7.5 三元一次方程组-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

５　三元一次方程组 【边学边练】 知识点一　三元一次方程组的有关概念 １．下列方程组是三元一次方程组的是 （　　） Ａ． ｘ－２ｙ＝１， ｘ２＝３， ｙ－ｚ { ＝５ Ｂ． ｘ＋３ｙ－６ｚ＝２， ｘ＋２ｚ＝３， ｙ－５ｚ { ＝５ Ｃ． ｘ＝２， ｘｙ＝３， ｘ－３ｚ { ＝６ Ｄ． ｘ－ｚ＝２， ｙ＋ｚ＝－３， ｚ ｘ        ＝２ 知识点二　三元一次方程组的解法 ２．观察方程组 ５ｘ＋４ｙ－３ｚ＝１， ２ｘ－２ｙ＋５ｚ＝１１， ７ｘ＋２ｚ { ＝６ 的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取 （　　） Ａ．先消去ｘ Ｂ．先消去ｙ Ｃ．先消去ｚ Ｄ．以上说法都不对 ３．解方程组： ２ｘ－３ｙ＋４ｚ＝１２， ｘ－ｙ＋３ｚ＝４， ４ｘ＋ｙ－３ｚ＝－２ { 。 【随堂小测】 １．解方程组 ２ｘ－ｙ＋３ｚ＝１， ３ｘ＋ｙ－７ｚ＝２， ５ｘ－ｙ＋３ｚ＝３ { ， 如果要使运算简便，那么消元时最好应 （　　） Ａ．先消去ｘ Ｂ．先消去ｙ Ｃ．先消去ｚ Ｄ．先消常数项 ２．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方把信息加密后发送给接收方，接收方收到 信息解密后才能使用信息，加密规则为ａ，ｂ，ｃ加密为ａ＋２ｂ，２ｂ＋ｃ，２ｃ。例如：１，２，３ 加密后为５，７，６，当接收方收到信息６，１０，１６时，发送方发送的信息为 （　　） Ａ．４，１，１ Ｂ．４，６，７ Ｃ．４，１，８ Ｄ．１，６，８ １２ ３．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲种商品 ５件、乙种商品 ３件、丙种商品 １件共需 ３１５元钱，购甲种商品１件、乙种商品３件、丙种商品５件共需２８５元钱，那么购甲、 乙、丙三种商品各一件共需 元钱。 ４．（核心素养·运算能力）已知ｘ－２ｙ＋ｚ＝２ｘ－ｙ＋ｚ＝３，且ｘ，ｙ，ｚ的值中仅有一个为０， 解这个方程组。 ５．已知某个三角形的周长为１８ｃｍ，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的２倍， 而它们的差等于第三条边长度的 １ ３，求这个三角形三边的长度。 ６．一个水池装有两个进水管甲、乙和一个出水管丙。若打开甲水管４小时、乙水管２小 时、丙水管２小时，则水池中余水５吨；若打开甲水管２小时、乙水管３小时、丙水管 １小时，则水池中余水４吨。问打开甲水管８小时、乙水管８小时、丙水管４小时，水 池中余水多少吨？ ２２ 所以△ＰＡＢ的面积为 １２×［１－（－２）］×２＝ １ ２× ３×２＝３。 第２课时　待定系数法求一次函数的表达式 【边学边练】 １．ｙ＝ｘ－１ ２．解：设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 因为点（５０，４０），（６０，３８）满足函数表达式， 所以 ５０ｋ＋ｂ＝４０， ６０ｋ＋ｂ＝３８{ 。 解得 ｋ＝－１５， ｂ＝５０ { 。 所以ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝－１５ｘ＋５０。 【随堂小测】 １．Ｃ ２．Ｂ　【解析】设过点（－４，０），（０，４）的直线的表达式 为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则 －４ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝４{ 。 解得 ｋ＝１，ｂ＝４{ 。 所以过点（－４，０）和（０，４）的直线的表达式为 ｙ＝ ｘ＋４； 设过点（－２，２），（０，－６）的直线的表达式为 ｙ＝ ｍｘ＋ｎ，则 －２ｍ＋ｎ＝２， ｎ＝－６{ 。 解得 ｍ＝－４，ｎ＝－６{ 。 所以过点（－２，２），（０，－６）的直线的表达式为 ｙ＝ －４ｘ－６。 所以所解的二元一次方程组为 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝－４ｘ－６{ 。 故选Ｂ。 ３．Ｃ ４．（１）２　－１　（２）－２８　（３）－２８ ５．解：（１）因为一次函数 ｙ＝－ｘ－１２的图象经过点 Ａ（ｍ，１）， 所以１＝－ｍ－１２，解得ｍ＝－ ３ ２。 所以点Ａ的坐标为 －３２，( )１。 将Ａ －３２，( )１，Ｂ（２，８）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 －３２ｋ＋ｂ＝１， ２ｋ＋ｂ＝８ { 。 解得 ｋ＝２， ｂ＝４{ 。 所以一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的表达式为ｙ＝２ｘ＋４。 （２） ｘ＝－３２， ｙ { ＝１ ６．解：（１）设直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 因为直线过点Ａ（４，２），Ｃ（０，６），所以 ４ｋ＋ｂ＝２， ｂ＝６{ 。 解得 ｋ＝－１， ｂ＝６{ 。 所以直线ＡＣ的表达式为ｙ＝－ｘ＋６。 （２）在ｙ＝－ｘ＋６中，当ｙ＝０时，ｘ＝６， 所以点Ｂ的坐标为（６，０），即ＯＢ＝６。 所以△ＡＯＢ的面积＝１２×ｙＡ×ＯＢ＝ １ ２×２×６＝６。 ７．解：（１）设函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ。 将（１．６，０），（２．６，８０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ０＝１．６ｋ＋ｂ， ８０＝２．６ｋ＋ｂ{ 。 解得 ｋ＝８０， ｂ＝－１２８{ 。 所以ｙ关于 ｘ的函数表达式为 ｙ＝８０ｘ－１２８（１．６≤ ｘ≤３．１）。 （２）根据图象可知货车甲的速度为 ８０÷１．６＝ ５０（千米／小时）， 所以货车甲正常到达Ｂ地的时间为２００÷５０＝４（小时）。 １８÷６０＝０．３（小时），４＋１＝５（小时）。 当ｙ＝２００－８０＝１２０时，１２０＝８０ｘ－１２８， 解得ｘ＝３．１。 ５－３．１－０．３＝１．６（小时）。 设货车乙返回Ｂ地的车速为ｖ千米／小时， 所以１．６ｖ＝１２０。 解得ｖ＝７５。 答：货车乙返回Ｂ地的速度为７５千米／小时。 ５　三元一次方程组 【边学边练】 １．Ｂ ２．Ｂ　【解析】 ５ｘ＋４ｙ－３ｚ＝１，① ２ｘ－２ｙ＋５ｚ＝１１，② ７ｘ＋２ｚ＝６， { ③ 根据③中不含未知数ｙ，即先消去 ｙ，得到关于 ｘ，ｚ的 二元一次方程组。故选Ｂ。 ３．解： ２ｘ－３ｙ＋４ｚ＝１２，① ｘ－ｙ＋３ｚ＝４，② ４ｘ＋ｙ－３ｚ＝－２， { ③ ①＋③×３，得１４ｘ－５ｚ＝６。④ ②＋③，得５ｘ＝２，解得ｘ＝２５。 把ｘ＝２５代入④，得 ２８ ５－５ｚ＝６， 解得ｚ＝－２２５                                                               。 ２０１ 把ｘ＝２５，ｚ＝－ ２ ２５代入②，得 ２ ５－ｙ－ ６ ２５＝４， 解得ｙ＝－９６２５。 所以方程组的解为 ｘ＝２５， ｙ＝－９６２５， ｚ＝－２２５        。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ｃ　【解析】根据题意，得 ａ＋２ｂ＝６，① ２ｂ＋ｃ＝１０，② ２ｃ＝１６。 { ③ 由③，得ｃ＝８，将ｃ＝８代入②，得ｂ＝１。将ｂ＝１代入 ①，得ａ＝４。所以 ａ＝４， ｂ＝１， ｃ＝８ { 。 所以发送方发送的信息为 ４，１，８。故选Ｃ。 ３．１００　【解析】设一件甲商品ｘ元，一件乙商品ｙ元，一 件丙商品ｚ元。 根据题意，得 ５ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３１５，① ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝２８５。{ ② ①＋②，得６ｘ＋６ｙ＋６ｚ＝６００， 所以ｘ＋ｙ＋ｚ＝１００。 ４．解：原式化为 ｘ－２ｙ＋ｚ＝３，① ２ｘ－ｙ＋ｚ＝３。{ ② ②－①，得ｘ＋ｙ＝０，即ｘ和ｙ互为相反数。 因为ｘ，ｙ，ｚ的值中仅有一个为０，所以ｚ＝０。 由 ｘ＋ｙ＝０， ｘ－２ｙ＝３{ ，解得 ｘ＝１，ｙ＝－１{ 。 所以原方程组的解为 ｘ＝１， ｙ＝－１， ｚ＝０ { 。 ５．解：设这个三角形的三边长分别为ａｃｍ，ｂｃｍ，ｃｃｍ。 根据题意，得 ａ＋ｂ＋ｃ＝１８， ａ＋ｂ＝２ｃ， ａ－ｂ＝１３ｃ { 。 解得 ａ＝７， ｂ＝５， ｃ＝６ { 。 答：这个三角形的三边长分别为７ｃｍ，５ｃｍ，６ｃｍ。 ６．解：设甲每小时进水ｘ吨，乙每小时进水ｙ吨，丙每小 时出水ｚ吨。 根据题意，得 ４ｘ＋２ｙ－２ｚ＝５，① ２ｘ＋３ｙ－ｚ＝４。{ ② ②×２－①，得４ｙ＝３， 所以ｙ＝３４。 将ｙ＝３４代入①，得４ｘ－２ｚ＝ ７ ２， 所以８ｘ＋８ｙ－４ｚ＝８ｘ－４ｚ＋８ｙ＝２×７２＋８× ３ ４＝１３。 答：水池中余水１３吨。 第八章　平行线的有关证明 １　定义与命题 【边学边练】 １．Ｃ　２．Ａ ３．（１）如果一个角是９０°，那么这个角是直角。 条件：一个角是９０°。 结论：这个角是直角 （２）如果两个角相等，那么这两个角的余角相等。 条件：两个角相等。 结论：这两个角的余角相等 ４．Ａ　【解析】两直线平行，内错角相等，故①是假命题； 两个锐角的和不一定是钝角，例如３０°和６０°，这两个 锐角的和就不是钝角，故②是假命题；ａ，ｂ，ｃ是同一平 面内的三条直线，若ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则ａ∥ｃ，正确，故③是 真命题；ａ，ｂ，ｃ是同一平面内的三条直线，若 ａ⊥ｂ， ｂ⊥ｃ，则ａ∥ｃ，故④是假命题。所以真命题为③。 故选Ａ。 【随堂小测】 １．Ｄ ２．Ｂ　【解析】垂线段最短，①是真命题；两直线平行，同 旁内角互补，②是假命题；在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；在同一 平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这 两条直线互相平行，④是真命题。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】Ａ．如图 １，∠１是锐角，且∠１＝１８０°－ （１８０°－α－β）＝α＋β，所以此图说明“锐角α，锐角β 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；Ｂ．如 图２，∠２是锐角，且∠２＝１８０°－（１８０°－α－β）＝α＋ β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命 题，故本选项不符合题意；Ｃ．如图３，∠３是钝角，且 ∠３＝１８０°－（１８０°－α－β）＝α＋β，所以此图说明 “锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符 合题意；Ｄ．如图 ４，∠４是锐角，且∠４＝１８０°－ （１８０°－α－β）＝α＋β，所以此图说明“锐角α，锐角β 的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意。 故选Ｃ                                                               。 ３０１