期末复习（高频考题55题28个考点）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

期末复习（高频考题55题28个考点） 一．因式分解的意义（共1小题） 1．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 二．因式分解-运用公式法（共2小题） 2．分解因式：a4﹣16a2＝　 　． 3．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　 　． 三．因式分解的应用（共3小题） 4．已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（　　） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 6．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　 　． 四．分式的值为零的条件（共1小题） 7．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 五．分式的基本性质（共2小题） 8．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 9．若＝2，则＝　 　． 六．分式的加减法（共2小题） 10．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 11．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）若分式的值为整数，求x的整数值． 七．分式方程的增根（共1小题） 12．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 八．不等式的性质（共3小题） 13．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0 14．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 15．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2 九．解一元一次不等式（共1小题） 16．阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）min{﹣1，3}＝　 　； （2）当min时，求x的取值范围． 一十．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 17．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 一十一．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 18．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 19．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是　 　． 一十二．角平分线的性质（共4小题） 20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 21．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 22．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 一十三．等腰三角形的性质（共3小题） 24．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．11 D．7或10 25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　 　． 26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为　 　． 一十四．等腰三角形的判定（共1小题） 27．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 一十五．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 28．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长． 一十六．等边三角形的性质（共3小题） 30．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　 　． 31．如图，已知等边△ABC的边长是6，点D在AC上，且CD＝4．延长BC到E，使CE＝CD，连接DE．点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为　 　． 32．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC． （1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由； （2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长． 一十七．等边三角形的判定与性质（共2小题） 33．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 34．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　 　． 一十八．含30度角的直角三角形（共1小题） 35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 一十九．勾股定理（共2小题） 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 　． 37．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 二十．勾股定理的证明（共1小题） 38．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 二十一．三角形中位线定理（共1小题） 39．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 二十二．多边形内角与外角（共2小题） 40．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 41．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．10或11或12 二十三．平行四边形的性质（共3小题） 42．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　） A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm 43．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（　　） A．S1＝S4 B．S1+S4＝S2+S3 C．S1S4＝S2S3 D．都不对 44．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 二十四．平行四边形的判定与性质（共1小题） 45．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 二十五．平移的性质（共1小题） 46．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　． 二十六．坐标与图形变化-平移（共2小题） 47．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．8 48．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出点B的坐标（ 　 　）． （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 二十七．旋转的性质（共5小题） 49．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 50．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　． 51．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　 　（填序号） ①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120° 52．如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠EBF＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）． （1）∠MBF′＝　 　．（用含t的代数式表示） （2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 　 　． 53．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 二十八．中心对称（共2小题） 54．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 55．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（高频考题55题28个考点） 一．因式分解的意义（共1小题） 1．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 【答案】A 【解答】解：∵x2+ax+b＝a（x﹣2）（x+3）， ∴a＝1，b＝﹣2×3＝﹣6， 故选：A． 二．因式分解-运用公式法（共2小题） 2．分解因式：a4﹣16a2＝　a2（a+4）（a﹣4）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：a4﹣16a2， ＝a2（a2﹣16）， ＝a2（a+4）（a﹣4）． 故答案为：a2（a+4）（a﹣4）． 3．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　﹣2或8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式， ∴2（3﹣m）＝±10 解得：m＝﹣2或8． 故答案为：﹣2或8． 三．因式分解的应用（共3小题） 4．已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005， ∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）， ＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]， ＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]， ＝×（1+1+4）， ＝3． 故选：D． 5．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（　　） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8， ⇒ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8， ⇒ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0， ⇒ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0， ⇒ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0， ⇒ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0， ∵a、b均为正数， ∴ab＞0， ∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0， 即a﹣b＝1，ab＝2， 解方程， 解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴a2﹣b2＝4﹣1＝3． 故选：B． 6．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b， ＝（a+b）（a﹣b）+4b， ＝2（a﹣b）+4b， ＝2a+2b， ＝2（a+b）， ＝2×2， ＝4． 故答案为：4． 四．分式的值为零的条件（共1小题） 7．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 |x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得，x＝1． 故选：B． 五．分式的基本性质（共2小题） 8．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【答案】B 【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：， 则分式的值变为原来的． 故选：B． 9．若＝2，则＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy 则＝＝＝． 故答案为． 六．分式的加减法（共2小题） 10．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝ 又∵x为正整数， ∴≤＜1 故表示﹣的值的点落在② 故选：B． 11．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）若分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣； （2）＝＝＝x﹣1+， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x+1＝±1， ∴x＝﹣2或0． 七．分式方程的增根（共1小题） 12．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 【答案】B 【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得 6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1）， 由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1． 当x＝1时，m＝3， 当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的， 所以增根只能是x＝1． 故选：B． 八．不等式的性质（共3小题） 13．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0 【答案】A 【解答】解：当x＝1时，a+2＞0 解得：a＞﹣2； 当x＝2，2a+2＞0， 解得：a＞﹣1， ∴a的取值范围为：a＞﹣1． 故选：A． 14．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 【答案】C 【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意； D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 15．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2 【答案】C 【解答】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误； C、∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b ∴m﹣a＞m﹣b，故C正确； D、∵m2≥0，a＜b ∴am2≤bm2，故D错误； 故选：C． 九．解一元一次不等式（共1小题） 16．阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）min{﹣1，3}＝　﹣1　； （2）当min时，求x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 3（2x﹣3）≥2（x+2） 6x﹣9≥2x+4 4x≥13 x≥， ∴x的取值范围为x≥． 一十．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 17．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【答案】C 【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1）， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵， ∴可列不等式组为：， 即． 故选：C． 一十一．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 18．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2． 故选：A． 19．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是　x＜﹣1或x＞2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点， ∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1或x＞2． 一十二．角平分线的性质（共4小题） 20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°， ∠ADB+∠A+∠ABD＝180° ∠ADB＝∠C，∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， 又∴点D是直线BC外一点， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3， 即DP长的最小值为3． 故选：C． 21．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 22．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO， ∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点， ∴OE＝OD＝OF， ∵△ABC的面积是12，周长是8， ∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12， 即×8×OD＝12， 即OD＝3， 故选：C． 23．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】图形见解答内容． 【解答】解：如图： 点C即为所求作的点． 一十三．等腰三角形的性质（共3小题） 24．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．11 D．7或10 【答案】B 【解答】解：根据题意， ①当AC+AC＝15，解得AC＝10， 所以底边长＝12﹣×10＝7； ②当AC+AC＝12，解得AC＝8， 所以底边长＝15﹣×8＝11． 所以底边长等于7或11． 故选：B． 25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　60°或120°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°； 当高在三角形外部时，顶角是120°． 故答案为：60°或120°． 26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为　30°或60°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：分两种情况： ①在左图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝60°； ②在右图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°， ∴∠DAB＝60°，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°． 故答案为：30°或60°． 一十四．等腰三角形的判定（共1小题） 27．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个． 故选：A． 一十五．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 28．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2）， 故选：B． 29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）8． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝∠DEB＝90°， ∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠AFD， ∴∠D＝∠AFD， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）过点A作AG⊥DE，垂足为G， ∵AB＝AC，AC＝10， ∴AB＝10， ∵F为AB中点， ∴AF＝BF＝AB＝5， 在Rt△BFE中，BE＝3， ∴EF＝＝＝4， ∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE， ∴△AFG≌△BFE（AAS）， ∴GF＝EF＝4， ∵AD＝AF，AG⊥DF， ∴DF＝2GF＝8． 一十六．等边三角形的性质（共3小题） 30．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　30a　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手， 比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x， 则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a， 所以六边形周长是， 2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）＝7x+9a， 而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍， 即x+3a＝2x， 故x＝3a． 所以周长为7x+9a＝30a． 故答案为：30a． 31．如图，已知等边△ABC的边长是6，点D在AC上，且CD＝4．延长BC到E，使CE＝CD，连接DE．点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接CF，CG， ∵AC＝BC，CE＝CD，点F，G分别是AB，DE的中点， ∴CF平分∠ACB，CG平分∠DCE， ∴∠FCG＝90°， 又∵CD＝CE＝4，BC＝6， ∴Rt△BCF中，BF＝3，CF＝＝3， Rt△CEG中，CG＝CE＝2， ∴Rt△FCG中，FG＝＝＝， 故答案为：． 32．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC． （1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由； （2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点， ∴∠BCE＝30°，BE＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠BCE＝30°， ∵∠ABD＝120°， ∴∠DEB＝30°， ∴DB＝EB， ∴AE＝DB； （2）如图1，E在线段AB上时， ∵AB＝2，AE＝1， ∴点E是AB的中点， 由（1）知，BD＝AE＝1， ∴CD＝BC+BD＝3； 如图2，E在线段AB的反向延长线上时， ∵AE＝1，AB＝2， ∴BE＝3， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2， 过E作EH∥AC交BC的延长线于H， ∴∠BEH＝∠BHE＝60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC， ∴∠BED＝∠HEC， 在△BDE和△HCE中， ， ∴△BDE≌△HCE（SAS）， ∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1， ∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1． 综上所述，CD的长为1或3． 一十七．等边三角形的判定与性质（共2小题） 33．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZN＝a， ∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZ＝GF＝a， 同理IN＝a， ∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 34．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　400　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图① ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC， ∴B′O＝AB，CO＝AC， ∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形． 又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个， 第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个， 第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，… 依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个． 故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400． 故答案为：400． 一十八．含30度角的直角三角形（共1小题） 35．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或t＝1． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 一十九．勾股定理（共2小题） 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 37．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，理由见解答； （4）30． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c． ∴S2＝π2＝，S3＝π（）2＝，S1＝π（）2＝， ∵+＝， ∴S1+S2＝S3； （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． ∴阴影部分的面积＝直角三角形面积 ∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30． 二十．勾股定理的证明（共1小题） 38．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 二十一．三角形中位线定理（共1小题） 39．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK， ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点． ∴BE＝DE， ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线， ∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB）， ∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC， 又∵FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD， ∴EG+GF＝（AD+BC）， ∵两腰和是12，即AD+BC＝12，两底差是6，即DC﹣AB＝6， ∴EG+GF＝6，FE＝3， ∴△EFG的周长是6+3＝9． 故选：B． 二十二．多边形内角与外角（共2小题） 40．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°， ∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°， 故选：B． 41．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．10或11或12 【答案】D 【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝1620°， 解得n＝11， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是10或11或12． 故选：D． 二十三．平行四边形的性质（共3小题） 42．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　） A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm 【答案】B 【解答】解：A、4+8＝12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误； B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确． C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误； D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误． 故选：B． 43．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（　　） A．S1＝S4 B．S1+S4＝S2+S3 C．S1S4＝S2S3 D．都不对 【答案】C 【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2， 则S1＝DE•h1，S2＝AF•h2，S3＝EC•h1，S4＝FB•h2， 因为DE＝AF，EC＝FB， 故A错误； S1+S4＝DE•h1+FB•h2＝AF•h1+FB•h2， S2+S3＝AF•h2+EC•h1＝AF•h2+FB•h1， 故B错误； S1S4＝DE•h1•FB•h2＝AF•h1•FB•h2， S2S3＝AF•h2•EC•h1＝AF•h2•FB•h1， 所以S1S4＝S2S3， 故C正确； 故选：C． 44．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形， ∴AP＝BQ， 又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t， BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t， ∴10﹣2t＝8﹣t， 解得t＝2； （2）如图，过P作PE⊥BC于E， 当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t， 依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2， 解得 t＝； 当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ， 由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t）， 解得t＝， 综上，t＝或t＝时，符合题意． 二十四．平行四边形的判定与性质（共1小题） 45．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　秒或8秒　时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t＝； 当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 二十五．平移的性质（共1小题） 46．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30． 故答案为：30． 二十六．坐标与图形变化-平移（共2小题） 47．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．8 【答案】C 【解答】解：如图所示． ∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB＝3． ∵∠CAB＝90°，BC＝5， ∴AC＝4． ∴A′C′＝4． ∵点C′在直线y＝2x﹣6上， ∴2x﹣6＝4，解得 x＝5． 即OA′＝5． ∴CC′＝5﹣1＝4． ∴S▱BCC′B′＝4×4＝16 （面积单位）． 即线段BC扫过的面积为16面积单位． 故选：C． 48．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出点B的坐标（ 　4，6　）． （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行； 故B的坐标为（4，6）； 故答案为：（4，6）； （2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度， 当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位， 此时P的坐标为（4，4），位于AB上； （3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况： P在AB上时，P运动了4+5＝9个长度单位，此时P运动了4.5秒； P在OC上时，P运动了4+6+4+1＝15个长度单位，此时P运动了＝7.5秒． 二十七．旋转的性质（共5小题） 49．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠BCQ＝120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD＝2， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ＝30°， ∴CQ＝CD＝1， ∴DQ＝＝， ∴DQ的最小值是， 故选：B． 50．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 51．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　①②③　（填序号） ①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120° 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4， PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC， ∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴△BPQ是等边三角形， 所以①正确； ②PQ＝PB＝4， PQ2+QC2＝42+32＝25， PC2＝52＝25， ∴PQ2+QC2＝PC2， ∴∠PQC＝90°， ∴△PCQ是直角三角形， 所以②正确； ③∵△BPQ是等边三角形， ∴∠PQB＝∠BPQ＝60°， ∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°， 所以③正确； ④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC， ∵∠PQC＝90°，PC≠2QC， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以④错误． 所以正确的有①②③． 52．如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠EBF＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）． （1）∠MBF′＝　（90﹣t）°　．（用含t的代数式表示） （2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 　6秒或42秒　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'＝t°，∠FBM＝90°， ∴∠MBF'＝90°﹣t°＝（90﹣t）°， 故答案为：（90﹣t）°； （2）①如图2，AQ'∥E'F'， 延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACB＝30°， 由题意得：∠EBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°， ∴t+4t＝30， t＝6； ②如图3，AQ'∥E'F'， 延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACD＝30°， 由题意得：∠NBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°， ∴∠ADB＝∠NBE'＝t°， ∵∠ADB＝∠ACD+∠DAC， ∴30+180﹣4t＝t， t＝42， 综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6秒或42秒； 故答案为：6秒或42秒． 53．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 二十八．中心对称（共2小题） 54．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 【答案】A 【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴A（4，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝x﹣1， 令x＝0，则y＝﹣1， ∴P（0，﹣1）， 又∵点A与点A'关于点P成中心对称， ∴点P为AA'的中点， 设A'（m，n），则＝0，＝﹣1， ∴m＝﹣4，n＝﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故选：A． 55．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C．y＝x﹣1 D．y＝3x﹣6 【答案】A 【解答】解：∵点B的坐标为（8，4）， ∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2）， 设直线DE的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线DE的解析式为y＝x﹣2． 故选：A．经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 1:00:35；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$