专题05 特殊平行四边形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题05 特殊平行四边形 【考点1】菱形的性质．菁 【考点2】菱形的判定． 【考点3】菱形的判定和性质综合 【考点4】矩形的判定 【考点5】直角三角形斜边上的中线 【考点6】矩形的性质； 【考点7】矩形的判定和性质综合； 【考点8】正方形的性质 【考点9】正方形的判定 【考点10】正方形的判定和性质综合 知识点1： 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 知识点2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 知识点4：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 知识点5：直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 知识点6：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 知识点7：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 知识点8：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【考点1】菱形的性质．菁 1．（2024•阳西县一模）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 2．（2023秋•双流区期末）菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 3．（2023秋•遵义期末）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝5，BD＝6，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•周村区期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都相等 5．（2023秋•渝中区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　） A． B． C． D． 【考点2】菱形的判定． 6．（2024•西安校级一模）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 7．（2023秋•南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（　　） A．20 B．30 C． D． 9．（2024•随州一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 【考点3】菱形的判定和性质综合 10．（2024•温州开学）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积． 11．（2023秋•长沙期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE． （1）求证：四边形AECD为菱形； （2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积． 【考点4】矩形的判定 12．（2024•成都模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．OA＝OB C．AB＝BC D．∠ABD＝∠DBC 13．（2023秋•梅县区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 14．（2023秋•清远期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 15．（2024•常州模拟）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°． （1）求证：△ABF≌△DEC； （2）求证：四边形BCEF是矩形． 16．（2023秋•榆林期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 【考点5】直角三角形斜边上的中线 17．（2023秋•周村区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 18．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　） A．65° B．70o C．75o D．80o 【考点6】矩形的性质 19．（2024•榆阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，点O，M分别是AC，AD的中点，OM＝3，OB＝5，则AD的长为（　　） A．12 B．10 C．9 D．8 20．（2024•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 21．（2023秋•龙泉驿区期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 22．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【考点7】矩形的判定和性质综合； 23．（2023秋•舒兰市期末）如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD＝10，OD＝6，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E． （1）求OC的长． （2）求四边形OBEC的面积． 24．（2023秋•九江期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的长． 25．（2024•西城区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝3，求BF的长． 【考点8】正方形的性质 26．（2024•大渡口区模拟）一个正方形的边长为2，它的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（2023秋•淄川区期末）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（2023秋•观山湖区校级月考）小明用四根长度相同的木条，制作了如图1能够活动的菱形学具，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D． 29．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　 　． 【考点9】正方形的判定 30．（2023秋•秦都区期末）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　 　可使菱形ABCD成为正方形． 31．（2023秋•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明． 【考点10】正方形的判定和性质综合 32．（2023春•石阡县期中）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求CE+CG的值． 33．（2023春•武都区期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．求证： （1）AK＝AH； （2）四边形AKFH是正方形． 34．（2023春•商水县期末）如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F． （1）求证：四边形OECF是正方形； （2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 2．（2023秋•龙泉驿区期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 3．（2023秋•城阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A． B．（3，0） C．（﹣6，0） D．（6，0） 4．（2023秋•蓬莱区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形 5．（2023秋•钢城区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023秋•南安市期末）如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2023秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 8．（2023秋•沈丘县期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（　　） A． B． C． D．不能确定 9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　） A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2 10．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•佛山期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　　． 12．（2023秋•遂川县期末）若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为 　　． 13．（2023秋•和平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的面积是　　． 14．（2023秋•礼县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为　　． 15．（2023秋•揭阳期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若，CE＝1，则BE的长为 　　． 16．（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　　． 三．解答题（共4小题） 17．（2024•锡山区校级一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数． 18．（2023•怀化）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F． （1）证明：△BOF≌△DOE； （2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形． 19．（2023秋•宁阳县期末）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形； （3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 20．（2024•昭通一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊平行四边形 【考点1】菱形的性质．菁 【考点2】菱形的判定． 【考点3】菱形的判定和性质综合 【考点4】矩形的判定 【考点5】直角三角形斜边上的中线 【考点6】矩形的性质； 【考点7】矩形的判定和性质综合； 【考点8】正方形的性质 【考点9】正方形的判定 【考点10】正方形的判定和性质综合 知识点1： 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 知识点2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 知识点4：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 知识点5：直角三角形斜边上的中线 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 知识点6：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 知识点7：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 知识点8：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【考点1】菱形的性质．菁 1．（2024•阳西县一模）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴BC＝2EF＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24， 故选：A． 2．（2023秋•双流区期末）菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴AO＝4cm，BO＝3cm， ∴AB＝＝5cm， ∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm， 故选：B． 3．（2023秋•遵义期末）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝5，BD＝6，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD＝6， ∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA＝＝＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∵DE⊥AB， ∴S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD＝×8×6＝24， ∴5DE＝24， ∴DE＝， 故选：C． 4．（2023秋•周村区期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都相等 【答案】C 【解答】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意； B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意； D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意； 故选：C． 5．（2023秋•渝中区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过P作PM⊥CD于M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD， ∵PF⊥BC于F， ∴PF＝PM， ∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB， ∴P、E、M共线， ∴PE+PF＝PE+PM＝ME， ∵AC＝8，BD＝6， ∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3， ∴AB＝＝5， ∵菱形ABCD的面积＝AB•EM＝AC•BD， ∴5EM＝×6×8， ∴EM＝． ∴PE+PF的值为． 故选：C． 【考点2】菱形的判定． 6．（2024•西安校级一模）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【答案】C 【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形． 故选：C． 7．（2023秋•南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 8．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（　　） A．20 B．30 C． D． 【答案】C 【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°， ∴AB2+CB2＝AC2， ∵AB＝CB，AC＝20， ∴2AB2＝（20）2， ∴AB＝20， 在菱形ABCD中，AB＝CB＝20， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝20， 如图（1），连接BD交AC于点O， ∴AC⊥BD，∠ABO＝30°， ∴OA＝AB＝10， ∴OB＝OA＝10， ∴BD＝2OB＝20， 故选：C． 9．（2024•随州一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 【考点3】菱形的判定和性质综合 10．（2024•温州开学）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解答； （2）8． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，， ∴，AB＝2BO， ∴， ∴AB2＝AO2+BO2， ∴4BO2﹣BO2＝12， ∴BO＝2（负值舍去）， ∴BD＝4， ∴菱形ABCD的面积＝． 11．（2023秋•长沙期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE． （1）求证：四边形AECD为菱形； （2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）△ABC的面积为8． 【解答】（1）证明：∵E为AB中点， ∴AB＝2AE， ∵AB＝2CD， ∴2AE＝2CD， ∴AE＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DCA＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC， ∴四边形AECD为菱形． （2）解：∵AE＝CE＝DC＝4， ∴AE＝BE＝CE＝4， ∵∠CEB＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4， ∵∠ACE＝∠CAE， ∴∠CEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACE＝60°， ∴∠ACE＝30°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝30°+60°＝90°， ∵AB＝2AE＝8， ∴AC＝＝＝4， ∴S△ABC＝BC•AC＝×4×4＝8， ∴△ABC的面积为8． 【考点4】矩形的判定 12．（2024•成都模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．OA＝OB C．AB＝BC D．∠ABD＝∠DBC 【答案】B 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDC＝∠DBC， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意， 故选：B． 13．（2023秋•梅县区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 【答案】C 【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 14．（2023秋•清远期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 15．（2024•常州模拟）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°． （1）求证：△ABF≌△DEC； （2）求证：四边形BCEF是矩形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AC＝FD， ∴AC﹣CF＝DF﹣CF， 即AF＝CD， 在△ABF与△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）； （2）∵△ABF≌△DEC， ∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA， ∴∠ECF＝∠BFC， ∴EC∥BF， ∵∠CEF＝90°， ∴四边形BCEF是矩形． 16．（2023秋•榆林期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC，OB＝BD， ∵四边形AEBO是菱形， ∴OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【考点5】直角三角形斜边上的中线 17．（2023秋•周村区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10， 则OB＝AC＝5， 故选：A． 18．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　） A．65° B．70o C．75o D．80o 【答案】C 【解答】解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝25°， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝25°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°， ∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°， 故选：C． 【考点6】矩形的性质 19．（2024•榆阳区校级一模）如图，在矩形ABCD中，点O，M分别是AC，AD的中点，OM＝3，OB＝5，则AD的长为（　　） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解答】解：由题意，∵点O、M分别是AC、AD的中点， ∴OM是△ADC的中位线． ∴CD＝2OM＝6． 又OB是Rt△ABC的斜边AC边上的中线， ∴AC＝2OB＝10． 在Rt△ABC中，AB＝CD＝6， ∴由勾股定理可得：BC＝＝8， ∴AD＝BC＝8， 故选：D． 20．（2024•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4， 即△OAB为等腰三角形， 又∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形． 故AB＝BO＝4， ∴DC＝AB＝4． 故选：B． 21．（2023秋•龙泉驿区期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：B． 22．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解答】解：如图，连接CE， 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5， ∴S△ACE＝2S△COE＝10． ∴AE•CD＝10， ∵CD＝4， ∴AE＝EC＝5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝3． 故选：D． 【考点7】矩形的判定和性质综合； 23．（2023秋•舒兰市期末）如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD＝10，OD＝6，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E． （1）求OC的长． （2）求四边形OBEC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠DOC＝90°， ∴OC＝＝＝8， 即OC的长为8， （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠BOC＝90°，OB＝OD＝6， 又∵CE∥DB，BE∥AC， ∴四边形OBEC为矩形， S四边形OBEC＝OC•OB＝8×6＝48， 即四边形OBEC的面积为48． 24．（2023秋•九江期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的长． 【答案】（1）见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∵AE＝BE，AB＝2， ∴AE＝BE＝， ∴CE＝2BE＝2， ∴AC＝＝＝． 25．（2024•西城区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝3，求BF的长． 【答案】（1）见解答； （2）BF的长是3． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DE⊥BC， ∴AC∥DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形． （2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， ∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×3＝6， ∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×6＝3， ∴BF＝＝＝3， ∴BF的长是3． 【考点8】正方形的性质 26．（2024•大渡口区模拟）一个正方形的边长为2，它的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：根据正方形面积公式得，它的面积为22＝4； 故选：B． 27．（2023秋•淄川区期末）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD， 又∵OE⊥OF， ∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF， ∴∠EOB＝∠COF， ∴△BEO≌△CFO（ASA）， ∴BE＝CF＝3， 又∵AB＝BC， ∴AE＝BF＝4， ∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5． 故选：C． 28．（2023秋•观山湖区校级月考）小明用四根长度相同的木条，制作了如图1能够活动的菱形学具，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D． 【答案】D 【解答】解：如图1，连接AC， ∵∠B＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝20cm， 如图2，连接AC， ∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝90°， ∴AC＝20cm， 故选：D． 29．（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　（，1+）　． 【答案】（，1+）． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图： ∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°， ∴∠ADO＝30°， ∴AO＝1，DO＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADO＝∠DCF， ∴△AOD≌△DFC（AAS）， ∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝， ∴CE＝1+， ∴点C的坐标为：（，1+）． 故答案为：（，1+）． 【考点9】正方形的判定 30．（2023秋•秦都区期末）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　AC＝BD或AB⊥BC　可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC； 故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． 31．（2023秋•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）答案不唯一，如：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．证明见解析． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC． ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE， ∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠MAE， ∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE＝180°， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． （2）解：答案不唯一，如：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 证明：∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴DC＝AD， ∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形． 故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形． 【考点10】正方形的判定和性质综合 32．（2023春•石阡县期中）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F．以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求CE+CG的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）8． 【解答】（1）证明：如图所示，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD． ∵EM⊥CD，EN⊥BC， ∴EM＝EN． ∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EMCN是矩形． ∴∠MEN＝90°． ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°． ∴∠DEM＝∠FEN． ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）． ∴ED＝EF． ∴矩形DEFG是正方形； （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形 ∴DE＝DG，AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°． ∴∠ADE＝∠CDG． ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG． ∴． 33．（2023春•武都区期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．求证： （1）AK＝AH； （2）四边形AKFH是正方形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF， ∵DH＝CE＝BK， ∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB， 在△ADH和△ABK中， ， ∴△ADH≌△ABK（SAS）， ∴AK＝AH； （2）证明：∵△ADH≌△ABK， ∴∠HAD＝∠BAK． ∴∠HAK＝90°， 同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， ∴AH＝AK＝HF＝FK， ∴四边形AKFH是正方形． 34．（2023春•商水县期末）如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F． （1）求证：四边形OECF是正方形； （2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB． ∵AO⊥BD， ∴DO＝BO， ∵OF⊥DC，OE⊥BC， ∴∠OFD＝∠OEB＝90° ∵∠ODF＝∠OBE＝45°， ∴△ODF≌△OBE（AAS）， ∴OF＝OE． ∵∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形． ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ODF＝45°，AD＝CD＝4． ∵∠OFD＝90°， ∴DF＝OF． ∵四边形OECF是正方形， ∴OF＝FC， ∴， ∴S正方形OECF＝FC2＝4． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4， 即△OAB为等腰三角形， 又∠AOB＝60°， ∴△OAB为等边三角形． 故AB＝BO＝4， ∴DC＝AB＝4． 故选：B． 2．（2023秋•龙泉驿区期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：B． 3．（2023秋•城阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A． B．（3，0） C．（﹣6，0） D．（6，0） 【答案】A 【解答】解：∵点B的坐标为（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠ABO＝ABC＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴OA＝OB•tan60°＝3， ∴A（﹣3，0）， 故选：A． 4．（2023秋•蓬莱区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 5．（2023秋•钢城区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵BC＝10，BF＝4， ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣4＝6， ∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DE＝FC＝×6＝3． 故选：B． 6．（2023秋•南安市期末）如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8， ∴． 故选：B． 7．（2023秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD， ∴BO＝＝＝4， ∴BD＝8 故选：A． 8．（2023秋•沈丘县期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝；是原正方形的面积的一半；故选：A． 9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　） A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2 【答案】C 【解答】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴AB2+BC2＝62+82＝102， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形， D、正确，∵∠1＝∠2， ∴AO＝BO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故选：C． 10．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值， 理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∴AC•BC＝， ∴＝， ∴CM＝， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DE＝CM＝＝， 即DE的最小值是， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•佛山期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故答案为：4． 12．（2023秋•遂川县期末）若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：设正方形的边长为a， ∵正方形ABCD的周长为8， ∴4a＝8，即a＝2， ∴对角线AC＝． 故答案为：2． 13．（2023秋•和平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的面积是　24　． 【答案】24． 【解答】解：菱形的面积＝＝＝24， 故答案为：24． 14．（2023秋•礼县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴DE＝AD＝×6＝3， 又∵BD平分∠ABC， ∴CD＝DE＝3， ∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝30°， ∴BD＝2CD＝2×3＝6， ∵P点是BD的中点， ∴CP＝BD＝×6＝3． 故答案为：3． 15．（2023秋•揭阳期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若，CE＝1，则BE的长为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∴， ∴，∠EBO＝∠ACB， ∵OE⊥BD， ∴∠BOE＝∠CBA＝90°， ∴△BOE∽△CBA， ∴即， 解得BE＝2或BE＝﹣3（舍去）， 故答案为：2． 16．（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3+　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD， ∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°， ∴AE＝BE＝3＝OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°， ∴DE＝＝， ∵OD≤OE+DE， ∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大． ∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+， 故答案为：3+． 三．解答题（共4小题） 17．（2024•锡山区校级一模）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠FCD， ∵AF＝CE， ∴AE＝CF， 又∵AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°， ∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠CFD＝∠AEB＝100°． 18．（2023•怀化）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F． （1）证明：△BOF≌△DOE； （2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵点O是BD的中点， ∴DO＝BO， 又∵∠EOD＝∠FOB， ∴△BOF≌△DOE（ASA）； （2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE， ∴BF＝DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD是菱形． 19．（2023秋•宁阳县期末）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形； （3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD； （2）证明：由（1）知BE＝AB， ∵BF平分∠ABE， ∴AF＝EF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形； （3）解：由（1）知BE＝AB， 又∵∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE＝4， ∵BF⊥AE， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得，， ∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE， ∴△ADF≌△ECF， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝． 20．（2024•昭通一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）96． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠AED＝∠ADE， ∴AD＝AE， ∴平行四边形AECD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE， ∵△ACD的周长为36， ∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16， ∴OA＝OC＝8， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6， ∴DE＝2OD＝12， ∴菱形AECD的面积＝AC•DE＝×16×12＝96． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/29 10:57:12；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$