第01讲 探索勾股定理 （2个知识点+8种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01讲 探索勾股定理 （2个知识点+8种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【例1】（2023秋•洛阳期末）在中，，，则　　 A．3 B．1 C． D．或3 【变式1】（2023秋•龙口市期末）在中，，，高，则的长　． 【变式2】（2024•西安二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为　　． 【变式3】（2024•濠江区一模）（1）如图的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 【变式4】（2023秋•石狮市期末）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理 【例2】（2024春•涧西区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是　　 A．7 B． C． D． 【变式1】（2024春•海安市期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图拼成的一个大正方形（如图．设直角三角形较长 直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为　　 A．3 B．4 C． D． 【变式2】（2023秋•滨江区期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 　　． 【变式3】（2024•凉州区二模）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为，则　　． 【变式4】（2023秋•内江期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 经典题型汇编 题型一.用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，Rt中，平分，如果点，点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路，的长度． (2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知中，，，边上的高．求的面积． 题型二.已知两点坐标求两点距离 4．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离是（　　） A．1 B．2 C． D． 5．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的值是 ． 6．（23-24八年级上·广东深圳·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 题型三.勾股树（数）问题 7．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5 8．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 题型四.以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 11．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，分别以的两条直角边为边向外作正方形．已知这两个正方形的面积之和为36．的周长是14，则面积的值是 ．    12．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，己知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)设，交于点F，求的长． 题型五.勾股定理与网格问题 13.（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则点到边距离为 ． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上． (1)直接写出______； (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； ①画出的高； ②在线段右侧找一点F，使得； ③在②的条件下，在线段上找一点G，使． 题型六.勾股定理与折叠问题 16．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 18．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处． (1)求的长： (2)求的长． 题型七.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 19．（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    21．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 题型八.利用勾股定理证明线段平方关系 22．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    24．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 练习试卷 一、单选题 1．（21-22八年级上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标为，则的长为（    ） A．2 B．5 C．7 D．12 2．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列数组中是勾股数的是（         ） A．6， 8， 9 B．7， 15， 17 C．7， 24， 26 D．5， 12， 13 4．（八年级上·浙江宁波·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A． B． C． D．无法计算 5．（21-22八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．（22-23八年级·河北沧州·阶段练习）已知如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则（   ）cm A．3 B．4 C．5 D．6 7．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，且，若，则（    ） A．18 B．9 C．36 D．27 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则 ． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为 ． 13．（23-24八年级上·上海·期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于 ． 14．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    15．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 16．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ． 17．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 18．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人． (1)求． (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 21．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 22．（23-24八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 23．（2023八年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，_____，_____；7，_____，_____； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）求出另外两个数； ②请证明两个法则的正确性． 24．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，平面直角坐标系中，过点的直线垂直于轴，为直线上一点．若点从点出发，以的速度沿直线向左移动；点从原点同时出发，以的速度沿轴向右移动，    (1)多久后线段平行于轴？ (2)若点，且，求点的坐标． 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点． (1)在直线上画出点P，使得的距离最短，最短是多少? (2)求的面积． 26．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 探索勾股定理 （2个知识点+8种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【例1】（2023秋•洛阳期末）在中，，，则　　 A．3 B．1 C． D．或3 【分析】分5是直角边和5是斜边两种情况进行分类讨论． 【解答】解：当5为直角边时， ， 当5为斜边时， ， 综上所述，的长为或3． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【变式1】（2023秋•龙口市期末）在中，，，高，则的长　14或4　． 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，． 【解答】解：（1）如图，锐角中，，，边上高， 在中，， ， ， 在中，，由勾股定理得 ， ， 的长为； （2）钝角中，，，边上高， 在中，，由勾股定理得 ， ， 在中，，由勾股定理得 ， ， 的长为． 故答案为14或4． 【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【变式2】（2024•西安二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为　　． 【分析】根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3】（2024•濠江区一模）（1）如图的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 【分析】（1）根据勾股定理作出，根据解答； （2）根据尺规作图作图即可． 【解答】解：（1）如图，四边形即为所求的正方形； （2）以为圆心、为半径做弧交数轴于点，点即为所求． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【变式4】（2023秋•石狮市期末）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【分析】（1）根据和的长可得的长度，再利用勾股定理可得的长度； （2）①根据和的长度利用勾股定理可得的长度．利用可得，进而求得，减去长即为长； ②点是射线上的一个动点，那么点可能在线段上或线段的延长线上．所给的两个三角形有一个公共顶点，若向对边引垂线，得到有相同的高，那么面积的比就等于底边的比．就可以计算出的值，结合等腰三角形的等边对等角，可得，计算即可． 【解答】解：（1），． ． ， ． ． （2），，， ． ， ． 在和中， ． ． ． ②Ⅰ、点在线段上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． Ⅱ、点在线段的延长线上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 综上，的长为：1或2.6． 【点评】本题考查了勾股定理的综合应用．关键是找到所求线段所在的直角三角形．动点问题要注意分类探讨． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理 【例2】（2024春•涧西区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是　　 A．7 B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决． 【解答】解：，， ， 小正方形的面积为：， 由图可得，的值等于小正方形的面积的2倍， 的值是， 的值是， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确的值等于小正方形的面积的2倍． 【变式1】（2024春•海安市期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图拼成的一个大正方形（如图．设直角三角形较长 直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为　　 A．3 B．4 C． D． 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， 大正方形的面积为25， ， 又大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ， ， ， （负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键． 【变式2】（2023秋•滨江区期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 　　． 【分析】可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题． 【解答】解：由题知， 令，， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， 即． 在和中， ， ， ． 又，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 又四边形和的面积和为5， ， 即， ， 则． 又四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 将四部分的面积相加得， ， ， 则． ， 则（舍负）， 即的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键． 【变式3】（2024•凉州区二模）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为，则　30　． 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，得出，，再根据，，，，即可求解． 【解答】解：在中，由勾股定理得：， 八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识，根据已知得出是解题的关键． 【变式4】（2023秋•内江期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少约0.03千米； （3）， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 经典题型汇编 题型一.用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，Rt中，平分，如果点，点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键． 过点作交于点，交于点，过点作交于点，此时的值最小，再由三角形的面积求出边上的高即为所求． 【详解】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 此时的值最小， ∵ ∴ 的面积， ， 的值最小为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路，的长度． (2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1)7千米，千米 (2)修建公路的费用为万元 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用三角形的等面积方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴（千米）． ∵千米， ∴千米， ∴（千米）． （2）∵， ∴， 解得千米， ∴修建公路DH的费用为（万元） 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知中，，，边上的高．求的面积． 【答案】的面积为84或36 【分析】此题考查了勾股定理及三角形的面积，解本题的关键是分两种情况进行讨论．本题应分两种情况进行讨论：①在内部，②在外部． 【详解】解：如图①， 在直角三角形中，，， 根据勾股定理，得． 在直角三角形中，，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为． 如图②， 在直角三角形ABD中，，， 根据勾股定理，得． 在直角三角形ACD中，，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为． 综上所述，的面积为84或36． 题型二.已知两点坐标求两点距离 4．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：，原点， 点到原点的距离=， 故选：． 【点睛】本题考查了已知两点坐标求解两点间的距离，熟练掌握两点间距离公式是解答本题的关键． 5．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格上的计算，运用勾股定理求半径，根据半径相等，建立等式求a即可． 【详解】∵，， ∴， 根据同圆半径相等，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·广东深圳·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点，直线与x轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴， ∴， 即为的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：， 故答案为：． 题型三.勾股树（数）问题 7．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、1.5和2.5不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】(1)①6；②12；③17 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 题型四.以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为， 故选：B． 11．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，分别以的两条直角边为边向外作正方形．已知这两个正方形的面积之和为36．的周长是14，则面积的值是 ．    【答案】7 【分析】 本题考查勾股定理，根据题意，得到，，结合完全平方公式求出的长即可 【详解】解：由题意，得：， ∵的周长是14， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的值是； 故答案为：7． 12．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，己知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)设，交于点F，求的长． 【答案】(1)，理由见详解； (2) 【分析】（1）本题考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，根据勾股定理直接证明相等，结合边边边判定得到即可得到证明垂直； （2）本题考查等面积法求线段长，根据面积列等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， 连接，由图可得， ，， ∴， 在与中， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴． 题型五.勾股定理与网格问题 13.（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据面积相等的方法，即可求出答案 ． 【详解】解：∵是的高，， ∴的面积 ∴， 解得，， 故选：D． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则点到边距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由网格求出三角形的面积，由勾股定理求出的长，利用三角形的面积计算公式即可求解，掌握三角形面积的不同求法是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，的面积， 由勾股定理可得，， 设点到边距离为，则， 解得， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段和三角形的顶点都在格点上． (1)直接写出______； (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； ①画出的高； ②在线段右侧找一点F，使得； ③在②的条件下，在线段上找一点G，使． 【答案】(1)； (2)①见解析；②见解析；③见解析 【分析】 本题考查了利用网格求三角形的面积、格点作图、无刻度直尺作图、三角形全等的判定与性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用所学知识点是解此题的关键． （1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）①取格点T，连接交于点H，线段即为所求； ②利用数形结合的思想以及全等三角形的性质，作出，即可； ③取格点K，连接，交于点G即可（是等腰直角三角形）． 【详解】（1）解：如图所示： ∴， ； （2）①如图，线段即为所求， 由图可得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的高； ②如图，即为所求， ③如图，取格点K，连接，交于点G，（是等腰直角三角形）．点G即为所求， 题型六.勾股定理与折叠问题 16．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 17．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 18．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处． (1)求的长： (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）直接根据勾股定理，即可解答； （2）根据折叠的性质得出，设，则，，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵沿折叠，使点恰好落在斜边的处， ∴， 设， 则，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴． 题型七.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 19．（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 21．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 题型八.利用勾股定理证明线段平方关系 22．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 23．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 24．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理构造辅助线是解决本题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（21-22八年级上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标为，则的长为（    ） A．2 B．5 C．7 D．12 【答案】B 【分析】根据勾股定理直接列式计算即可． 【详解】解：∵点M的坐标为，， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是已知两点坐标求解线段的长，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 2．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列数组中是勾股数的是（         ） A．6， 8， 9 B．7， 15， 17 C．7， 24， 26 D．5， 12， 13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断即可． 【详解】A、，不能构成直角三角形，故不是勾股数； B、，不能构成直角三角形，故不是勾股数； C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数； D、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； 故选：D． 4．（17-18八年级上·浙江宁波·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】根据勾股定理可知，进而可知． 【详解】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（21-22八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则（   ）cm A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质等知识．由折叠的性质可知，，，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得． ∴， 故选：A． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，且，若，则（    ） A．18 B．9 C．36 D．27 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立等式，结合，得到的值，利用，即可解题． 【详解】解：记交于点，如图所示： ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ． 故选：C． 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形性质及判定，折叠问题等．根据题意设，则，证明，利用全等性质得到，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，沿折叠，点D落在点G处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴在中应用勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选∶D． 9．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ，解得， 故选：A． 10．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，， 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边对应相等，故和会全等，该选项符合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 故选：． 二、填空题 11．（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则 ． 【答案】2 【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案． 【详解】∵在中，斜边 ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为 ． 【答案】34或16/16或34 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理求出第三条边长的平方即可． 【详解】解：当3和5都是直角边时，第三条边长的平方为； 当5是斜边长时，第三条边长的平方为． 故答案为：34或16． 13．（23-24八年级上·上海·期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么两点的距离等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点之间的距离公式．利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：， ， 即、两点的距离等于5， 故答案为：5． 14．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：由图可知，， 设的边上的高为，则． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】98 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是得到图中正方形面积之间的关系； 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：98． 16．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】 本题主要考查翻折变换的知识点．分三种情形分别画出图形解决问题即可． 【详解】 解：由折叠的性质得，，， ①如图1中，当点落在矩形的对称轴上时， 连接， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ; ②如图2中，当点落在矩形的对称轴上时， 在中，， 在中，， ， ； ③如图3中，当点在的下方时， 同法可得：， ， 故答案为：或或． 17．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 18．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 【答案】 【分析】根据题意，找出规律列式表示即可；本题主要考查勾股数，找规律，准确得出规律并列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1， 且三个数成勾股数 根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1 第组第一列数字为, 设第二列数为，则第三列数为，由勾股定理得： 解得： 第组的三个数字满足的等式是：， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人． (1)求． (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)12米 (2)3米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键； （1）先求解，再利用勾股定理可得答案； （2）利用勾股定理先求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：在中， ∵，，消防车高， ∴， ∴； （2）在中， ∵，， ∴， ∴． 20．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 21．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设 根据翻折的性质可得， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 22．（23-24八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解； （2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （2）①∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，； ② 解析：在四边形中，，由（1）知 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 图2 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． 23．（2023八年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，_____，_____；7，_____，_____； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）求出另外两个数； ②请证明两个法则的正确性． 【答案】(1)8，10；24，25 (2)①另外两个数为5、13；②证明见解析 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则Ⅰ解决此题． ②根据整式的运算以及勾股数的定义解决此题． 【详解】（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25． 故答案为：8，10；24，25． （2）①根据法则Ⅰ，则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 另外两个数为5、13． ②选择法则Ⅰ，证明过程如下： ． ． 选择法则Ⅱ，证明过程如下： ． ． 【点睛】本题主要考查勾股数、勾股定理、整式的运算，熟练掌握勾股数、勾股定理、整式的运算是解决本题的关键． 24．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，平面直角坐标系中，过点的直线垂直于轴，为直线上一点．若点从点出发，以的速度沿直线向左移动；点从原点同时出发，以的速度沿轴向右移动，    (1)多久后线段平行于轴？ (2)若点，且，求点的坐标． 【答案】(1)3秒后线段平行于轴 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理求两点间的距离，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设点后线段平行于轴，则，，，，根据等量关系，列出方程求解即可； （2）设点的坐标为，由两点间的距离公式表示出，，再由得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设点后线段平行于轴， 由题意得：，，， ， 轴， ，即， 解得：， 3秒后线段平行于轴； （2）解：设点的坐标为， ，， ，， ， ， 解得：或， 点从原点同时出发，以的速度沿轴向右移动， ， ． 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点． (1)在直线上画出点P，使得的距离最短，最短是多少? (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，的最短距离为5 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据最短路线问题作点关于的对称点，连接交于，使得的距离最短，再由勾股定理即可求解； （2）根据网格利用割补法即可求的面积． 【详解】（1）解：作点关于的对称点，连接交于， 则，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理可得：， 即：的最短距离为5； （2）的面积． 26．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$