暑假作业02 平方差公式和完全平方公式-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02平方差公式和完全平方公式 一、平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化：；②符号变化： ③指数变化：；④系数变化： 二、完全平方公式：， 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ， 一、单选题 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．如图，长方形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 二、填空题 6．已知，则代数式 ． 7．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 8．已知，，则 9．已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)    三、解答题 10．已知， (1)求的值； (2)求和的值． 11．先化简，再求值：，其中，． 12．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算： ； (2)代数式 为完全平方式，求的值． 1．计算，其结果的个位数字为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．设x，y，，，，，则a，b，c三个数（    ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 4．已知：，，则、的大小关系是 . 5．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为 ． 6．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______； (2)观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 7．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 8．阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解决下面问题： (1)若满足，求的值； (2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为， ①，长方形的面积为，求阴影部分的面积； ②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积． 1．（2023·湖南娄底·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 5．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 . 6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02平方差公式和完全平方公式 一、平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化：；②符号变化： ③指数变化：；④系数变化： 二、完全平方公式：， 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ， 一、单选题 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积可表示为：． ∵4个全等长方形的长和宽分别为a，b，中间小正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可表示为：， ∴用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为：． 故选D． 3．若，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，长方形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，， 长方形的周长是，正方形和的面积之和为， ，， ， ， ， 故选：B． 5．如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【详解】设，， 根据题意， ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 二、填空题 6．已知，则代数式 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 7．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】 【详解】解：中间一项为加上或减去的系数和常数3的积的2倍， ． 故答案为：． 8．已知，，则 【答案】13 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：13． 9．已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)    【答案】 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为： ∵， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题 10．已知， (1)求的值； (2)求和的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：联立得：， ①+②得：， 解得：， 将代入②得 ， ． 11．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 12．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算： ； (2)代数式 为完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意可得： ； 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， ∵原式为完全平方式， ∴． 1．计算，其结果的个位数字为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解： ． ∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现． ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为． 故选A． 2．若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 3．设x，y，，，，，则a，b，c三个数（    ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴， ∵x，y，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴至少有一个不小于4， 故选：D． 4．已知：，，则、的大小关系是 . 【答案】 【详解】解：∵ ； ； ∴ ， ∴， 故答案为：． 5．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：依题意，最小的“倍差数”百位数最小为1，当十位为0时，则个位为1， ∴最小的“倍差数”是 ∵三位数小于，，， ， 又∵是“倍差数”， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ， ， ∴或， ∴或； 而不是“不完全平方差数”， ∴的最大值． 故答案为：，． 【点睛】本题考查再新定义的情境下的整式的乘法运算，掌握平方差公式的应用，弄懂新定义的含义是解题的关键． 6．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______； (2)观察图2，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)． 【详解】（1）解：正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：，； （2）解： 理由如下： ； （3）解：由（2）得， 又，， ∴ ∴． 7．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成垄一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：___________． A． B． C． D． (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知：求的值； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①；② 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为 ∴可以验证的等式是： 故答案为：B； （2）解：①∵， ∴， 即， ∴； ② 8．阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解决下面问题： (1)若满足，求的值； (2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为， ①，长方形的面积为，求阴影部分的面积； ②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)①；② 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ； （2）解：①由题意知：，， ， 令， ，， ； ②由题意知：，， 令，， ，， ． 1．（2023·湖南娄底·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A不符合题意； ，不是同类项，不能合并，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，平方差公式的应用，积的乘方运算，熟记以上基础的运算法则是解本题的关键． 2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 5．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 . 【答案】 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴； ，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾， ∴ ∴； ，同理， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【详解】 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$