专题03 排列组合及应用（八类常规题型，38道强化练习题）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题03 计数原理及排列组合 题型01 数字排列问题 题型02 涂色问题 题型03 特殊元素优先法则 题型04 相邻问题—捆绑法 题型05 不相邻问题—插空法 题型06 隔板法 题型07 分组分配问题 题型08 定序问题 题型01 数字排列 1．（23-24高二下·天津南开·期中）用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（    ） A．720 B．648 C．320 D．328 2．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 3．（23-24高二下·天津武清）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 4．（22-23高二下·福建福州·期中）定义：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，比如“1005，2013”，则所有“幸运数”的个数为（    ） A．20 B．56 C．84 D．120 题型02 涂色问题 1．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 2．（23-24高二下·山东滨州·阶段练习）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 3．（23-24高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（    ）    A．240 B．300 C．420 D．480 题型03 特殊元素优先法则 1．（23-24高二下·四川内江·期中）5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 3．（23-24高二下·河北张家口·期中）某天要排语文、数学、体育、计算机、物理、化学六节课，上午四节下午两节，其中体育不排在上午第一节和下午第一节，那么这天课程表的不同排法共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．480种 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（    ） A．720 B．1440 C．2400 D．2880 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（    ） A．84 B．96 C．168 D．204 6．（23-24高二下·江苏泰州·期中）五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 题型04 相邻问题—捆绑法 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（    ） A．、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．与同学不相邻，共有种站法 C．、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法 D．不在排头，不在排尾，共有504种站法 4．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）2024年龙年春晚西安分会场的节目《山河诗长安》引起巨大反响，让观众感受到了传统文化的魅力.我校新学期开学以来为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．192 B．240 C．120 D．288 5．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（    ） A．192 B．240 C．96 D．48 题型05 不相邻问题—插空法 1．（23-24高二下·甘肃白银·期中）甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（    ） A．480种 B．360种 C．240种 D．600种 2．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）唐山棋子烧饼，因形状､大小都酷似中国象棋的棋子而得名．烧饼里外烤制酥透，色泽金黄，肉馅鲜香，酥脆适口不腻，是唐山地区独有的风味美食．某唐山棋子烧饼店有一种“五福临门”套餐（肉､糖､什锦､腊肠､火腿5种馅心的唐山棋子烧饼各1个），在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种唐山棋子烧饼，每个格子只能放1个，若要求肉馅和腊肠馅的唐山棋子烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有（    ）    A．35种 B．70种 C．36种 D．72种 3．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营，将､车､马､炮､兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法不正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“将”不相邻，则有72种排列方式 D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）5件不同的产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有（    ）种． A．60 B．48 C．36 D．32 5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）高三一班共选出共有5个节目参加学校的文艺汇演，其中3个舞蹈节目，2个小品节目；如果2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场，那么出场顺序的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 题型06 隔板法 1．（2024·河南·模拟预测）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．84 C．126 D．210 2．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 3．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 题型07 分组分配问题 1．（2024·广西来宾·一模）如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 二、多选题 2．（23-24高二下·四川内江·期中）有甲、乙等4名同学，则下列说法正确的是（   ） A．4人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为12种 B．4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为24种 C．4名同学分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有20种 D．4名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在一起，则不同的安排方法有6种 3．（23-24高二下·广东·期中）6名学生站成一排照相留念，其中男同学4名，女同学2名，下面正确的有（    ） A．两位女生必须相邻的站法有120种 B．两个女生不相邻的站法有480种 C．有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个，则不同的分发方法有240种 D．现有16个相同口罩全部发给这6名学生，每名学生至少发2个口罩，则不同发放方法有126种 4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 题型08 定序问题 1．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 4．（23-24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 5．（23-24高三上·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理及排列组合 题型01 数字排列问题 题型02 涂色问题 题型03 特殊元素优先法则 题型04 相邻问题—捆绑法 题型05 不相邻问题—插空法 题型06 隔板法 题型07 分组分配问题 题型08 定序问题 题型01 数字排列 1．（23-24高二下·天津南开·期中）用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（    ） A．720 B．648 C．320 D．328 【答案】D 【分析】按个位数字为和不为分类讨论，利用分步计数原理即可求得没有重复数字的三位偶数的个数. 【详解】若个位数字为，十位和百位的排法种数为； 若个位数字不为，则确定个位数字有种方法， 确定百位数字有种方法，确定十位数字有种方法， 所以排法种数为. 所以可以组成个没有重复数字的三位偶数. 故选：D 2．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】根据已知条件，一一列举即可. 【详解】当百位为6时，十位可以为5，6，7，当十位为5时，个位可以为4，5，6； 当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为7，8，9； 共9个； 当百位为7时，十位可以为6，7，8，当十位为6时，个位可以为5，6，7； 当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9； 共9个； 当百位为8时，十位可以为7，8，9，当十位为7时，个位可以为6，7，8； 当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9； 共8个； 当百位为9时，十位可以为8，9，当十位为8时，个位可以为7，8，9； 当十位为9时，个位可以为8，9；共5个； 综上，总共9+9+8+5=31个，故A，C，D错误. 故选：B. 3．（23-24高二下·天津武清）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（    ） A．20 B．21 C．25 D．26 【答案】B 【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可． 【详解】当十位是时，百位可选，个位可选和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选，和2，共个， 当十位是时，百位可选，和，个位可选，和，共个， 当十位是时，百位可选和，个位可选和，共个， 综上所述，共个， 故选：B． 4．（22-23高二下·福建福州·期中）定义：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，比如“1005，2013”，则所有“幸运数”的个数为（    ） A．20 B．56 C．84 D．120 【答案】B 【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可. 【详解】“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，故首位最大为6，且首位不为0，则有： 若首位为6，则剩余三位均为0，共有1个“幸运数”； 若首位为5，则剩余三位为，共有个“幸运数”； 若首位为4，则剩余三位为或，共有个“幸运数”； 若首位为3，则剩余三位为或或，共有个“幸运数”； 若首位为2，则剩余三位为或或或，共有个“幸运数”； 若首位为1，则剩余三位为或或或或，共有个“幸运数”； 综上所述：共有个“幸运数”. 故选：B. 题型02 涂色问题 1．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 【答案】B 【分析】按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有.故选：B. 2．（23-24高二下·山东滨州·阶段练习）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ） A．48 B．56 C．72 D．256 【答案】A 【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数. 【详解】将四个区域标记为，如下图所示： 第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法， 根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法. 故选：A. 3．（23-24高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解． 【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当,颜色相同时涂色方法数是：， ② 当,颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 5．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（    ）    A．240 B．300 C．420 D．480 【答案】C 【分析】 以S→A→B→C→D的顺序分步染色,用分步乘法计数原理,同时注意根据同色与不同色用分类计算． 【详解】 以S→A→B→C→D的顺序分步染色． 第1步，对S点染色，有5种方法． 第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法． 第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法． 第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法． 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种． 故选：C． 题型03 特殊元素优先法则 1．（23-24高二下·四川内江·期中）5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解. 【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列， 所以甲乙都不站两端的不同站法共有种. 故选：A. 2．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【分析】利用间接法计算可得答案. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况， 甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况， 总共的情况有. 故选：C． 3．（23-24高二下·河北张家口·期中）某天要排语文、数学、体育、计算机、物理、化学六节课，上午四节下午两节，其中体育不排在上午第一节和下午第一节，那么这天课程表的不同排法共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．480种 【答案】D 【分析】先排体育课，剩余课程全排列，结合排列数运算求解即可. 【详解】由题意可知：体育课有4个位置可选，先排体育课，剩余课程全排列， 所以这天课程表的不同排法共有种. 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏南通·期中）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（    ） A．720 B．1440 C．2400 D．2880 【答案】B 【分析】先将学生的节目全排列，然后对教师节目进行插空即可得解. 【详解】由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法， 然后对教师节目进行插空有种排法， 所以满足题意的排法种数为种. 故选：B. 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（    ） A．84 B．96 C．168 D．204 【答案】C 【分析】分“数”排在第一节和“数”排在第二节两种情况讨论求解. 【详解】解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类： ①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有种排法； ②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有种排法． 故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有种， 故选：C． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期中）五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 【答案】B 【分析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为，分类讨论前排大人，结合排列运算求解. 【详解】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为， 若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种； 综上所述：不同的排法共有种. 故选：B. 题型04 相邻问题—捆绑法 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出6人的所有排法，再利用捆绑法先将甲、乙看成一个整体后与其他同学进行排列，再将张老师排在排头或排尾计算出排列种数，可得概率. 【详解】根据题意可知共有种排法， 第一步，若甲与乙站在一起，可将甲、乙两人看成一个整体再与其他3名同学进行排列，共有种排法， 第二步，又因为张老师必须站排头或排尾，共有种； 因此所求概率为. 故选：C 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】分任务A排在第1位，第2位，第3位三种情况进行讨论，每种情况中要将E和F用捆绑法当作一个整体，再与剩余任务进行全排列，当A排第2位时，要注意E和F的整体不可放置在第1位上，最后将所有情况用分类加法进行求和即可. 【详解】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论： 排在第一位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 排在第二位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 排在第三位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 则符合题意要求的安排方案有种； 故选：D． 3．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（    ） A．、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．与同学不相邻，共有种站法 C．、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法 D．不在排头，不在排尾，共有504种站法 【答案】C 【分析】利用全排列和定序可判断A;利用插空法可判断B;利用捆绑法可判断C;利用间接法可判断D. 【详解】对于A,6个人的全排列共有种方法，、、全排列有种方法， 所以、、三位同学从左到右按照由高到矮的排列有种方法，故A正确； 对于B，先排其余4个人，有种方法， 4个人有5个空，利用插空法将、插入5个空中，有种方法， 则共有种站法，故B正确； 对于C，、、三位同学必须站在一起， 且只能在与的中间的排法共有2种， 将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法， 则共有种方法，故C错误； 对于D，6个人全排列共有种方法， 当在排头时，共有种方法， 当在排尾时，共有种方法， 当在排头且在排尾时，共有种方法， 则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D正确， 故选：C. 4．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）2024年龙年春晚西安分会场的节目《山河诗长安》引起巨大反响，让观众感受到了传统文化的魅力.我校新学期开学以来为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．192 B．240 C．120 D．288 【答案】A 【分析】先用捆绑法得到，只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”相邻的情况即可. 【详解】依题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到, 当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧， 此时再用捆绑法，将三者捆在一起即， 所以最终满足题意的排法为. 故选：A 5．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（    ） A．192 B．240 C．96 D．48 【答案】A 【分析】丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可. 【详解】解：丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况， 考虑到甲、乙的顺序有种情况， 剩下的4个位置其余4人坐，有种情况， 故不同的坐法的种数为. 故选：A. 题型05 不相邻问题—插空法 1．（23-24高二下·甘肃白银·期中）甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（    ） A．480种 B．360种 C．240种 D．600种 【答案】A 【分析】根据不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有种． 故选：A 2．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）唐山棋子烧饼，因形状､大小都酷似中国象棋的棋子而得名．烧饼里外烤制酥透，色泽金黄，肉馅鲜香，酥脆适口不腻，是唐山地区独有的风味美食．某唐山棋子烧饼店有一种“五福临门”套餐（肉､糖､什锦､腊肠､火腿5种馅心的唐山棋子烧饼各1个），在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种唐山棋子烧饼，每个格子只能放1个，若要求肉馅和腊肠馅的唐山棋子烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有（    ）    A．35种 B．70种 C．36种 D．72种 【答案】D 【分析】不相邻问题用插空法计算可得. 【详解】依题意首先将其余三种烧饼全排列， 再将肉馅和腊肠馅烧饼插入到其所形成的个空中的个， 故不同的摆放方法一共有种. 故选：D 3．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营，将､车､马､炮､兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法不正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“将”不相邻，则有72种排列方式 D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式 【答案】B 【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，故共有种情况，B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确. 故选：B. 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）5件不同的产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有（    ）种． A．60 B．48 C．36 D．32 【答案】C 【分析】先只考虑与产品相邻．此时用捆绑法，将和作为一个元素考虑，计算方法数．再排除既满足与相邻，又满足与相邻的情况，此时用捆绑法，计算方法数，进而可得结果． 【详解】先考虑产品与相邻，把作为一个元素有种方法，而可交换位置，所以有种摆法， 又当相邻又满足相邻，有种摆法， 故满足条件的摆法有种. 故选：C. 5．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）高三一班共选出共有5个节目参加学校的文艺汇演，其中3个舞蹈节目，2个小品节目；如果2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场，那么出场顺序的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】D 【分析】先求出2个小品节目不能连续出场的排法种数，再减去舞蹈节目甲排在第一个，且2个小品节目不能连续出场的排法数，可得结果. 【详解】事件2个小品节目不能连续出场可分为两步完成， 第一步，先排3个舞蹈节目，有种方法， 第二步，三个舞蹈节目之间有4个空，从四个空中选两个排小品节目，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，2个小品节目不能连续出场的排法共有种， 事件2个小品节目不能连续出场且舞蹈节目甲排在第一个出场，可分为两步完成， 第一步，先排3个舞蹈节目，有种排法， 第二步，三个舞蹈节目之间有3个空，从3个空中选两个排小品节目，有种排法， 由分步乘法计数原理可得， 2个小品节目不能连续出场且舞蹈节目甲排在第一个出场的排法数为， 所以2个小品节目不能连续出场，且舞蹈节目甲不能在第一个出场的排法数为72－12＝60， 故选：D． 题型06 隔板法 1．（2024·河南·模拟预测）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．84 C．126 D．210 【答案】B 【分析】将问题等价转换为将 10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法，利用隔板法即可求解. 【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法， 等价于将 10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法. 用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆， 由于 10个小球中间共有 9个空隙，因此共有 种不同的分法. 故选：B. 2．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 【答案】B 【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解. 【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额， 可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆， 由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有种不同的分法． 故选：B. 3．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，利用隔板法进行求解即可. 【详解】问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数， 相当于在20个相同元素的19个间隔（除去两端）中插入8块隔板隔成9份，故共有种方法， 所以名额分配方式有种． 故选：D. 4．（23-24高二下·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解. 【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 题型07 分组分配问题 1．（2024·广西来宾·一模）如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．12种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】B 【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解. 【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能， 故选：B. 二、多选题 2．（23-24高二下·四川内江·期中）有甲、乙等4名同学，则下列说法正确的是（   ） A．4人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为12种 B．4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为24种 C．4名同学分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有20种 D．4名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在一起，则不同的安排方法有6种 【答案】AD 【分析】用捆绑法即可判断A，用倍缩法即可判断B，用平均分组与不平均分组即求解可判断C，用分类加法分步乘法原理求解即可判断D. 【详解】对于A，4人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确； 对于B，4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误； 对于C，4名同学平均分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观， 则有种， 4名同学不平均分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观， 则有种，所以共有种，故C不正确； 对于D，6名同学分成两组参加不同的活动，甲、乙在一起， 若还有一位同学与他们一组，共有种分法； 若甲、乙一个组，另两人一个组共有； 所以共有种分组方法，故D正确． 故选：AD. 3．（23-24高二下·广东·期中）6名学生站成一排照相留念，其中男同学4名，女同学2名，则下面正确的有（    ） A．两位女生必须相邻的站法有120种 B．两个女生不相邻的站法有480种 C．有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个，则不同的分发方法有240种 D．现有16个相同口罩全部发给这6名学生，每名学生至少发2个口罩，则不同发放方法有126种 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法判断A，利用插空法判断B，先分组、再分配，即可判断C，首先没人发1个口罩，再利用隔板法计算剩下的10个口罩发放方法数，即可判断D. 【详解】对于A，两位女生必须相邻的站法有种，故A错误； 对于B，两个女生不相邻的站法有种，故B正确； 对于C，有5个不同的拍照工具只分发给4名男生，每名男生至少1个， 则不同的分发方法有种，故C正确； 对于D，每名学生先发1个口罩，剩余的10个口罩再分给6名学生，每人至少1个， 再利用隔板法，10个口罩9个空位，插入5个挡板，分成6组即可， 则不同发放方法有种，故D正确． 故选：BCD． 4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 【答案】ACD 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 题型08 定序问题 1．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种 【答案】C 【分析】利用排列知识计算即可. 【详解】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法， 又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法. 故选：C 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为. 故选：B 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】C 【分析】求出A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列的排列个数，然后确定A，B在C同侧的情况所占的比例，即可求得答案. 【详解】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有, 其中的顺序有，共6种， A，B在C同侧的情况有共4种， 即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中， A，B在C同侧的情况占比为， 则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（种）， 故选：C 4．（23-24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【分析】 先求得六人的全排列数，结合题意，利用定序排列的方法，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法， 其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法， 其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种. 故选：B. 5．（23-24高三上·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【详解】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$