8.2 证明的必要性-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

２　证明的必要性 【边学边练】 知识点　证明的必要性 １．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 （　　） Ａ．只需观察得出 Ｂ．只需依靠经验获得 Ｃ．通过亲自试验得出 Ｄ．必须进行有根有据的推理 ２．布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手。这四人中有以下情 况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同， 则这四人中最佳选手是 （　　） Ａ．布鲁斯先生 Ｂ．布鲁斯先生的妹妹 Ｃ．布鲁斯先生的儿子 Ｄ．布鲁斯先生的女儿 ３．当等腰三角形三边分别为４，４，５；５，５，６；６，６，７时，其周长分别为４＋４＋５＝１３，５＋ ５＋６＝１６，６＋６＋７＝１９，那么，等腰三角形的两条边分别为３和８时，其周长一定为 １４，这一结论对吗？ 【随堂小测】 １．下列推理正确的是 （　　） Ａ．弟弟今年１３岁，哥哥比弟弟大６岁，到了明年，哥哥比弟弟只大５岁了，因为弟弟 明年比今年长大了１岁 Ｂ．如果ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ Ｃ．∠Ａ与∠Ｂ相等，原因是它们看起来大小差不多 Ｄ．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必然是对顶角 ２．甲、乙、丙３人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交 换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这３本书。已知甲读的第三本书是乙 读的第二本书，则丙读的第二本书是 （　　） 甲 乙 丙 书Ａ 书Ｂ 书Ｃ Ａ．书Ａ Ｂ．书Ｂ Ｃ．书Ｃ Ｄ．无法确定 ５２ ３．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子； 不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子。例如一颗甲粒子和一颗乙粒子 发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子６颗，乙粒子４颗，丙粒子５颗，如果经过各 种两两碰撞后，只剩下１颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子； ②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子。其中正确结论的 序号是 。 ４．某县某中学七年级共有四个班，每班各选５名同学组成一个代表队，这四支代表队 （分别用Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加县数学知识竞赛， 甲、乙、丙三位同学预测的结果分别为甲：Ｃ得亚军，Ｄ得季军；乙：Ｄ得冠军，Ａ得亚 军；丙：Ｃ得冠军，Ｂ得亚军。已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠、亚、季、 殿军分别为 。 ５．（核心素养·推理能力）如图，已知∠Ａ＝５５°，∠ＡＢＤ＝３０°，∠ＡＣＥ＝３５°。求∠ＢＯＣ 的度数。 对于此题，武冠军的做法： 因为∠ＡＢＤ＝３０°，∠ＡＣＥ＝３５°， 所以∠ＤＢＣ＝３０°，∠ＥＣＢ＝３５°。 所以∠ＢＯＣ＝１８０°－３０°－３５°＝１１５°。 许博文的做法： 因为∠ＡＢＤ＝３０°，∠ＡＣＥ＝３５°，∠Ａ＝５５°， 所以∠ＯＢＣ＋∠ＯＣＢ＝１８０°－３０°－３５°－５５°＝６０°。 所以∠ＢＯＣ＝１８０°－６０°＝１２０°。 武冠军和许博文谁的做法错误？错在哪里？ ６．如果用一根很长的绳子沿着地球赤道绕１圈，然后把绳子放长３０ｍ，想象一下，这根 绳子与地球赤道之间的缝隙有多大？假设各处的缝隙是均匀的，一只老鼠能穿过 吗？一头大象呢？ ６２ 图１ 　　 图２ 图３ 　　 图４ ４．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线 平行 ５．解：（１）不是命题；（２）是命题。条件：两负数相乘。结 论：积为正数。是真命题；（３）是命题。条件：两个角相 等。结论：这两个角是对顶角。是假命题；（４）是命题。 条件：在同一平面内，过一点画已知直线的垂线。结 论：能够画一条而且只能画一条。是真命题。 ６．解：（１）如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁 内角互补，那么这两条直线平行。 条件：两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角 互补。 结论：这两条直线平行。 （２）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形 的两个底角相等。 条件：一个三角形是等腰三角形。 结论：这个三角形的两个底角相等。 ２　证明的必要性 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ｄ ３．解：这一结论不对。因为３＋３＜８，所以另一边不能 为３，只能为８，此时周长为３＋８＋８＝１９。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ａ　【解析】因为３人分别读了 Ａ，Ｂ，Ｃ三本书，所以 甲：Ａ，Ｂ，Ｃ，乙：Ｂ，Ｃ，Ａ，丙：Ｃ，Ａ，Ｂ。因为甲读的第三 本书是乙读的第二本书，所以丙读的第二本书是甲读 的第一本书。故选Ａ。 ３．①②③　【解析】由题目知每次碰撞都会减少一颗粒 子，现在共有１５颗粒子，碰撞１４次后只剩１颗粒子， （１）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一颗，题 目中开始有４颗乙粒子，１４次碰撞之后剩余的乙粒 子颗数也是偶数不可能是１颗；（２）每次碰撞之后， 甲、丙粒子的总数不变或者减少两颗，题目中甲和丙 粒子之和为１１颗，无论碰撞多少次甲和丙都没有了 是不可能的。综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能 是乙。故正确结论的序号是①②③。 ４．ＣＡＤＢ　【解析】①假设甲说的Ｃ得亚军正确，则甲说 的Ｄ得季军错误，于是乙说的Ａ得亚军错误，则乙说 的Ｄ得冠军正确，故丙说的 Ｂ得亚军正确，与假设甲 说的Ｃ得亚军正确互相矛盾，所以①错误；②假设甲 说的Ｃ得亚军错误，则甲说 Ｄ得季军正确，于是乙说 的Ｄ得冠军错误，则乙说的Ａ得亚军正确，故丙说的 Ｂ得亚军错误，Ｃ得冠军正确，故冠、亚、季、殿军分别 为Ｃ，Ａ，Ｄ，Ｂ。 ５．解：武冠军的做法错误，他将 ＢＤ，ＣＥ当作角平分线， 这是没有根据的。 ６．解：设赤道半径为Ｒｍ， 则缝隙大小为 ２πＲ＋３０ ２π －Ｒ＝１５ π ｍ， 因此一只老鼠和一头大象均能通过。 ３　基本事实与定理 １．Ｄ　２．Ｂ 【随堂小测】 １．Ａ　２．Ａ　３．Ｃ　４．垂线段最短　５．１４０° ６．解：船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 证明：∵船 Ｍ的航行方向与船 Ｎ的航行方向都是北 偏东５４°， ∴∠ＭＡＣ＝∠ＮＢＣ＝３６°。 ∴ＡＭ∥ＢＮ（同位角相等，两直线平行）， 即船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 ７．（１）解：ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°　∠ＣＤＡ＝３０° （２）证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°， ∴∠ＣＤＡ＝∠Ａ＝３０°（两直线平行，内错角相等）。 （本题答案不唯一，合理即可） ８．解：∵ＯＡ∥ＣＤ，ＯＢ∥ＣＤ，且ＯＡ，ＯＢ交于点 Ｏ，根据过 直线ＣＤ外一点Ｏ有且只有一条直线与已知直线ＣＤ 平行，∴ＯＡ，ＯＢ共直线。∴Ａ，Ｏ，Ｂ三点共直线。 ∴∠ＡＯＢ是平角。 ４　平行线的判定定理 【边学边练】 １．Ｂ ２．证明：∵ＣＮ平分∠ＢＣＤ，∴∠ＢＣＤ＝２∠ＢＣＮ。 又∵∠Ｂ＝２∠ＢＣＮ，∴∠Ｂ＝∠ＢＣＤ。 ∴ＡＢ∥ＤＥ（内错角相等，两直线平行）。 【随堂小测】 １．Ｄ　【解析】Ａ．∠２和∠６是内错角，内错角相等，两直 线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意； Ｂ．∠２＋∠３＝１８０°，∠２和∠３是同旁内角，同旁内角 互补，两直线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意                                                               ； ４０１