第01讲 二次函数的定义（2个知识点+4种经典题型+习题试卷）2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第01讲 二次函数的定义（2个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【例1】（2023秋•潘集区月考）若函数是关于的二次函数，则的值为　　． 【变式1】（2022秋•定远县期末）已知是二次函数，则的值为　　 A．0 B．1 C． D．1或 【变式2】（2022•宣城校级开学）下列函数：①；②；③；④，是二次函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2022秋•庐江县期中）若是二次函数，则　　． 【变式4】（2022秋•定远县期中）已知函数为常数），求当为何值时： （1）是的一次函数？ （2）是的二次函数？并求出此时纵坐标为的点的坐标． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式 【例2】（2023秋•琅琊区校级月考）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•庐阳区校级月考）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长的栅栏，设面积为，垂直于墙的一边长为．则关于的函数关系式：　　（并写出自变量的取值范围） 【变式2】（2021秋•金寨县期末）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2021•蚌山区校级开学）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价元为非负整数），每星期的销量为件． （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）设利润为元，写出与的函数关系式． 【变式4】（2022•安庆一模）如图，在中，，点在上，，交于点，点在上，，若，，，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 经典题型汇编 题型一.列二次函数关系式 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 3．（19-20九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 题型二.二次函数的识别 4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 6．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 题型三.根据二次函数的定义求参数 7．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若是二次函数，则的值是（    ） A．或2 B．4 C．2 D． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数的图象开口向上，则m的值是 ． 9．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 题型四.待定系数法求二次函数解析式 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 ． 12．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）下列函数解析式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 4．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）二次函数的图象如图，且，则b等于（    ）    A． B．1 C． D． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为(      ) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则的值必为（    ） A．或 B． C． D．0 7．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 9．（九年级上·安徽淮北·期中）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）若函数是二次函数，则的取值范围是 ． 12．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 14．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过 和两点，为轴上方抛物线上一点． （） ． （）若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 17．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 18．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某二次函数的图像的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 19．（20-21九年级上·安徽滁州·期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求： （1）A，B两点的坐标； （2）抛物线的解析式． 20．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    22．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．    (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集。 23．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点，且，一次函数的图象经过点和线段中点． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象，求出的的取值范围． $$第01讲 二次函数的定义（2个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【例1】（2023秋•潘集区月考）若函数是关于的二次函数，则的值为　1　． 【分析】根据二次函数定义可得且，求解即可． 【解答】解：函数是关于的二次函数， 且， 解得， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 【变式1】（2022秋•定远县期末）已知是二次函数，则的值为　　 A．0 B．1 C． D．1或 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：由是二次函数，得 ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如是二次函数． 【变式2】（2022•宣城校级开学）下列函数：①；②；③；④，是二次函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【解答】解：①；③；④，是二次函数，共3个， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的左右两边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【变式3】（2022秋•庐江县期中）若是二次函数，则　　． 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：由是二次函数，得 ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 【变式4】（2022秋•定远县期中）已知函数为常数），求当为何值时： （1）是的一次函数？ （2）是的二次函数？并求出此时纵坐标为的点的坐标． 【分析】（1）根据形如，是常数）是一次函数，可得一次函数； （2）根据形如是常数，且是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点． 【解答】解：（1）由为常数），是的一次函数，得 ， 解得， 当时，是的一次函数； （2）为常数），是二次函数，得 ， 解得，（不符合题意的要舍去）， 当时，是的二次函数， 当时，， 解得， 故纵坐标为的点的坐标的坐标是，． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式 【例2】（2023秋•琅琊区校级月考）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积边长即可求得． 【解答】解：由正方形面积公式得： ． 故选：． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 【变式1】（2021秋•庐阳区校级月考）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长的栅栏，设面积为，垂直于墙的一边长为．则关于的函数关系式：　　（并写出自变量的取值范围） 【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为，再根据长方形的面积公式表示即可得到关于的函数关系式；找到关于的两个不等式：，，解之即可求出的取值范围． 【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为， 则： 由图可知：，， 所以的取值范围是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于的不等式． 【变式2】（2021秋•金寨县期末）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是　　 A． B． C． D． 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，然后根据已知条件可得出方程． 【解答】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为， 依题意得第三个月投放垃圾桶辆， 则． 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 【变式3】（2021•蚌山区校级开学）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价元为非负整数），每星期的销量为件． （1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）设利润为元，写出与的函数关系式． 【分析】（1）涨价为元，可用表示出每星期的销量，并得到的取值范围； （2）根据总利润销量每件利润可得出利润的表达式． 【解答】解：（1）设每件涨价元由题意得， 每星期的销量为，且为整数）； （2）设每星期的利润为元， ． 【点评】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式． 【变式4】（2022•安庆一模）如图，在中，，点在上，，交于点，点在上，，若，，，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【分析】和在中，在中，可判断应证明，根据题中所给条件利用等边对等角，以及平行线的性质也能证得．然后得到相应各边的比例关系即可．在上，应大于0，小于长． 【解答】解：， 又 自变量的取值范围． 【点评】解决本题的关键是利用相似得到相应的线段的比例关系． 经典题型汇编 题型一.列二次函数关系式 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．（19-20九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 【答案】y＝4x2-80x+400. 【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式． 【详解】解：正方形的边长为80÷4＝20cm， 根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键． 题型二.二次函数的识别 4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、函数是二次函数，故本选项符合题意； D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 6．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 题型三.根据二次函数的定义求参数 7．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若是二次函数，则的值是（    ） A．或2 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，据此作答即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， ∴． 故选：D． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数的图象开口向上，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义，根据函数是二次函数，可得出，再由图象开口向上，得出，据此可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得，， 故答案为：2． 9．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的定义即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确把握定义形如的式子叫二次函数是解题关键． 题型四.待定系数法求二次函数解析式 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点直接代入求解即可，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线 经过点， ∴， ∴， 故选：． 11．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入二次函数解析式求出的值即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为：，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的解析式为是解此题的关键． 12．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】二次函数的解析式为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，设出抛物线的顶点式是解本题的关键，设二次函数的解析式为，再把把代入即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】A．，不是二次函数； B．，关系式不是整式，故不是二次函数； C．，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数； D．，关系式不是整式，故不是二次函数； 故选C． 2．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）下列函数解析式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据：形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 3．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的一次项系数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 4．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）二次函数的图象如图，且，则b等于（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到点，，然后代入解方程组即可解题． 【详解】解：∵， ∴点，， 代入可得，解得， 故选D． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，能写出点和点的坐标是解题的关键． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值． 【详解】函数是关于的二次函数， 且， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则的值必为（    ） A．或 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据题意把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意可把代入得： ， 解得：， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 7．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求解析式，把和代入计算即可． 【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线上， ∴，解得， ∴， 故选：D． 8．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 9．（19-20九年级上·安徽淮北·期中）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可． 【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x， 矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）． 故选：C． 【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解； 【详解】解：第三季度总值为； 故选：C 【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）若函数是二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的一般形式进行解答即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，形如的函数叫做二次函数，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 12．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，得到第二个月投放单车的数量为，第三个月投放单车的数量为，根据计划三个月共投放单车辆，得出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数关系式． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 14．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线 经过 和两点，为轴上方抛物线上一点． （） ． （）若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，分别把点到对称轴的距离与点到轴的距离表示出来，列出方程分情况即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，点到直线的距离，掌握点到直线的距离的求法是解题的关键． 【详解】解：（）把代入得，， 解得， 故答案为：； （）由（）可得，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∴点到对称轴的距离为， ∵为轴上方抛物线上一点， ∴点到轴的距离为， ∵点到对称轴的距离与点到轴的距离相等， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，，此时点的纵坐标为； 当时，， 解得，（舍去）， 当时，，此时点的纵坐标为； 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，， 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 17．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是y关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 18．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某二次函数的图像的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算出a的值即可． 【详解】解：根据题意，设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为． 19．（20-21九年级上·安徽滁州·期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求： （1）A，B两点的坐标； （2）抛物线的解析式． 【答案】（1）A(﹣2，0)，B(2，0)；（2）y＝x2﹣4 【分析】（1）通过解方程mx²﹣4m＝0可得A、B点的坐标； （2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式． 【详解】解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(2，0)； （2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m， ∴C（0，﹣4m）， ∵OA＝2， ∴OC＝2OA＝4， ∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1， ∵m＞0， ∴m＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 20．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【答案】 【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式． 【详解】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 【点睛】本题考查列二次函数关系式，不等式组的求解，由几何图形及实际场景确定数量间的关系是解题的关键． 22．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．    (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集。 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质． （1）先将点代入，再将对称轴直线代入公式即可得出和的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象和、的交点坐标可直接求出的解集． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数图象的对称轴直线， ， ，， 二次函数的解析式为； ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， 设一次函数代解析式为， ， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得，不等式的解集或． 23．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点，且，一次函数的图象经过点和线段中点． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象，求出的的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，把，代入得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到a、b的值，即可求出二次函数的解析式； （2）求出一次函数的解析式，再联立求出两函数图象的交点坐标，根据图象即可求出的取值范围． 此题考查了一次函数和二次函数的综合问题，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴； （2）∵点，点, ∴中点坐标是， 把点和中点代入得， ， 解得， ∴一次函数为， 联立， 解得或， ∴交点坐标为，， 如图， ∴当时，的取值范围为或 $$