专题06 等式性质与不等式性质-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假自学提升课（人教A版2019必修一） 专题06 等式性质与不等式性质 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 作差法比较代数式的大小 考点三 判断不等式的真假 考点四 利用不等式的基本性质证明不等式 考点五 利用不等式求取值范围 一、比较原理 ； ； . 二、等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 三、不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得，. 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质7 如果，那么（，） 【题型一 用不等式(组)表示不等关系】 策略方法 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. 一、单选题 1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 6．（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【题型二 作差法比较代数式的大小】 策略方法 作差法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差. (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形. (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号. (4)作出结论. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D．P与Q的大小关系不确定 4．（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型三 判断不等式的真假】 策略方法 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解. 一、单选题 1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【题型四 利用不等式的基本性质证明不等式】 策略方法 利用不等式性质对不等式的证明,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明,利用性质时要注意性质适用的前提条件. 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 4．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 5．（23-24高一上·河南·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【题型五 利用不等式求取值范围】 策略方法 (1)根据不等式性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘. (2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负. 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假自学提升课（人教A版2019必修一） 专题06 等式性质与不等式性质 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 作差法比较代数式的大小 考点三 判断不等式的真假 考点四 利用不等式的基本性质证明不等式 考点五 利用不等式求取值范围 一、比较原理 ； ； . 二、等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 三、不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得，. 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质7 如果，那么（，） 【题型一 用不等式(组)表示不等关系】 策略方法 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. 一、单选题 1．（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”. 【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 5．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 6．（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解. 【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则，又， 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，满足； 则，，，则. 故选：C. 【题型二 作差法比较代数式的大小】 策略方法 作差法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差. (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形. (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号. (4)作出结论. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 3．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D．P与Q的大小关系不确定 【答案】A 【分析】作差，根据二次三项式的性质即可判断差的符号，从而得的大小. 【详解】因为 所以 故. 故选：A. 4．（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．（2023·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项. 【详解】因为，所以.， 因为， 且，所以，所以，所以.故. 故选： A 【题型三 判断不等式的真假】 策略方法 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解. 一、单选题 1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【详解】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质结合取特殊值排除的方法逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，所以由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，令，满足，但是，故B错误； 对于C，令，满足，但是，故C错误； 对于D，可能是负数，此时无意义，故D错误； 故选：A. 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 5．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 【题型四 利用不等式的基本性质证明不等式】 策略方法 利用不等式性质对不等式的证明,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明,利用性质时要注意性质适用的前提条件. 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 3．（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 4．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 5．（23-24高一上·河南·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 【题型五 利用不等式求取值范围】 策略方法 (1)根据不等式性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘. (2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负. 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以， 故选：D 2．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用不等式性质求目标式范围. 【详解】由题设，则，又，所以. 故选：C 3．（23-24高一上·河北张家口·期中）若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果. 【详解】因为，所以， 又，， 所以 所以， 故， 故选：C 4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合不等式的性质求解即可. 【详解】由题意，，故， 即. 故选：D 5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，，所以，故选：A． 6．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误；故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$