第01讲 认识三角形（8个知识点+10种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01讲 认识三角形（8个知识点+10种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【例1】（2022秋•余姚市期中）三角形是指　　 A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【变式1】（2022秋•婺城区期末）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 　　． 【变式2】（2020秋•饶平县校级期中）如图，已知，的周长是，求的长． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例2】（2023秋•沂水县校级月考）如图，过的顶点，作边上的高，以下作法正确的是 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•余姚市期中）下列各图中，正确画出边上的高的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•柯桥区期中）如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为35，则的周长是 　． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【例3】（2023秋•绍兴月考）如图，在中，已知，，分别是边，，的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为　　 A．14 B．21 C．28 D．32 【变式1】（2023秋•鹿城区校级期中）如图，，分别为和的中点，的面积为5，则的面积为 　　． 【变式2】（2023秋•安吉县期中）如图，在中，，分别是边上的中线和高． （1）若，．求的长． （2）若，，求的大小． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【例4】（2023秋•金华期中）下列图形中具有稳定性的是　　 A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【变式1】（2023秋•柯桥区月考）在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是　　． 【变式2】（2023秋•椒江区校级期中）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是　　． 知识点5．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【例5】（2020秋•永嘉县校级期末）三角形的重心是三角形三条　　的交点． A．中线 B．高 C．角平分线 D．垂直平分线 【变式1】（2015•慈溪市一模）如图，在中，中线、交于，若，则　　． 【变式2】（2021春•海淀区期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． （1）与的长度有什么关系？并证明你的结论． （2）边上的中线是否一定过点？为什么？ 知识点6．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【例6】（2023秋•上虞区期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是　　 A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【变式1】（2023秋•越城区校级月考）已知三角形的三边长分别是8、10、，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2021秋•仙居县期中）如图，在中，，， （1）求的取值范围； （2）若，，，求的度数． 知识点7．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【例7】（2022秋•椒江区校级月考）已知的三个内角度数之比为，则此三角形是　　三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【变式1】（2023秋•洞头区校级月考）如图，在中，和的平分线相交于点，将沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为 　　． 【变式2】（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 知识点8．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角 【例8】（2024•浙江模拟）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•金华期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 　　． 【变式2】（2020秋•西湖区校级月考）如图，在中，是高，，是外角的平分线，平分交于点，若，求的度数． 经典题型汇编 题型一.三角形的识别与有关概念 1．（八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，与垂直，交于点H，则下面说法正确的有（    ）    是的角平分线； 是的边上的中线； 是的边上的高； 是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（八年级上·浙江·课后作业）如图，图中共有 个三角形，∠B是 的内角． 题型二.三角形的分类 3．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 4．（20-21八年级上·浙江·期末）中，如果，按角分类是 三角形． 题型三.三角形的稳定性及应用 5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，空调外机利用三角架固定在外墙上时，利用了三角形的（    ）性质． A．三角形任何两边的和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．三角形三个内角的和等于度 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，自行车的三角架设计中，蕴含了 的数学道理． 题型四.构成三角形的条件 7．（23-24八年级上·浙江金华·期末）下列三条线段的长度，能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．5，6，12 C．2，5，7 D．6，7，8 8．（21-22八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由． 题型五.确定第三边的取值范围 9．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为 （写出一个即可）． 10．（八年级上·浙江杭州·阶段练习）若一个三角形的两边分别为2和8,而第三边长为奇数,求此三角形的周长. 题型六.三角形三边关系的应用 11．（23-24八年级上·浙江温州·期末）用三根木棒首尾相接围成，其中，，则木棒的长可能是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·浙江台州·期中）的两边长为2、3，第三边长为奇数，三角形的周长是 ． 题型七.画三角形的高 13．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，，，则中边上的高是哪条垂线段（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，在中： (1)作出的高线． (2)若，求的度数？ 题型八.与三角形的高有关的计算问题 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．    【答案】/28度 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 题型九.根据三角形中线求长度 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，线段，分别是高线，中线和角平分线，则（　　） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为 ．    题型十.根据三角形中线求面积 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )    A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 . 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线 3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．4，6，9 C．2，6，4 D．3，5，9 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．   B．C．   D．   5．（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，图中以为边的三角形的个数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 8．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，的角平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1 0．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 二、填空题 11．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）已知三角形三边长分别为，，，若为正整数，则这样的三角形有 个． 12．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，点D、E、F分别在边，，上，E为的中点，，，交于一点G，，，，则的值是 ． 14．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，平分交于点，则 ． 15．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图是一副三角尺拼成的图案，其中，，则 ． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若三个内角之比为，则此三角形是 三角形． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，，，，，则 ．    18．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，，，平分，如果点P，点G分别为，上的动点，那么的最小值是 . 3、 解答题 19．（20-21八年级上·浙江台州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|． 20．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)利用网格，作的高线． (2)的面积为___________． 21．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 22．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，请说明的度数； (2)如图2（），试说明、、的数量关系； (3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数． 23．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 24．（22-23七年级下·浙江金华·期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：    (1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D． ①求的度数； ②设，请用α的代数式表示． (3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 25．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）【概念认识】如图①，在中，若，则射线BD，BE叫做的“三分线”． 其中，射线BD是“邻AB三分线”，射线BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，，若的三分线BD交AC于点D，则 ； (2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在中，是的外角，的三分线与的三分线交于点P． 若，直接写出的度数． （用含 α、β 的代数式表示） 26．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．    (1)如图1，平分，平分，则______． (2)如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． ①若，则______°． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． (3)如图3，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识三角形（8个知识点+10种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【例1】（2022秋•余姚市期中）三角形是指　　 A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【分析】根据三角形的概念判断即可． 【解答】解：三角形是指由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形， 故选：． 【点评】此题考查三角形的概念，关键是根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形解答． 【变式1】（2022秋•婺城区期末）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 　（答案不唯一）　． 【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可． 【解答】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系． 【变式2】（2020秋•饶平县校级期中）如图，已知，的周长是，求的长． 【分析】根据比值和周长解答即可． 【解答】解：， 设为，为，为，为， 的周长是， ， 解得：， 所以． 【点评】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【例2】（2023秋•沂水县校级月考）如图，过的顶点，作边上的高，以下作法正确的是 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【解答】解：为中边上的高的是选项． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键． 【变式1】（2023秋•余姚市期中）下列各图中，正确画出边上的高的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案． 【解答】解：中边上的高即为过点作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高． 【变式2】（2023秋•柯桥区期中）如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为35，则的周长是 　29　． 【分析】根据三角形中线的定义可得，由的周长为35，，求出，进而得出的周长． 【解答】解：是边上的中线， ， 的周长为35，， ， ， ， 的周长． 故答案为：29． 【点评】本题考查了三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解决问题的关键． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【例3】（2023秋•绍兴月考）如图，在中，已知，，分别是边，，的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为　　 A．14 B．21 C．28 D．32 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：点是的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 【变式1】（2023秋•鹿城区校级期中）如图，，分别为和的中点，的面积为5，则的面积为 　10　． 【分析】根据中点的性质和等底等高的三角形面积相等进行求解即可． 【解答】解：是的中点， ， ， ， 是的中点， ， ， 故答案为：10． 【点评】本题考查三角形的面积，关键是利用等底等高的三角形面积相等解答． 【变式2】（2023秋•安吉县期中）如图，在中，，分别是边上的中线和高． （1）若，．求的长． （2）若，，求的大小． 【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出，进而利用三角形面积得出的长． （2）依据，，可知为直角三角形，再根据为中线，即可得到为等腰三角形，即可得到的度数，进而得出的度数． 【解答】解：（1），分别是边上的中线和高，，， ， ， ， 解得：； （2），， ， 又为中线， ， ， 又， ． 【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出是解题关键． 知识点4．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【例4】（2023秋•金华期中）下列图形中具有稳定性的是　　 A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：、三角形具有稳定性，符合题意； 、长方形不具有稳定性，不符合题意； 、正方形不具有稳定性，不符合题意； 、平行四边形不具有稳定性，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【变式1】（2023秋•柯桥区月考）在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是　三角形的稳定性　． 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【变式2】（2023秋•椒江区校级期中）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是　三角形具有稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容． 知识点5．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【例5】（2020秋•永嘉县校级期末）三角形的重心是三角形三条　　的交点． A．中线 B．高 C．角平分线 D．垂直平分线 【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：． 【点评】此题考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点． 【变式1】（2015•慈溪市一模）如图，在中，中线、交于，若，则　10　． 【分析】根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出的面积． 【解答】解：中线、相交于点， 是的重心， ， ， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍，等高的三角形的面积等于底边的比是解题的关键． 【变式2】（2021春•海淀区期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． （1）与的长度有什么关系？并证明你的结论． （2）边上的中线是否一定过点？为什么？ 【分析】（1）连接．根据三角形的中位线定理，得，．根据平行得到三角形相似于三角形，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． （2）连接，根据三角形的中位线定理，得，，根据平行得到三角形相似于三角形，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： 连接， 、是边、上的中线， ，． ， ， 即． （2）边上的中线一定过点， 理由是：作边上的中线，交于， 连接， 、是边、上的中线， ，． ， 即， ， 和重合， 即边上的中线一定过点． 【点评】此题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质． 知识点6．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【例6】（2023秋•上虞区期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是　　 A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可． 【解答】解：．，不能组成三角形，符合题意； ．，能组成三角形，不符合题意； ．，能组成三角形，不符合题意； ．，能组成三角形，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【变式1】（2023秋•越城区校级月考）已知三角形的三边长分别是8、10、，则的取值范围是 　　． 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【变式2】（2021秋•仙居县期中）如图，在中，，， （1）求的取值范围； （2）若，，，求的度数． 【分析】（1）利用三角形三边关系得出的取值范围即可； （2）利用平行线的性质得出的度数，再利用三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：（1）在中，，， ， ； （2），， ， 又， ． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出的度数是解题关键． 知识点7．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【例7】（2022秋•椒江区校级月考）已知的三个内角度数之比为，则此三角形是　　三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【分析】根据三角度数的比和三角形内角和定理将三角形的三角分别求出来，然后判定三角形的形状． 【解答】解：的三个内角度数之比为， 设三角的度数分别为：， 解得：， 三个内角的度数分别为：， 此三角形为锐角三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题时可以用设未知数列方程的方法分别求出三内角的度数，然后判断形状． 【变式1】（2023秋•洞头区校级月考）如图，在中，和的平分线相交于点，将沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为 　　． 【分析】先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可． 【解答】解：由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ，即， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2】（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【解答】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用． 知识点8．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角 【例8】（2024•浙江模拟）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则　　 A． B． C． D． 【分析】如图（见解析），先根据三角板可得，，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【解答】解：如图，由题意可知，，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 【变式1】（2023秋•金华期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 　　． 【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：如图， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 【变式2】（2020秋•西湖区校级月考）如图，在中，是高，，是外角的平分线，平分交于点，若，求的度数． 【分析】根据直角三角形的性质求出的度数，得到的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：是高， ， ，又， ， ， 是外角的平分线， ， 平分， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.三角形的识别与有关概念 1．（八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，与垂直，交于点H，则下面说法正确的有（    ）    是的角平分线； 是的边上的中线； 是的边上的高； 是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意； ②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意； ③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意； ④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意； 说法正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 2．（八年级上·浙江·课后作业）如图，图中共有 个三角形，∠B是 的内角． 【答案】 3; △ABC或△ABD. 【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数．由三角形内角的定义进行填空． 【详解】图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个． ∠B是△ABC和△ABD的内角． 故答案是：3，△ABC和△ABD. 【点睛】本题考查了三角形．填第一个空的难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏． 题型二.三角形的分类 3．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 4．（20-21八年级上·浙江·期末）中，如果，按角分类是 三角形． 【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出最大的角∠C，然后作出判断即可． 【详解】解：∵∠C=180°×=99°， ∴此三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，求出最大的角的度数是解题的关键． 题型三.三角形的稳定性及应用 5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，空调外机利用三角架固定在外墙上时，利用了三角形的（    ）性质． A．三角形任何两边的和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．三角形三个内角的和等于度 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，空调外机利用三角架固定在外墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故选：B． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，自行车的三角架设计中，蕴含了 的数学道理． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性可直接进行求解． 【详解】解：自行车的三角架设计中，蕴含了三角形具有稳定性的数学道理， 故答案为：三角形具有稳定性． 题型四.构成三角形的条件 7．（23-24八年级上·浙江金华·期末）下列三条线段的长度，能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．5，6，12 C．2，5，7 D．6，7，8 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”进行解答即可． 【详解】A选项：，故这不能构成三角形； B选项：，故这不能构成三角形； C选项：，故这不能构成三角形； D选项：，故这能构成三角形． 故选：D． 8．（21-22八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】根据三线段构成三角形的条件即可判断． 【详解】∵是最长线段，而 ∴以这三条线段为边能构成三角形 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形． 题型五.确定第三边的取值范围 9．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒围成三角形，则这根小木棒的长度可以为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设这根小木棒的长度为， 则，即， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（八年级上·浙江杭州·阶段练习）若一个三角形的两边分别为2和8,而第三边长为奇数,求此三角形的周长. 【答案】17或19 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边． 【详解】设第三条边长为x,则 , 第三条边长为奇数,所以 三角形的周长为2+8+7=17或2+8+9=19. 【点睛】本题主要考查了三角形中三边的关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系. 题型六.三角形三边关系的应用 11．（23-24八年级上·浙江温州·期末）用三根木棒首尾相接围成，其中，，则木棒的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ， 木棒的长可能是． 故选：C． 12．（22-23八年级上·浙江台州·期中）的两边长为2、3，第三边长为奇数，三角形的周长是 ． 【答案】8 【分析】先根据三边关系定理确定等三边的取值范围，再根据奇偶数的意义确定等三边长，则可确定其周长． 【详解】解：设第三边长为a，则，即，当a是奇数时，则， ∴三角形的周长是， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形成立的条件是解题关键． 题型七.画三角形的高 13．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，，，则中边上的高是哪条垂线段（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答． 根据三角形的高的定义，中边上的高是过A点向作的垂线段，即可解答． 【详解】解：于E， 中边上的高是垂线段． 故选：A． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，在中： (1)作出的高线． (2)若，求的度数？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作三角形的高，三角形高的定义． （1）过点A作，交的延长线于点D，则线段为所求的高； （2）由是高得到，从而根据三角形外角的定义、三角形内角和定理可解答． 【详解】（1）如图，线段为所求的高． （2）∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八.与三角形的高有关的计算问题 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．    【答案】/28度 【分析】 本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论． 先由是高与求得，再求得，再由角平分线推得，最后由三角形的内角和求得的度数． 【详解】∵是高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形的高等知识点，结合图形分析清楚各角之间的关系是解答的关键． （1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）的解答过程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型九.根据三角形中线求长度 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，线段，分别是高线，中线和角平分线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短即可判断．本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵是边上的高线， ∴根据垂线段最短可知：， 故选：A． 18．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为 ．    【答案】5 【分析】根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 题型十.根据三角形中线求面积 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 . 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解答此题的关键．由为的中点可知，，由可知，，根据可得出结论． 【详解】如图所示： 点为的中点， ， ， ， ． 故答案为：3． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握中线的性质．根据等底同高的三角形的面积相等解答． 【详解】解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等， 所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线． 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．4，6，9 C．2，6，4 D．3，5，9 【答案】B 【分析】此题考查三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．   B．C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的方法是解题的关键． 【详解】解：由图得，作的边上的高线是   ， 故选B． 5．（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，图中以为边的三角形的个数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用三角形定义解答即可． 【详解】解：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，共2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）在中，，，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，本题先求解，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 则是钝角三角形， 故选C． 7．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识． 故选：C． 8．（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【详解】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，的角平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，首先利用三角形的内角和求出，再根据，的角平分线相交于点O，求出得结果，再利用三角形的内角和求出的度数是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的角平分线相交于点O， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 1 0．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 二、填空题 11．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）已知三角形三边长分别为，，，若为正整数，则这样的三角形有 个． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，再求出符合条件的的值即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴，即， ∵为正整数， ∴可以为、、，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是理解和掌握三角形三边的关系． 12．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：是的边上的中线， ， 的周长比的周长多，且， ，即， 解得， 故答案为：7． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，点D、E、F分别在边，，上，E为的中点，，，交于一点G，，，，则的值是 ． 【答案】30 【分析】 此题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：30． 14．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，平分交于点，则 ． 【答案】85 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 平分交于点， ， ， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图是一副三角尺拼成的图案，其中，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，由题意得出，再由三角形外角的定义及性质得出，进行计算即可得出答案，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， ，， ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若三个内角之比为，则此三角形是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据题意设出三角形三个内角的度数，列出关于x的方程，利用方程的思想求解．先根据三个内角之比为可设此三角形的三个内角分别为，，，再根据三角形内角和定理列出关于x的方程，求出x的值，进而可判断出此三角形的形状． 【详解】解：∵三个内角之比为可设此三角形的三个内角分别为，，， ∴ 解得， ∴，， ∴此三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，，，，，则 ．    【答案】9 【分析】根据三角形的高相同时，面积比=底边的比计算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查三角形的面积．根据三角形的高相同时，面积比=底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键． 18．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，，，平分，如果点P，点G分别为，上的动点，那么的最小值是 . 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的等面积法求斜边上的高，作点关于的对称点，作，首先根据角平分线的对称性得到，然后利用面积法求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作， ∵平分， ∴点在线段上， ∴， ∴的最小值为的长度， ∵， ∴，即， ∴解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 3、 解答题 19．（20-21八年级上·浙江台州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|． 【答案】4 【分析】由三角形的三边关系可以得到a的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解．　 【详解】解：由三角形三边关系得： 2<a-1<6 得 3<a<7 则原式=a-3+7-a=4． 【点睛】本题考查三角形和绝对值的综合应用，熟练掌握三角形的三边关系和绝对值的意义是解题关键． 20．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)利用网格，作的高线． (2)的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）直接利用钝角三角形高线作法得出答案； （2）直接利用三角形面积公式，得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）的面积为：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了三角形的高和面积，掌握三角形的高的定义是解题关键． 21．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 22．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，请说明的度数； (2)如图2（），试说明、、的数量关系； (3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为与三角形有关的角平分线，高线的计算等知识，考查了三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形两锐角互余等知识． （1）根据三角形内角和定理求出， 根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出； （3）根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理得到进行等量代换即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：． 证明：如图2，在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （3）解：∵、分别是和的角平分线， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴ ． 23．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)或 【分析】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）∵点为三条内角平分线交点 ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或． 【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 24．（22-23七年级下·浙江金华·期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：    (1)【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D． ①求的度数； ②设，请用α的代数式表示． (3)【拓展】如图3，在中，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转,当旋转一周时,运动全部停止.设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①② (3)秒或15秒或秒或秒或秒 【分析】（1）论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解；②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）拓展：当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，几种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）论证： 延长至D，过点A作，     ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为． （2）应用： 如图，    ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）拓展： ∵当旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， 如图，与重合前，    当时，， 得   当与重合时，重合时间为秒，此时    当再以原速返回，如图    当时，， 解得， 如图，当时，   , 解得， 当时，如图，,      ∵， ∴， ∴ 综上，t的值为秒或15秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 25．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）【概念认识】如图①，在中，若，则射线BD，BE叫做的“三分线”． 其中，射线BD是“邻AB三分线”，射线BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，，若的三分线BD交AC于点D，则 ； (2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在中，是的外角，的三分线与的三分线交于点P． 若，直接写出的度数． （用含 α、β 的代数式表示） 【答案】(1)或 (2) (3)或或或 【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可； （2）求出，根据BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线求出，，求出，再求出即可； （3）画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，②当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】（1）如图， 当BD是“邻AB三分线”时， ∵， ∴； 当是“邻BC三分线”时， ； 故答案为：或； （2）∵， ∴， ∴， ∵BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）分为四种情况： 情况一：如图1， 当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时， 由外角可得：， ∴； 情况二：如图2， 当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时， 由外角可知：， ∴； 情况三： 当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时， 当时，如图3， 由外角可得：， ∴； 当时，如图4， 由外角及对顶角可得：， ∴； 情况四：如图5， 当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时， 由外角可得：， ∴； 综合上述：的度数是或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用了分类讨论思想． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．    (1)如图1，平分，平分，则______． (2)如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． ①若，则______°． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． (3)如图3，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)135° (2)①45；②不变，∠ADB＝45° (3)∠OBA等于60°或45° 【分析】（1）由角平分线性和三角形内角和定理，建立和的关系； （2）①根据已知条件可求出所需要角的度数，然后根据外角定理进行具体计算即可得到； ②由①的思路，设，用含的代数式表示和，然后代入计算即可证明不变． （3）的平分线，的平分线，得到，由一个角是另一角的三倍，分两种情况讨论： ①当时，，结合的平分线可求得，求得，得到； ②当时，，结合的平分线可求得，求得，得到． 【详解】（1）平分，平分， ， ， 直线与互相垂直，垂足为， ， ， 故答案为：． （2）①直线与互相垂直，垂足为， ， ， ， 平分交于点，平分， ，， ， 故答案为：45． ②不变，． 设， 平分交于点，平分， ，，， ， 不变，． （3）的平分线，的平分线， ， 一个角是另一角的3倍， 分两种情况讨论： ①当时，， 为的平分线， ， ， ， ； ②当时，， 为的平分线， ， ， ， ． 等于或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及其推论的运用，要求掌握角平分线的性质，渗透由特殊到一般的思想和用字母表示数的意义及分类讨论思想，属七年级压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$