8.6.2直线与平面垂直的判定课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 课时2 直线与平面垂直 新知探究 探究一：直线与平面垂直的定义 情境设置 问题：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那什么叫做直线与平面垂直呢? 那怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢? B C A 结论:旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直. 2 探究一：直线与平面垂直的定义 情境设置 观察：木杆与影子有什么关系? 竖直放置在地面的木杆，现在改变光源的位置，那么木杆和它的影子有什么关系呢? 新知生成 知识点一 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直 (1)定义：如果直线 𝑙 与平面 𝛼 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 𝑙 与平面 𝛼互相垂直. (2)记法： . (3)有关概念：直线 叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面.它们唯一的公共点 𝑃叫作垂足. 4 新知生成 知识点一 直线与平面垂直的定义 如果一条直线 与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直. 则 . 图形表示 符号表示 平面的垂线 直线 的垂面 垂足 5 新知生成 知识点一 直线与平面垂直的定义 2. 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离. 6 一、直线与平面垂直的定义 例题1 下列命题中真命题的个数是( ) . ①若直线与平面内的无数条直线垂直，则 ； ②若直线与平面内的一条直线垂直，则 ； ③若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线； ④若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 B 【解析】当与内的无数条直线垂直时，若这无数条直线为平行直线，则与不一定垂直，故①错误；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②错误；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③错误,④正确.故选B. 7 反思感悟 方法总结 直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“ ， ”，这是证明线线垂直的一种方法. 8 新知运用 跟踪训练1 若直线平面，直线，则与不可能( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 【解析】因为直线 平面 ，所以 与 相交. 又因为，所以 与 可能相交或异面. 由直线与平面垂直的定义，可知 ，故 与 不可能平行 A 9 新知探究 探究二：直线与平面垂直的判定 情境设置 问题：如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直? A B D C B D C A C D B A C D B 10 新知生成 知识点二 直线与平面垂直的判定 1.直线与平面垂直 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. (2) 符号语言： ，，， ， . (3)图形语言： 11 新知生成 知识点二 直线与平面垂直的判定 2.三垂线定理 【三垂线定理】如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 【逆定理】如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影. a α l b 12 二、直线与平面垂直的判定 例题2 如图， 平面 ，底面为矩形，于点 ，于点 . (1)求证： 平面 . (2)设平面交于点，求证：. 【解析】(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 . 又底面 为矩形，则 ，且 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 . 又 ， ， , 平面 ,所以 平面 ， 平面 ，所以 .又因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 . (2)由(1)知 平面 ，又 平面 ，所以 . 因为底面 为矩形，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 . 又 ， ， 平面 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以 .又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ， 所以 . 13 反思感悟 方法总结 线线垂直和线面垂直的相互转化 14 新知运用 跟踪训练2 如图，在四面体中，已知，， . 是线段 上一点, ，点 在线段上，且 .求证： 平面 . 【解析】因为在 中， ， ， ， ， ， 为直角三角形， . 又 ， . 又 ， ， ， 平面 ， 平面 . 15 新知探究 探究三：直线与平面所成的角 情境设置 问题：如何作出直线与平面所成角? 16 新知生成 知识点三 直线与平面垂直的判定 如图，一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. (1)l 为斜线 (2)l 与的交点A为斜足 (3)直线OA为在平面上的射影 (4)直线与射影OA所成角(角θ)为直线与平面上所成角 直线与平面所成角θ取值范围是0°≤θ≤90°. 17 三、直线与平面所成角 例题3 如图所示，在正方体 中， 是棱 的中点.求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，因为 是 的中点，四边形 为正方形，所以 . 又在正方体 中， 平面 ，所以 平面 ，从而 为直线 在平面 上的射 影， 为直线 与平面 所成的角.设正方体的棱长为2， 则 ， . 于是在 中， . 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 18 反思感悟 方法总结 求直线与平面所成角的步骤： (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求； (3)把该角放在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 19 新知运用 跟踪训练3 在正方体 中， (1) 求直线与平面所成角的正切值； (2) 求直线与平面所成的角. 【解析】(1) 直线 平面 ， 为直线 与平面 所成的角. 设 ，则 ， . 故直线 与平面 所成角的正切值为 . (2) 如图，连接 交 于点 ， 在正方形 中， ， 平面 ， 平面 ， . 20 随堂检测 1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ) . A.垂直 B.相交但不垂直 C.平行 D.不确定 2.若𝑎 ， 𝑏 是两条异面直线，则下列说法错误的是( ) . A.过直线𝑎只可以作一个平面𝛼与直线𝑏平行 B.过直线𝑎至多可以作一个平面𝛼与直线𝑏垂直 C.存在唯一一个平面𝛼与直线𝑎,𝑏 等距 D.可能存在平面𝛼与直线𝑎， 𝑏都垂直 3.已知𝑚和𝑛是两条不同的直线， 𝛼和𝛽是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出𝑚⊥𝛽 的是( ) . A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 D A B 21 随堂检测 4.如图所示， 在正方体 中，求证： 平面 . 【解析】 如图，连接 ， 显然 . 又 ， ， ， 平面 ， 平面 . 平面 ， . 同理可得 . 又 ， ， 平面 ， 平面 . 22 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直. 23 $$