专题02 空间向量与立体几何（四类常规题型，23道强化练习题）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题02 空间向量与立体几何 题型01 空间几何体异面直线夹角 题型02 空间几何体线面角 题型03 空间几何体二面角 题型04 空间几何体距离问题 题型01 空间几何体异面直线夹角 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 7．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）如图，在正方体中，点M，N分别是棱上的点，且，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 题型02 空间几何体线面角 1（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 2．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建福州·期末）在正方体中，点满足，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，点为底面圆上一点，为线段的中点，，且，点在直线上，则下列说法正确的是（    ）    A．当为的中点时，平面平面 B．当为的中点时，直线与平面所成角为 C．不存在点，使得平面 D．当时，使得平面 6．（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在三棱锥中，平面平． (1)证明：． (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 题型03 空间几何体二面角 1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，直线平面，，，． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 2（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，，求二面角的余弦值. 3（23-24高二下·河南·期中）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. (1)证明:平面. (2)求二面角的正弦值. 4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型04 空间几何体距离问题 1．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求： (1)与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离． 6．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）． (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？ (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量与立体几何 题型01 空间几何体异面直线夹角 题型02 空间几何体线面角 题型03 空间几何体二面角 题型04 空间几何体距离问题 题型01 空间几何体异面直线夹角 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为．故选：B 2．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量公式，转化为求的值. 【详解】由已知得， 设异面直线与所成的角为，则．故选：A 3．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则, 又，分别为母线、的中点，所以， 则，，设异面直线和所成角的， 则，又，所以. 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由向量垂直的坐标表示可解得，即可由向量法求得，从而求得结果. 【详解】由题意得，设，则有， ，，由得， ，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为.    故选：C. 6．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的数量积表示计算得解. 【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解， 故选：D 7．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）如图，在正方体中，点M，N分别是棱上的点，且，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长，    依题意，，则， 所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为.故选：C 题型02 空间几何体线面角 1（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 2．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，借助空间向量线面角的求法，求出与底面所成角的正弦值. 【详解】 如图分别以所在直线为轴､轴､轴建立直角坐标系， 由已知，得， 则重心，因而， 设与底面所成的角为，则 .故选：A. 3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可. 【详解】    以为原点建立空间直角坐标系，必有，，， ，设，而，， 由题意得，故，得，故， 故，，易知面的法向量， 故， 若最大，则最大， 由二次函数性质得当时，最大， 此时，， 此时最大，且，显然A正确. 故选：A 4．（23-24高二上·福建福州·期末）在正方体中，点满足，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的坐标运算，求出点的坐标，进而求出直线方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示 则, 所以 设，则， 因为， 所以，即，解得 所以, 设平面的法向量为，则 ,即，令，则， 所以.设直线与平面所成角为，则 ，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，是圆柱底面圆的直径，是圆柱的母线，点为底面圆上一点，为线段的中点，，且，点在直线上，则下列说法正确的是（    ）    A．当为的中点时，平面平面 B．当为的中点时，直线与平面所成角为 C．不存在点，使得平面 D．当时，使得平面 【答案】ABC 【详解】当为的中点时，因为为线段的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又，同理可证平面，又，平面， 所以平面平面，故A正确； 因为是圆柱的母线，所以平面，所以平面，平面， 所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又，所以，所以，所以直线与平面所成角为，故B正确；如图建立空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取， 又点在直线上，设，所以， 假设平面，所以， 则，显然方程组无解，故不存在点，使得平面，故C正确，D错误. 故选：ABC    6．（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在三棱锥中，平面平． (1)证明：． (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 又，面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又， 所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令得． 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型03 空间几何体二面角 1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，直线平面，，，． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法证明，即可得证. （2）先由已知求得的长，然后求出两个平面的法向量，由向量夹角公式即可得解. 【详解】（1）平面，平面，平面， ，，又， ，，两两互相垂直，以为原点，，，为，，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由已知得，，，， ，，， ，，，， 又，，平面，平面． （2）由（1），得平面的一个法向量是，， 设直线与平面所成的角为， 则，，即， 设平面的法向量为，，， 由，，得， 令，则，． 二面角是锐角，二面角的余弦值为． 2（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示： ∵M为棱的中点，∴，，∵，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面. （2）∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面，又平面， ∴， （3）∵，，， ∴，∴， 因为，， ∴以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，即. 令，则，．所以平面的一个法向量为， 易知为平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 3（23-24高二下·河南·期中）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. (1)证明:平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明:如图，设为在底面的射影，连接，则平面. 因为平面ABC，所以 又为BC的中点，，所以 因为平面平面， ∴平面. 又为的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， ∴平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系. 在三棱柱中，， 所以， 则. 由（1）知平面，则是平面的一个法向量， 因为，且，所以. 设平面的法向量为， 则即 设，得， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为. 4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面， 又，平面，则平面， 取的中点，连接，由，，得， 则，而，于是， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）设平面的一个法向量为，而，， 则，令，得， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）假设线段上存在一点满足条件，令，， 则，即， 由（1）知平面的一个法向量， 于是， 整理得：，即，而，解得， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且. 题型04 空间几何体距离问题 1．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离.故选：D. 2（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 三、解答题 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求： (1)与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可知两两垂直，如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，则， 故，设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 所以，所以与平面所成角的正弦值为； （2）， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 则点到平面的距离为． 6．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）． (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？ (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析.(2)(3) 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以 又平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 又四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，设（）. 那么，，. 因为，所以. （2）设平面的法向量为，则 ， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则（当且仅当时取“”）.所以：当时，直线与平面所成的角最大. （3）在（2）的情况下，，平面的法向量， 所以点到平面的距离为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$