天津市宝坻区第四中学2024届高三下学期高考考前数学自测卷五

2024考前自测卷五 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：    等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 5．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 7．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．② 9．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 第II卷 注意事项 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．已知复数满足，则 11．二项式的展开式中的常数项为 ． 12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ． 14．如图，在边长为3的正三角形ABC中，，，则= ． 15．给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 16．在锐角中，角的对边分别为． 已知的面积为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为． ①证明四边形是菱形； ②若，求椭圆的方程． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024考前自测卷五 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别解出两个不等式的解集，即可求解. 【详解】因为，解得或， 即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，取特值，求即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为，与图象不符，故A错误； 对于选项B：因为，与图象不符，故B错误； 对于选项C：因为，与图象不符，故C错误； 故选：D. 4．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：    等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 所以积水厚度，属于中雨. 故选：B. 5．已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 6．调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 7．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 当时，；当时，， 所以当时，取得的最小值. 故选：D. 8．给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．② 【答案】B 【分析】①化简函数，代入周期公式，判断周期；②由，判断出，去绝对值即可判断单调性；③化简函数利用余弦函数判断对称轴. 【详解】对于①，由，最小正周期为，结论①不正确； 对于②，由，有，所以， 此时在区间单调递增，结论②正确； 对于③，， 对称轴由确定，当时，，结论③正确. 故选：B 9．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程. 【详解】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 第II卷 注意事项 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．已知复数满足，则 【答案】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【详解】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 11．二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】60 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可. 【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 14．如图，在边长为3的正三角形ABC中，，，则= ． 【答案】 【分析】考查平面向量的线性运算和数量积，将未知向量根据已知条件化为已知向量和来表示即可计算. 【详解】由题意知 ， 所以 . 故答案为：. 15．给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可. 【详解】 由，， 因为， 所以图象变为： 其中，当且仅当时取最大值； 且设两函数在第一象限的交点为，即当， ， 解得：， 由题意与函数的图象有3个不同的交点， 由数形结合易知：，或， 故答案为：. 三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 16．在锐角中，角的对边分别为． 已知的面积为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形面积公式可得角C，再用余弦定理求； （2）根据正弦定理即得； （3）先用二倍角公式求出，然后再用两角差的正弦公式求值. 【详解】（1）， ，又是锐角三角形， ，又由三角形余弦定理得： ， ． （2）由三角形正弦定理得：，即， . （3）又，， ， ， 又, ． 17．如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值； （3）向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，则， 且，∴且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2）解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：，， 点到平面的距离． 18．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 19．已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可； （2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证. 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为． ①证明四边形是菱形； ②若，求椭圆的方程． 【答案】(1); (2)①证明见解析 ；②. 【分析】（1）利用条件中线段长关系可构造齐次式求离心率； （2）①根据上问结论化简椭圆方程，分别求直线的方程，根据面积求出，再求出坐标，可判定，从而证明结论；②直接由解方程即可. 【详解】（1）由已知得长轴长为，则； （2）① 证明：由（1）知，所以椭圆方程为， 易知， 所以， 故直线的方程为，直线的方程为， 令，则， 易知， ， 联立方程组， 解得， 在的上方，， 即， 由上得，四边形的对角线互相垂直且平分，故四边形是菱形． ② 解：由，从而 即椭圆的方程为.    第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$