8.1 定义与命题-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

第八章　平行线的有关证明 １　定义与命题 【边学边练】 知识点一　定义 １．下列语句中，属于定义的是 （　　） Ａ．两点之间，线段最短 Ｂ．三人行，必有我师焉 Ｃ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 Ｄ．两条直线相交，只有一个交点 知识点二　命题及其组成 ２．下列语句中，是命题的是 （　　） Ａ．有公共顶点的两个角是对顶角 Ｂ．在直线ＡＢ上任取一点Ｃ Ｃ．今天天气真好啊 Ｄ．直角都相等吗 ３．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件、结论。 （１）９０°的角是直角； 　； （２）等角的余角相等。 　。 知识点三　真、假命题 ４．下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③ａ，ｂ，ｃ是同一平面内的三条直 线，若ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则ａ∥ｃ；④ａ，ｂ，ｃ是同一平面内的三条直线，若ａ⊥ｂ，ｂ⊥ｃ，则ａ⊥ｃ。 其中真命题的个数为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 【随堂小测】 １．下列语句属于命题的是 （　　） Ａ．你今天打卡了吗？ Ｂ．请戴好口罩！ Ｃ．画出两条相等的线段 Ｄ．同位角相等 ３２ ２．下列语句是真命题的有 （　　） ①垂线段最短；②两直线平行，同旁内角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相 平行。 Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ３．能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是 （　　） Ａ 　　　 Ｂ 　　　 Ｃ 　　　 Ｄ ４．将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形 式： 　。 ５．判断下列语句是不是命题，是命题的指出其条件和结论，并判断其真假。 （１）开发大西北； （２）两负数之积为正数； （３）相等的角是对顶角； （４）在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。 ６．先将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论。 （１）同旁内角互补，两直线平行； （２）等腰三角形的两底角相等。 ４２ 把ｘ＝２５，ｚ＝－ ２ ２５代入②，得 ２ ５－ｙ－ ６ ２５＝４， 解得ｙ＝－９６２５。 所以方程组的解为 ｘ＝２５， ｙ＝－９６２５， ｚ＝－２２５        。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ｃ　【解析】根据题意，得 ａ＋２ｂ＝６，① ２ｂ＋ｃ＝１０，② ２ｃ＝１６。 { ③ 由③，得ｃ＝８，将ｃ＝８代入②，得ｂ＝１。将ｂ＝１代入 ①，得ａ＝４。所以 ａ＝４， ｂ＝１， ｃ＝８ { 。 所以发送方发送的信息为 ４，１，８。故选Ｃ。 ３．１００　【解析】设一件甲商品ｘ元，一件乙商品ｙ元，一 件丙商品ｚ元。 根据题意，得 ５ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３１５，① ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝２８５。{ ② ①＋②，得６ｘ＋６ｙ＋６ｚ＝６００， 所以ｘ＋ｙ＋ｚ＝１００。 ４．解：原式化为 ｘ－２ｙ＋ｚ＝３，① ２ｘ－ｙ＋ｚ＝３。{ ② ②－①，得ｘ＋ｙ＝０，即ｘ和ｙ互为相反数。 因为ｘ，ｙ，ｚ的值中仅有一个为０，所以ｚ＝０。 由 ｘ＋ｙ＝０， ｘ－２ｙ＝３{ ，解得 ｘ＝１，ｙ＝－１{ 。 所以原方程组的解为 ｘ＝１， ｙ＝－１， ｚ＝０ { 。 ５．解：设这个三角形的三边长分别为ａｃｍ，ｂｃｍ，ｃｃｍ。 根据题意，得 ａ＋ｂ＋ｃ＝１８， ａ＋ｂ＝２ｃ， ａ－ｂ＝１３ｃ { 。 解得 ａ＝７， ｂ＝５， ｃ＝６ { 。 答：这个三角形的三边长分别为７ｃｍ，５ｃｍ，６ｃｍ。 ６．解：设甲每小时进水ｘ吨，乙每小时进水ｙ吨，丙每小 时出水ｚ吨。 根据题意，得 ４ｘ＋２ｙ－２ｚ＝５，① ２ｘ＋３ｙ－ｚ＝４。{ ② ②×２－①，得４ｙ＝３， 所以ｙ＝３４。 将ｙ＝３４代入①，得４ｘ－２ｚ＝ ７ ２， 所以８ｘ＋８ｙ－４ｚ＝８ｘ－４ｚ＋８ｙ＝２×７２＋８× ３ ４＝１３。 答：水池中余水１３吨。 第八章　平行线的有关证明 １　定义与命题 【边学边练】 １．Ｃ　２．Ａ ３．（１）如果一个角是９０°，那么这个角是直角。 条件：一个角是９０°。 结论：这个角是直角 （２）如果两个角相等，那么这两个角的余角相等。 条件：两个角相等。 结论：这两个角的余角相等 ４．Ａ　【解析】两直线平行，内错角相等，故①是假命题； 两个锐角的和不一定是钝角，例如３０°和６０°，这两个 锐角的和就不是钝角，故②是假命题；ａ，ｂ，ｃ是同一平 面内的三条直线，若ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则ａ∥ｃ，正确，故③是 真命题；ａ，ｂ，ｃ是同一平面内的三条直线，若 ａ⊥ｂ， ｂ⊥ｃ，则ａ∥ｃ，故④是假命题。所以真命题为③。 故选Ａ。 【随堂小测】 １．Ｄ ２．Ｂ　【解析】垂线段最短，①是真命题；两直线平行，同 旁内角互补，②是假命题；在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；在同一 平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这 两条直线互相平行，④是真命题。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．如图 １，∠１是锐角，且∠１＝１８０°－ （１８０°－α－β）＝α＋β，所以此图说明“锐角α，锐角β 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；Ｂ．如 图２，∠２是锐角，且∠２＝１８０°－（１８０°－α－β）＝α＋ β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命 题，故本选项不符合题意；Ｃ．如图３，∠３是钝角，且 ∠３＝１８０°－（１８０°－α－β）＝α＋β，所以此图说明 “锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符 合题意；Ｄ．如图 ４，∠４是锐角，且∠４＝１８０°－ （１８０°－α－β）＝α＋β，所以此图说明“锐角α，锐角β 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意。 故选Ｃ                                                               。 ３０１ 图１ 　　 图２ 图３ 　　 图４ ４．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线 平行 ５．解：（１）不是命题；（２）是命题。条件：两负数相乘。结 论：积为正数。是真命题；（３）是命题。条件：两个角相 等。结论：这两个角是对顶角。是假命题；（４）是命题。 条件：在同一平面内，过一点画已知直线的垂线。结 论：能够画一条而且只能画一条。是真命题。 ６．解：（１）如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁 内角互补，那么这两条直线平行。 条件：两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角 互补。 结论：这两条直线平行。 （２）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形 的两个底角相等。 条件：一个三角形是等腰三角形。 结论：这个三角形的两个底角相等。 ２　证明的必要性 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ｄ ３．解：这一结论不对。因为３＋３＜８，所以另一边不能 为３，只能为８，此时周长为３＋８＋８＝１９。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ａ　【解析】因为３人分别读了 Ａ，Ｂ，Ｃ三本书，所以 甲：Ａ，Ｂ，Ｃ，乙：Ｂ，Ｃ，Ａ，丙：Ｃ，Ａ，Ｂ。因为甲读的第三 本书是乙读的第二本书，所以丙读的第二本书是甲读 的第一本书。故选Ａ。 ３．①②③　【解析】由题目知每次碰撞都会减少一颗粒 子，现在共有１５颗粒子，碰撞１４次后只剩１颗粒子， （１）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一颗，题 目中开始有４颗乙粒子，１４次碰撞之后剩余的乙粒 子颗数也是偶数不可能是１颗；（２）每次碰撞之后， 甲、丙粒子的总数不变或者减少两颗，题目中甲和丙 粒子之和为１１颗，无论碰撞多少次甲和丙都没有了 是不可能的。综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能 是乙。故正确结论的序号是①②③。 ４．ＣＡＤＢ　【解析】①假设甲说的Ｃ得亚军正确，则甲说 的Ｄ得季军错误，于是乙说的Ａ得亚军错误，则乙说 的Ｄ得冠军正确，故丙说的 Ｂ得亚军正确，与假设甲 说的Ｃ得亚军正确互相矛盾，所以①错误；②假设甲 说的Ｃ得亚军错误，则甲说 Ｄ得季军正确，于是乙说 的Ｄ得冠军错误，则乙说的Ａ得亚军正确，故丙说的 Ｂ得亚军错误，Ｃ得冠军正确，故冠、亚、季、殿军分别 为Ｃ，Ａ，Ｄ，Ｂ。 ５．解：武冠军的做法错误，他将 ＢＤ，ＣＥ当作角平分线， 这是没有根据的。 ６．解：设赤道半径为Ｒｍ， 则缝隙大小为 ２πＲ＋３０ ２π －Ｒ＝１５ π ｍ， 因此一只老鼠和一头大象均能通过。 ３　基本事实与定理 １．Ｄ　２．Ｂ 【随堂小测】 １．Ａ　２．Ａ　３．Ｃ　４．垂线段最短　５．１４０° ６．解：船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 证明：∵船 Ｍ的航行方向与船 Ｎ的航行方向都是北 偏东５４°， ∴∠ＭＡＣ＝∠ＮＢＣ＝３６°。 ∴ＡＭ∥ＢＮ（同位角相等，两直线平行）， 即船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 ７．（１）解：ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°　∠ＣＤＡ＝３０° （２）证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°， ∴∠ＣＤＡ＝∠Ａ＝３０°（两直线平行，内错角相等）。 （本题答案不唯一，合理即可） ８．解：∵ＯＡ∥ＣＤ，ＯＢ∥ＣＤ，且ＯＡ，ＯＢ交于点 Ｏ，根据过 直线ＣＤ外一点Ｏ有且只有一条直线与已知直线ＣＤ 平行，∴ＯＡ，ＯＢ共直线。∴Ａ，Ｏ，Ｂ三点共直线。 ∴∠ＡＯＢ是平角。 ４　平行线的判定定理 【边学边练】 １．Ｂ ２．证明：∵ＣＮ平分∠ＢＣＤ，∴∠ＢＣＤ＝２∠ＢＣＮ。 又∵∠Ｂ＝２∠ＢＣＮ，∴∠Ｂ＝∠ＢＣＤ。 ∴ＡＢ∥ＤＥ（内错角相等，两直线平行）。 【随堂小测】 １．Ｄ　【解析】Ａ．∠２和∠６是内错角，内错角相等，两直 线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意； Ｂ．∠２＋∠３＝１８０°，∠２和∠３是同旁内角，同旁内角 互补，两直线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意                                                               ； ４０１