第01讲 一元二次方程 （3个知识点+4种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01讲 一元二次方程 （3个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2023春•邗江区校级期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为　　 A． B．3 C． D．不能确定 【变式1】（2023秋•锡山区校级月考）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•梁溪区校级期末）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　　． 【变式3】若是关于的一元二次方程，则　　． 【变式4】（2020秋•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值，并解此方程； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】（2022秋•建邺区期中）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•秦淮区校级月考）一元二次方程的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为　　 A．3，1 B．， C．3， D．， 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）关于的一元二次方程化为一般形式是 　　． 【变式3】（2021春•射阳县校级期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0． （1）求的值； （2）求此时一元二次方程的解． 【变式4】（2023秋•赣榆区校级月考）阅读理解： 定义：如果关于的方程，、、是常数）与，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程的“对称方程”是 　　． （2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例3】（江阴市期末）是方程的根，则式子的值为　　 A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【变式1】（2024•仪征市一模）若是关于的方程的解，则的值为 　　． 【变式2】（2024•常州模拟）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【变式3】（2023秋•京口区期中）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 　　． 【变式4】（2023秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值． 经典题型汇编 题型一.一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．0 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 4．（20-21九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个解为0，试求的值． 题型二.一元二次方程的一般形式 5．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　） A． B．8 C．10 D． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（  ） A．3，5 B．3， C．3， D．5，0 7．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）把方程化为的形式为 ． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）方程化成一般形式为 ． 题型三.一元一次方程的解 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 11．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）方程的一个根是，那么a的值是 ． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值其中是方程的根． 题型四.一元二次方程的解的估算 13．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 14．（23-24九年级上·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 15．（23-24九年级上·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 16．（23-24九年级上·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（　　） A．4 B． C． D．1 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D．为一切实数 5．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）关于x的方程的一根是1，则m的值是（　　） A． B．3 C． D．2 6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的一元二次方程的一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．－2 D．－10 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 8．（九年级上·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（    ） …… …… …… …… A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．或 B．或1 C．1或3 D．或 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 12．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式为 ． 14．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、，则这个一元二次方程可以是 ． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为 ． 18．（22-23九年级上·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 三、解答题 19．（2021九年级上·全国·专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）； （2）． 20．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知方程和有共同的根是，求的值． 21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 22．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值：，其中m是方程的根． 23．（21-22九年级·全国·假期作业）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值． 24．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 25．（22-23九年级上·开学考试）已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 26．（23-24九年级上·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 （3个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2023春•邗江区校级期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为　　 A． B．3 C． D．不能确定 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【解答】解：由关于的方程是一元二次方程，得 且． 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式1】（2023秋•锡山区校级月考）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 【变式2】（2023秋•梁溪区校级期末）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　　． 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：根据一元二次方程的定义可得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【变式3】若是关于的一元二次方程，则　1　． 【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答． 【解答】解：因为原式是关于的一元二次方程， 所以， 解得． 又因为， 所以， 于是． 【点评】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是． 【变式4】（2020秋•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值，并解此方程； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得的值，进一步可求出方程的解； （2）当或时方程为一元一次方程，求出的值，进一步解方程即可． 【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得，此时方程为，解得，； （2）由题可知或或时方程可能为一元一次方程 当时，解得，此时方程为，解得， 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解． 【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉的情况． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】（2022秋•建邺区期中）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【解答】解：， ， ， 即将方程化成一般形式为， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 【变式1】（2022秋•秦淮区校级月考）一元二次方程的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为　　 A．3，1 B．， C．3， D．， 【分析】根据一次项系数是6化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【解答】解：， ， ， 一次项系数是6， 二次项系数是，常数项是， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）关于的一元二次方程化为一般形式是 　　． 【分析】根据移项法则进行变形即可． 【解答】解：关于的一元二次方程化为一般形式是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数，叫做一次项，叫做常数项． 【变式3】（2021春•射阳县校级期末）已知关于的一元二次方程的常数项为0． （1）求的值； （2）求此时一元二次方程的解． 【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于的等式进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出方程的解． 【解答】解：（1）由题意，得： 解之，得或①， 由，得：②， 由①，②得：； （2）当时，代入， 得， 解得：，． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 【变式4】（2023秋•赣榆区校级月考）阅读理解： 定义：如果关于的方程，、、是常数）与，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程的“对称方程”是 　　． （2）若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，再解即可． 【解答】解：（1）由题意得：方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）由， 移项可得：， 方程与为对称方程， ，， 解得：，， ， 答：的值是1． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例3】（江阴市期末）是方程的根，则式子的值为　　 A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【分析】因为是方程的根，得到，求出，把，代入得到求出即可． 【解答】解：是方程的根， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，代数式求值等知识点的理解和掌握，能把代数式变形后进行整体代入是解此题的关键． 【变式1】（2024•仪征市一模）若是关于的方程的解，则的值为 　2020　． 【分析】把代入方程求出的值，再将所求式子变形，然后将的值代入计算即可． 【解答】解：是关于的方程的解， ， 化简，得：， ， 故答案为：2020． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式2】（2024•常州模拟）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键． 【变式3】（2023秋•京口区期中）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 　　． 【分析】将代入方程得到关于的方程，解得即可． 【解答】解：根据题意，将代入方程得到：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【变式4】（2023秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值． 【分析】通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【解答】解：解方程，得：，． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，，符合题意， ． 综上所述：的值为1或． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．先根据一元二次方程的定义及一般形式列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，常数项是0， ∴， 解得． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B．是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．是一元二次方程，故选项正确，符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于0解答即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， k的取值范围是． 故答案为：． 4．（20-21九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个解为0，试求的值． 【答案】1 【分析】据方程根的意义，把x=0代入方程得到关于m的方程，求出m的值再代入到2m-1中，问题可解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴， ∴m=±1， ∵m+1≠0， ∴m=1， ∴2m-1=2-1=1． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念和方程根的概念．其易错点是对于一般形式的一元二次方程，要注意． 题型二.一元二次方程的一般形式 5．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　） A． B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，通过移项将右边常数项变号后移到左边即可． 【详解】解：方程整理得：其中二次项系数为1，常数项为． 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（  ） A．3，5 B．3， C．3， D．5，0 【答案】B 【分析】将方程转化为一般形式，判断即可． 【详解】解：，整理，得：， ∴二次项系数和一次项系数分别是3，； 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项． 7．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）把方程化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，展开移项合并同类项即可． 【详解】解： 即 即 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键． 题型三.一元一次方程的解 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， 则， 故选：． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查代数式的值及一元二次方程的解．把m代入方程可得，然后利用整体代入求解即可． 【详解】解：把m代入方程可得， ∴， ∴ ； 故答案为：2023． 11．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）方程的一个根是，那么a的值是 ． 【答案】3 【分析】 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将代入原方程中，得到关于a的一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴，即：， ∴， 故答案为：3． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值其中是方程的根． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入方程得到的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ∵是方程的根，   ∴，即， ∴原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型四.一元二次方程的解的估算 13．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【答案】B 【分析】通过观察表格可得时，，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当时，， 当时，， ∴时，， ∴解的整数部分是，十分位是． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 14．（23-24九年级上·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 15．（23-24九年级上·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】 解：A、该方程含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意． B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． C、该方程化简后只含有一个未知数，且未知数的次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意． D、一元二次方程一般形式为，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为（　　） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是，一次项系数为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、x的最高次数为1，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、当时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；，根据一元二次方程的定义即可求解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故选：A． 5．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）关于x的方程的一根是1，则m的值是（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 把代入原方程，求解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 所以． 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的一元二次方程的一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．－2 D．－10 【答案】A 【分析】根据题意，将代入方程得到关于m的方程， 计算可到m的值，结合一元二次方程二次项系数不等于0可确定m的取值． 【详解】解：的一根为0， 将代入方程得： 解得：，， 又， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一般形式，关键是注意不要漏掉二次项系数不能等于0这一条件． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式形式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 先去括号，然后把3移到方程左边即可． 【详解】解：去分母得， 移项得． 故选：C． 8．（九年级上·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象与直线的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：函数的图象与直线的交点就是方程的根， 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，掌握函数（，、、为常数）的图象与直线的交点与方程的根的关系是解题的关键所在． 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（    ） …… …… …… …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的的解的概念是解题的关键．由时，，时，，可知在和之间有一个值能使的值为0，于是判断方程的一个解x的范围为． 【详解】时，，时，， 方程的一个解x的范围为． 故选C． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．或 B．或1 C．1或3 D．或 【答案】D 【分析】本题考查方程的解． 把方程中的看成整体，根据关于x的方程的解可得或，求解即可． 【详解】∵关于x的方程的解是，， ∴方程变形为， 此方程的中或， 解得，， ∴方程的解为：，． 故选：D 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】移项后即可得出答案． 【详解】解：， 则， 即一元二次方程的一般形式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程未知数的最高次数是和二次项的系数不等于解答即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号，移项，即可解答，熟知一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的概念，熟练掌握一元二次方程根的概念是解题的关键． 由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、，则这个一元二次方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识．以3、为根的方程为，即． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是3、， ∴方程为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义； 把代入方程求出m可能的值，然后根据一元二次方程的定义进一步得出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025 18．（22-23九年级上·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 三、解答题 19．（2021九年级上·全国·专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）； （2）． 【答案】（1），各项的系数分别是：，，；（2），各项的系数分别是：，，． 【分析】（1）两边都乘-1，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数； （2）两边同乘-12，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数． 【详解】（1）两边都乘-1，就得到方程： 3x2+4 x -2=0． 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2． （2）两边同乘-12，得到整数系数方程： 6 x 2-20 x +9=0． 各项的系数分别是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程． 20．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知方程和有共同的根是，求的值． 【答案】 【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：将代入和，得： ， ①②，得： ， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值． 21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据分式的混合计算法则把原式式子化简为，再根据一元二次方程解的定义求出，由此即可求出答案． 【详解】解： ， ∵a是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，正确根据分式的混合计算法则把所求式子进行化简是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】，3 【分析】先将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可，然后根据方程的解整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的根， ∴，整理得：， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，需要注意最后结果化成最简分式或整式． 23．（21-22九年级·全国·假期作业）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值． 【答案】m＝﹣2 【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴ 解得： 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键． 24．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 【答案】（1）是；（2）不一定是 【分析】（1）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； （2）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程； （2）∵ ∴ ∴ 当时，二次项系数为0，此时不是一元二次方程，当时，二次项系数为0，此时是一元二次方程， ∴原方程不一定是一元二次方程. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义. 25．（22-23九年级上·开学考试）已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 【答案】，一般形式是： 【分析】把代入一元二次方程，求出的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 解得或， ， ， ， 此时的一元二次方程的一般形式是：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 26．（23-24九年级上·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$