7.5 正态分布课件第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章　随机变量及其分布 7.5 正态分布 2024/5/31 情境 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下: -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 问题1 如何描述这100个样本误差数据的分布？ 创设情境，引入课题 问题2 如何描述这100个样本误差数据的分布？ 可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示. 观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 频率分布折线图 光滑的钟形曲线 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率， 所有小矩形的面积之和为1. 问题3 由函数知识可知，图3的钟形曲线是一个函数，那么，能否用一个表达式来表示它呢？阅读教科书第84-85页，说出钟形曲线的基本特征、正态密度函数及正态密度曲线的概念. 答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下， 找到了以下刻画随机误差分布的解析式: 其中μ∈R，σ>0为参数. 其中（E（X）= m ， D（X）= s 2） P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (3) 0.10 0.20 4 2 6 抽象概念，内涵辨析 4 P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (3) 0.10 0.20 4 2 6 其中μ∈R，σ>0为参数. 显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X 服从标准正态分布. y 0 1 2 -1 -2 x -3 3 μ=0 σ=1 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为 正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量 X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 抽象概念，内涵辨析 若X~N(μ，σ2)，则如右图所示， 面积即为概率！ X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积， 而P(a≤X≤b)为区域B的面积. f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 抽象概念，内涵辨析 问题4 观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点? f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 其中μ∈R，σ>0为参数. 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点: 问题5 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? (1).当参数取定值时，观察对正态分布的曲线。 3 1 2 σ=0.5 μ=-1 μ=0　 μ=1 由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移， 故μ称为位置参数 所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有E(X)=μ. (2).当参数取定值时，观察对正态曲线的影响 μ=0　  =0.5 =1 =2 当μ固定时，因为正态曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1. σ越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中. 所以σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2. 故称为形状参数 问题5 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? 练习1：如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． P86-例.李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； 解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6， 随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2， 用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ， 可得X~N(30，62)，Y~N(34，22). 例题练习，巩固理解 P86-例.李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； 解：(1)X~N(30，62)，Y~N(34，22). 若有38 min可用，则骑单车不迟到的概率大， 应选择骑单车； 若只有34 min可用，则坐公交车不迟到的概率大， 应选择坐公交车. (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34). 正态曲线下的面积规律： -x1 -x2 x2 x1  a -a 正态曲线下对称区域的面积相等 对应的概率也相等 利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 小结提升，提升结构 问题6 回顾本节课所学内容，并回答下列问题： （1）什么是正态密度函数？什么是正态曲线、正态分布？ （2）正态曲线有何性质与特征？如何计算正态分布的均值与方差？ （3）正态分布中的参数什么意义?有何统计意义？ 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 0.5 1-a a 1-a 1-2a 1. 若X～N(2, 32)，则E(X)=______，D(X)=_______. 2 9 3 2. X～N(μ, σ2)，若E(X)=3， D(X)=2，则μ=______， σ=_____. 3.若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则 (1) P(X>1)=_______； (2) P(X>0)=______； (3) P(X>2)=______； (4) P(X<2)=______； (5) P(0<X<2)=______； (6) P(0<X<1)=______. 0.5-a 目标检测，检验效果 布置作业，应用迁移 作业： 教科书第87页习题7.5第1,2,3,4题 $$