山东省日照市2024届高三下学期校际联考（三模）数学试题

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2021级高三校际联合考试 数学试题 2024.05 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数z满足i-1=zi(i为虚数单位)，则z+z= A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.设抛物线y2=8:上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A.6 B.8 C.9 D.10 3.设等差数列{bn}的前n项和为Sn,若b=2,b,=6,则S。= A.-36 B.36 C.-18 D.48 4.已知a和b是两个单位向量，若<a,b>=亚，则向量a与向量a-b的夹角为 π B. C. 元 D. 2π 3 2 3 5.已知a= (sin14°+cos149),b=sin61°，c=Y3 ,则a,b,c的大小顺序为 2 A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 6从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号 卡片的概率是 13 23 A. B. C. 器 D. 25 25 高三数学试题第1页共6页 7.某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫 星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h(轨道高度是指卫星到地球表面的距离) 将地球看作是一个球心为O,半径为”的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所 成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 11. a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosa)(单位：km2),若 h=45 ',则S占地球表面积的百分比约为 A.26% B.34% C.42% D.50% &.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若d=+bc,且Ae写孕， 则日的取值范围为 A.(1/3) B. 6+V ,2) C.(2N3) D.(N3,2) 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.数据x,2,…,xn的平均数为元，方差为S,数据乃，y2,…,yn的平均数为可，方 差为s子，其中xy,满足关系式y=a心+b(=12,…,n),则 A.=成+b B.若数据52=0，则x=为2=…=xn C.数据x2,…,xn,乃，y2,…,yn的平均数为(a+1)x+b D.若a>0,数据？x2,…,xn不全相等，则这组数据(xy),(x2y2),…,(xmym) 的相关系数为1 10.在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑 动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(:y)的轨迹方程是y=f(x),则 A.方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根 B.f(-x)=-f(x) 高三数学试题第2页共6页 C.f(x)在[6,8]上单调递增 D.对任意x∈R,都有f(x+4)= f(x) 11.已知函数f(x)=九sin(ox+p(2>0,o>0,0<p<π)部分图象如图1所示，A,B 分别为图象的最高点和最低点，过A,B作x轴的垂线，分别交x轴于A,B,点C为 该部分图象与x轴的交点，四与y轴的交点为DO,马)，此时AB=BB.将绘 有该图象的纸片沿x轴折成亚的二面角α-OC-B,如图2所示，折叠后|AB√反， 则 3 B.f)在2，马上单调递增 66 C.在图2中，f(x)上存在唯一一点2， 图2 使得DO∥平面ABC D. 在图2中，若R,E是f(x)上两个不同的点，且满足A正⊥BB,AE⊥BB,则 临超小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一扇形的圆心角为，弧长是元，则扇形的面积是 3 13. 已知椭圆E: +存=1(a>b>0)的左右焦点分别为RR,设RQ是E上位于 x轴上方的两点，且直线PF∥QF2,若4|PF日Q|,2|PF2=5|QF,|,则E的离 心率为 14.在同一平面直角坐标系中，M,N分别是函数f(x)=-√-x2+4x-3和函数 g(x)=n(a)-axe图象上的动点，若对任意a>0,有|MN2m恒成立，则实数m 的最大值为 高三数学试题第3页共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE. (1)求证：AB/CD: (2)若AB=2AD=2EF=2,CD=3,∠ADE=90°，点D到平面ABFE的距离 为 ，求二面角A-BC-F的余弦值。 D 16.(15分) 电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实 施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电 信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生，为了增强同学们的防范意识， 某校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛， (1)已知该校参加本次竞赛的学生分数7近似服从正态分布N(80,25),若某同学成 绩满足4-σ≤7≤4+2G,则该同学被评为“反诈标兵”；若1>4+2o,则该同学被 评为“反诈达人” (i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”： ()若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人 数（四舍五入后取整） (2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生 了解“反诈”知识，用样本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中 了解“反诈”知识的人数记为X,求X的分布列及数学期望E(X) 参考数据：若5~N(4,σ2)，则P(μ-o≤5≤μ+σ)=0.6827， P(4-2o≤5≤4+2o)=0.9545,P(u-3o≤5≤4+3o)=0.9973. 高三数学试题第4页共6页 17.(15分) 已知函数f(x)=alnx-x2+(a-2)x,g(x)=(x-2)e-x2-4x+m,a∈R. (1)讨论函数∫(x)的单调性； (2)当a=-1时，对x∈(0,1)，f(x)>g(x)，求正整数m的最大值. 18.(17分) 已知双曲线C的中心为坐标原点，右顶点为A(20),离必率为一， (1)求双曲线C的标准方程： (2)过点Q(3,0)的直线1交双曲线右支于M,N两点，交y轴于点P,且 PM=Mg,PN=μuNo (i)求证：2+4为定值； ()记△MMN,△MOM,AMON的面积分别为S,S,S2,若I6: S=uS +mS2 当5<2≤8时，求实数m的范围， 高三数学试题第5页共6页 19.(17分) 对于数列{an},把a作为新数列色}的第一项，把a,或-a,(t=2,3,,)作为新 数列{b,}的第i项，数列{亿}称为数列{a}的一个生成数列，例如，数列1,2,3,4,5的 一个生成数列是1，-2，-3,4,5.已知数列私，}为数列((n∈N)的生成数列，S,为 数列{bn}的前n项和. (I)写出S的所有可能值： 3 2)若生成数列b}满足0-，求数列他，}的通项公式 (3)证明：对于给定的n∈N,Sn的所有可能值组成的集合为 x1x=2一1，k∈N,k≤2-》 高三数学试题第6页共6页参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2021级高三校际联合考试 数学试题答案 2024.05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1-4 DABB 5-8 ABCC 1.【答案】D【解析】因为-1=i,所以2= =1+i,z=1-i,所以z+z=2.故选：D. i 2.【答案】A【解析】抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2, P到y轴的距离是4，故P到准线的距离是6，故点P到该抛物线焦点的距离是6. 故选：A 3.【答案】B【解析】则3，=么+B×9-4+)9=36,故选：B 2 2 4.【答案】B【解折】因为位，列-号所以ā-6-利列--6=上k分 又=5-利-6-=V+1-2x1x1x分1， a:可e可 所以向量a与向量a-b的夹角为，故选：B. 5.【答案】A【解析】 d= -(sin14+c0s14) 22-sin14°+45)=sin59° b=sin61°；c= 3 2 =sin60,根据y=sinx正弦函数的单调性知： a<c<b,故选A 6.【答案】B【解析】由加法原理和乘法原理P=1-￡_13 5325 因而答案选B. 7.【答案】C【解析】设C表示卫星，过CO作截面，截地球得大圆O,过C作圆O的切线CA,CB,线段CO交 圆O于E,如图，则∠AOC=a,r=OE,CE=h,OA⊥CA, c+h1+有.又h=约，所以cmsa= 则cosa= 8 53 设地球表面积为S,则S,=4π 高三数学试题第1页共9页 8 所以S_2πr21-cosa)_1-cosa 1- =53=45 ≈42%· S Arr2 2 2106 故选：C 8.【答案】C【解析】：△4BC中，a2=b+bc 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bc cosA :b2+bc=b2+c2-2 becos A,整理可得：c=b(1+2cosA) =b+b(1+2c0s)=b(2+2cos A)=2+2cosA A∈(60,90 ）4 可得：2+2c0sAe(2,3)2+2cosA∈(V2,5),即：分e5,5)故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.AC 11.BD 9.【答案ABD解析附于A,万=之y=之(ar+b)=2x+b=匠+b,故A正确：对于B,g=之K-=0, n n n 因为（化-}之0，故x==…=x,=x,故B正确： 对于C,无+x++x。+片+%++y,=n(+n[()#b] 其平均数为[a++山]_a++b,故c错误： 2n 2 对于D,由样本相关系数的概念可知，D正确， 故选：ABD I0.【答案】AC【解析】分析正方形顶点B的运动状态可知， 当4≤x≤-2时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆： 当-2≤x≤2时，B的轨迹是以D为圆心，半径为22的二圆： 当2≤x≤4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为2的二圆： 当4≤x≤6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆， 作出函数的图像如下图所示： -8-6-4-3-20 24689 由图可知：函数y=f(x)的图像与直线y=2在[-3,9]上有三个交点，即方程f(x)-2=0在[-3,9]上有三个根，A正 高三数学试题第2页共9页 确：函数y=f(x)的图像关于x轴对称，所以函数y=∫(x)是偶函数，B错误：函数∫(x)在[68上单调递增，C 正确：由图像可知：取x=-2,可得/Q)=2,八-2)=2，f2±D错误故选：AC D【解标】设函数)的最小正周期为，则AM三AB 又B=A+AF+BB,平方得1AB=(AA+AB+B同，即1AB=AA+B+AB+2AMB8, 所以2=32-12，即2=1，因为元>0，解得1=1， 故T=22=2,即0=2”=元，所以0)=sin(ar+p,则了0=mp=5,可得sin0= T 2 又因为函数在x=0附近单调递减，且0<<，所以p=行，故A错误： 对于B选项，图为=+}当店岩时，+号停》 66 此时(x)单调递增，B符合题意： 对于C选项，在平面a内，过点D作DMI1AC交x轴于M,交fx)于2， 再在平面B上，过M作平行于BC的直线交fx)于Q,此时DQ,DO/I面ABC,故C错误： M B' 0 B 对于D选项，若R,B均在a上，由A⊥BB'可知，A平行于x轴，此时PB=T=2, B 若P,P均在B上，作AE⊥B于点E,则AE⊥BB, 又41B,从而B81面AE,放PE1B,面E=AMcs60=分，因此，在图1中作直线y=,则P为 y=- 与y=fx)的交点， 不妨设P,B为y= 与)=)在y转右侧最近的两个交点，则此时9的最小值为子 2 若P,B不在同一个面上，此时PL=A=VAE+严=压、名，故D正确 63 故选：BD 高三数学试题第3页共9页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13.5 1435-1 3 ”2 3 12。【答案】2【解折】因为一扇形的圆心角为行弧长是 所以其所在圆的半径为，=产=3， 3 因此该扇形的面积是S=r= 21 故答案为： 3 13.【答案】5【解析】设1PFFm,则1Q5上4m,又2P5上51O5, 由椭圆定义，22a-m)=52a-4m).得m=号 所以pm号Qr号p陈p50 又因为PFQF,所以cos∠PFE+cos∠QFF=0, 、12+4c2-2a29a+4c2-。a32 -a" 9 21a-2c 2 9一0，所以e=S-5 2.2a2 a 3 3 3 故答案为： 3 14.【答案】35-1【解析】由y=闪)=-+4x-3,整理得x-2+广=0≤0， 2 即M在圆心(2,0)，半径为1的半圆上 g(x)=ln(ar)-are*=ln(ax)）-e+四， 令h(x)=x-e,x∈R,则hr(x)=1-e,又h'(0)=1-e=0, 所以，当xe(-o,0)时，h(x)>0,则h(x)为单调递增， F 当x∈(0，+o)时，(x)<0,则h(x)为单调递减， 综上可知，h(x)在x=0处取得极大值，也是最大值，即 h(0)=0-e°=-l, 于是x+ln(ax）eams-l,即g(x)=ln(ar)-are≤-x-l, 当且仅当x+ln(ax)=0时，等号成立， 所以曲线g(x)的一条切线为y=-x-1, 数形结合可知，当M,N分别为对应切点，且MN与两切 线垂直时MW取得最小 值， D 高三数学试题身 即MW的最小值为圆心到直线=-x-I的距离减去半径，即MW的最小值 2+0+1=35-1 P+2 2 过圆心(2,0)与=-x-1垂直的直线方程y=x-2, x+In(ax)=0 a=2e2 1 所以，当且仅当{y=x-2 即{x= 2 时取到最小值. y=-x-1 3 y=- 2 综上所述，MM≥35-1，而N≥m恒成立， 2 所以m≤35-1，则m的最大值为35-1，故答案为：35-1 2 2 2 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 I5.解：(1)证明：因为CD⊥平面ADE,EF∠平面ADE, 所以CD//EF,…1分 因为CD中平面ABEF,EFc平面ABEF, 所以CD//平面ABEF,…3分 因为平面ABEF平面ABCD=AB,ABC平面ABCD, 所以AB/CD.…5分 (2)由于CD⊥平面ADE,AB/ICD,所以AB⊥平面ADE,AEc平面ADE,故AB⊥AE, 又因为CD⊥平面ADE,AD,EDC平面ADE, 所以CD⊥AD,CD⊥ED, 又∠ADE=90°，AD∩DC=D,AD,DCC平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD…7分 时%-…则时号-5D放 号ABAE×5-号4B4D:ED=AEx-AD.ED=AE5E 22 故△AED为等腰直角三角形，所以AE=√2，ED=AD=1,…9分 如图以D为坐标原点，DA,DC,DE所在的直线分别为x,y,z轴建系， 则A(L,0,0),B(1,2,0),D(0,0,0),C(0,3,0),F(0,1,1), 设平面ABC的法向量为而.则m=(0,0,1),…10分 平面BFC的法向量为i=(化，片，)， 因为BC=(-1,1,0),BF=(-1,-1,1), 所以 C万=0，即厂+y=0 BF.i=0-x-4+3=0 高三数学试题第5页共9页 令x2=1,则n=(山，1,2)，……12分 设A-BC-F成的角为O,由图可知0为锐角， cos0= m2_6 同同63 所以二面角A-BC-F的余弦值为y …13分 3 16.解：(1)(i)4=80,。=5,那么75<88<90，则该同学能被评为“反诈标兵”.…2分 ()设全校参与本次竞赛的人数为n,“反诈达人”的概率为 Pm>u+2o)=20-Pu-2a<7<h+2a川=3×0-0.9545)=0.0275 2 …4分 则40=0.02275，解得n≈1758， 所以参与本次知识竞赛的学生人数约为1758人.…6分 (2)由题知，男生了解“反诈”知识的概率为 4 女生了解“反诈”知识的概率为，…7分 2 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. Px==GG93 P(x-D-GGXGGYCGYG- 3、1 44 128 (x-2-GercercexcycGy- 3、1 15 4 64 P(x-3)-GGGG++- 网 P(x-3)-GGrGy- 9 …11分 128 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 5 1 9 15 23 33 ……13分 9 128 128 64 64 128 128 所以 E)=08+128+2x 9 15 +3x23 33 +4× +9× =3…15分 64 64 128 128 17.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+o), f0闭=g-2r+a-2=2r+a-2r+0_c+1X2r+@ 1分 ①当a≤0时，有f()<0,此时函数f(在区间(0+网）上单调递减：3分 ②当a>0时，令-0.解得：5=（含去》.与-号 所以，当x∈(0学时，f)>0,此时函数在区间Q上单调递增： 当xe号+四时，心0，此时函数国在区间气+四上单润莲减。5分 高三数学试题第6页共9页 综上所述，当a≤0时，函数f)在区间(0，+o)上单调递减： 当a>0时，函数f国在区间(0,9上单调递增，在区间（仁，+四）上单调递减.…6分 (2)当a=-1,x∈(0,1)时，f>g恒成立，等价于m<(-x+2e-lnr+x恒成立， 设=（←r+2g-nr+xea.则）=0-e-马 8分 当0<<1时有-x0,设=d-4=心+>0， 所以)在(0，)上单调递增，且令=√e-2<0,0=e-l>0, 故存在唯一的6.使得4)=0，即e心= 10分 当x∈(0x)时，x)<0,(x)<0:当x∈()时，4)>0，)>0： 所以x)在(0,6)上单调递减，在()上单调递增， Mm=M)=(←+2-h+6=←+2+2x=-1+2+2x,3分 设y-子2，则当xeQ0时，y子+2<0.函数y=+子2x在@0上单调递减。 又因为无∈（与，，所以(）∈民49. 所以正整数m的最大值是3.15分 18解D设双曲线C:号茶=1由题意得2，： a 2 则c=√万，1分 b2=c2-a2=3,2分 所以双曲线C的方程为艺-号=l.…3分 43 (2)(i)设M(,),N(,y2),P(0), 由PM=M0与(3,0)，得(x片-)=(3-，-片)， 32 即无在入士5分 将（品产]代入E的方程得： 31)2 1+元 1+ =1 3 整理得：152-241-4y-12=0,7分 同理由PN=uN0可得152-24H-4y-12=0② 由①②知，1,4是方程15x2-24x-4y房-12=0的两个不等实根. 由韦达定理知无+4= 5-氵，所以元+4为定值，9分 高三数学试题第7页共9页 （m号s=s+ms,即h0-小-宁字m2 整理得： -y=小+ml, 11分 又<0，不妨设为<0<，则-为)g-m, 5 而由2》知=杀方中。故会授 1+元’13分 代入m=8-+8 2入5-，/4分 1+251+1 1-e6叨得n-g-传 18 5 =-3计1+5’15分 18 18 由双勾函数， 1+在6可上单避瑞。利m=51+传引 所以m的取值范围为 (18321 515」17分 以解0南已知，A=l宁aeNn≥2，所以么=号4=号 11_7111_5111_3111_1 由于 +4+882+488'24882488 所以S,可能值为8888 1357 4分 3 当1时，么+6+6=S=0-令8 3 1、3 88 5分 当2时，6+6+6=及0-安0- 、3 8 所以6++6一毫ne心一7分 因为b,}是-(n∈N)的生成数列， 2次=± 所以么：=±， 所*收=女其产安性2潮e一分 高三数学试题第8页共9页 在以上各种组合中， 4 当且仅当bw-2= 子A,aeN门时，才成立 2mn=3k-1, 所以b.= (k∈N.l0分 2,n≠3k-1 1 @又。片+±土士共有2种情形.山分 }立8对安 2222京+ 2” s5s2” +即 2”12分 又Sn 2±22±23±1，分子必是奇数， 2 满足条件工<2的奇数x共有2个，13分 2 2” 设数列{an}与数列{b,}为两个生成数列，数列{a}的前n项和为S。,数列{b,}的前n项和为Tn,从第二项开始 比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项 由于a=h=,不妨设a>06<0, S,-T=(ag+a++a)-b+++b) 22x2+++-2x2x分>0 所以，只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有S.=Tn.…15分 所8宁京±宁士…中宁共有2科形，值各不相明 所烈感可碳值格为宁之三2共2个 所有可能值集合为xx=22,k∈N,k≤2五 高三数学试题第9页共9页