴∠ＢＣＤ＝２∠ＢＣＮ。 又∵∠Ｂ＝２∠ＢＣＮ，∴∠Ｂ＝∠ＢＣＤ。 ∴ＡＢ∥ＤＥ（内错角相等，两直线平行）。 【随堂小测】 １．Ｄ　【解析】Ａ．∠２和∠６是内错角，内错角相等，两直 线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意； Ｂ．∠２＋∠３＝１８０°，∠２和∠３是同旁内角，同旁内角 互补，两直线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意                                                               ； ４０１