（小升初冲刺特训）专项08：立体图形（专项训练）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

（小升初冲刺特训）专项08：立体图形-2023-2024学年数学六年级下册苏教版 一、选择题 1．下图，圆锥和长方体等底等高。圆锥容器里装满果汁，现将果汁全部倒入长方体容器中。下列表示倒入果汁后长方体容器中的水位正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下图这个长方形的长是2厘米，宽是1厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（    ）。 A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 3．一根圆柱形木料的底面半径是1dm，长是20dm。如下图，将它截成4段，这些木料的表面积比原木料增加了（    ）。 A．6dm2 B．18.84dm2 C．25.12dm2 D．8dm2 4．如图，从一个长方体中挖去一个棱长是3厘米的立方体，它的表面积（    ）。    A．比原来大 B．比原来小 C．不变 D．无法确定 5．一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是（    ）立方米。 A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．169.56 6．李新用同样大的正方体积木摆了一个物体，从前面和右面进行观察，看到的图形分别是：    这个物体最多是由（  ）个正方体积木摆成的？ A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 7．一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加72平方分米，原来方钢的体积是( )。 8．把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体切成两个大小相等的长方体，表面积最多增加( )平方厘米，最少增加( )平方厘米。 9．如图，下面三个圆柱中，图( )体积与圆锥体积相等，它的体积是( )立方厘米。（单位：厘米） 10．一种压路机滚筒是一个圆柱体，它的底面直径是1m，长是2m。如果它转1圈，压路机前进了( )m，一共压路( )m2。 11．一个长方体玻璃鱼缸长4分米，宽25厘米，鱼缸内盛有38厘米深的水。将一块假山石完全没入鱼缸中，现在鱼缸内水深41厘米。这块假山石的体积是( )立方厘米。 12．把一个高5厘米的圆锥沿着高切开，得到两个如下图所示的物体，表面积一共增加30平方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 三、判断题 13．添一块同样大的正方体，使从上面看形状不变，有3种不同的摆法。( ) 14．一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作由9个棱长1cm的小正方体组成。( ) 15．将一个正方体切成两个完全相等的长方体后，表面积增加了。( ) 16．棱长为6的正方体的体积等于表面积。( ) 17．我们从同一个方向观察几个物体，如果看到的图形相同，则这几个物体的形状也不一定完全一样。( ) 四、计算题 18．计算下图的体积。 19．计算下面图形的体积。（单位：cm） 五、解答题 20．一个房间长为6米，宽为3.5米，高为3米，门窗面积共8平方米，现在要在这个房间的四壁和顶面粉刷涂料。如果每平方米需用涂料3千克，一共要用涂料多少千克？ 21．一根3米长的铁皮通风管，管口是边长50厘米的正方形，做20根这样的通风管，至少要用铁皮多少平方米？（接头处忽略不计） 22．有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是30厘米，宽是26厘米，高是20厘米，平放时水面高14厘米（下图）。如果把这个容器竖起来放（下图），水的高度会是多少厘米？ 23．一个圆柱形木质水桶（无盖），底面半径是20厘米，高是35厘米，桶内装有15厘米高的水。（π取3.14） （1）做这个水桶需要多少平方厘米的木板？（接缝处忽略不计） （2）将一个不规则的铁块完全浸没在水中，水面上升至17厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？ 24．王大伯用一块长方形铝皮和一块圆形铝皮做一个无盖的水桶。 （1）王大伯至少需要准备多少平方分米铝皮？（接头处忽略不计） （2）王大伯先往这个水桶里倒入适量的水，测得水深是0.13米，接着又将一个底面积为3平方分米的圆锥形铁块完全浸没在水中，并测得此时水深是1.5分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 25．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。    （1）请用字母表示长方体中的长是（    ），宽是（    ），体积是（    ）。 （2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。    （3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据圆锥的体积×3÷底面积＝高，长方体的体积÷底面积＝高，可知如果圆锥和长方体等底等体积时，圆锥的高度是长方体高度的3倍，也就是长方体的高度是圆锥高度的。据此解答。 【详解】圆锥容器里装满果汁，现将果汁全部倒入长方体容器中，体积不变，容器的底面积相等，所以倒入果汁后长方体容器中的水位高度是圆锥容器高度的，因为长方体容器和圆锥容器的高度相等，所以倒入果汁后长方体容器中的水位高度是长方体容器高度的，正确的是。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了圆锥体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 2．D 【分析】以长为轴旋转一周，可得到一个底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱；以宽为轴旋转一周，可得到一个底面半径是2厘米，高是1厘米的圆柱；根据圆柱的底面积公式：S＝πr2 ，侧面积公式：S＝2πrh，表面积公式：S＝2πr2＋2πrh，体积公式：V＝πr2h，代入数据求解，再比较即可。 【详解】底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱， 底面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 侧面积：2×1×3.14×2＝12.56（平方厘米） 表面积：2×3.14＋12.56 ＝6.28＋12.56 ＝18.84（平方厘米） 体积：3.14×2＝6.28（立方厘米） 底面半径是2厘米，高是1厘米的圆柱， 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 侧面积：2×2×3.14×1＝12.56（平方厘米） 表面积：2×12.56＋12.56 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（平方厘米） 体积：12.56×1＝12.56（立方厘米） 3.14≠12.56 底面积不相等； 12.56＝12.56 侧面积相等； 18.84≠37.68 表面积不相等； 6.28≠12.56 体积不相等。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了圆柱的底面积、侧面积、表面积、体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 3．B 【分析】把圆柱截成4段后，表面积比原来增加了6个圆柱的底面积，由此根据圆柱的底面半径求出圆柱的底面积，再乘6，即可解决问题。 【详解】1×1×3.14×6 ＝18.84（dm2） 这些木料的表面积比原木料增加了18.84dm2。 故答案为：B 【点睛】抓住圆柱的切割特点，得出表面积是增加了圆柱的6个底面积是解决此类问题的关键。 4．C 【分析】由图知：挖去部分的上面、前面、左侧面的面积与长方体新增的面积相同。据此选择。 【详解】从一个长方体中挖去一个棱长是3厘米的立方体，减少了3个边长为3厘米的正方形的面，又在原长方体上增加了3个边长为3厘米的正方形面。它的表面积不变。 故答案为：C 【点睛】考查了简单的立方体切拼问题，解题的关键是弄清楚切割后的图形与原来图形表面积的变化情况。 5．B 【分析】根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×32×3 ＝3.14×9×3 ＝28.26×3 ＝84.78（立方米） 一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是84.78立方米。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握圆柱的容积公式是解答本题的关键。 6．C 【分析】根据从前面和右面看到的图形可知，这个立体图形有2层，上层最多1个小正方体，下层最多有6个小正方体，由此即可求出这个物体最多需要多少个小正方体摆成。 【详解】1＋6＝7（个） 李新用同样大的正方体积木摆了一个物体，从前面和右面进行观察，看到的图形分别是：    这个物体最多是由7个正方体积木摆成的。 故答案为：C 【点睛】此题考查了从不同方向观察物体和几何体。三视图可以锻炼空间想象力和抽象思维力。 7．540立方分米/540dm3 【分析】一根方钢把它分成3段时，相当于增加了4个横截面，增加的表面积是72平方分米，则每个横截面面积＝72÷4＝18平方分米，原来方钢体积＝横截面面积×长，长＝3米＝3×10＝30分米，代入数据解答即可。 【详解】3米＝3×10＝30分米 72÷4×30 ＝18×30 ＝540（立方分米） 即，原来方钢的体积是540立方分米。 8． 160 80 【分析】平行于最大的面切下，切出的截面最大，平行于最小的面切下，切出的截面最小； 【详解】10×8×2 ＝80×2 ＝160（平方厘米） 8×5×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 表面积最多增加（160）平方厘米，最少增加（80）平方厘米。 【点睛】本题考查的是长方形面积公式的应用 9． ③ 254.34 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出圆锥和3个圆柱的体积，再进行对比即可。 【详解】圆锥的体积： ×3.14×（9÷2）2×12 ＝×3.14×4.52×12 ＝×3.14×20.25×12 ＝×12×3.14×20.25 ＝4×3.14×20.25 ＝12.56×20.25 ＝254.34（立方厘米） ①圆柱的体积： 3.14×（9÷2）2×12 ＝3.14×4.52×12 ＝3.14×20.25×12 ＝63.585×12 ＝763.02（立方厘米） ②圆柱的体积： 3.14×（3÷2）2×12 ＝3.14×1.52×12 ＝3.14×2.25×12 ＝7.065×12 ＝84.78（立方厘米） ③圆柱的体积： 3.14×（9÷2）2×4 ＝3.14×4.52×4 ＝3.14×20.25×4 ＝63.585×4 ＝254.34（立方厘米） 则图③体积与圆锥体积相等，它的体积是254.34立方厘米。 10． 3.14 6.28 【分析】滚筒转动1圈前进了多少米是求圆柱的底面周长，压路机滚筒转动1圈压过的路面面积是求圆柱的侧面积。 【详解】圆柱底面周长：3.14×1＝3.14（m） 圆柱侧面积：3.14×2＝6.28（m2） 所以滚筒转动1圈，压路机前进了3.14m，一共压路6.28m2。 11．3000 【分析】根据题意，将一块假山石完全没入鱼缸中，鱼缸里的水面由38厘米上升到41厘米，则假山石的体积等于水上升部分的体积； 水上升部分是一个长4分米、宽25厘米、高（41－38）厘米的长方体，先根据进率“1分米＝10厘米”统一单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块假山石的体积。 【详解】4分米＝40厘米 40×25×（41－38） ＝40×25×3 ＝1000×3 ＝3000（立方厘米） 这块假山石的体积是3000立方厘米。 12．47.1 【分析】由题意可知，把一个高5厘米的圆锥沿着高切开，表面积比原来增加了两个底为圆锥底面直径，高为5厘米的三角形的面积，即30平方厘米，用30除以2即可得到一个三角形的面积，再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，用一个三角形的面积乘2再除以5，即可求出圆锥的底面直径，最后再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】30÷2＝15（平方厘米） 15×2÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） ×3.14×（6÷2）2×5 ＝×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝×9×3.14×5 ＝3×3.14×5 ＝9.42×5 ＝47.1（立方厘米） 则圆锥的体积是47.1立方厘米。 13．× 【分析】根据俯视图的覆盖特点，只要不使底层的个数及形状改变，从上面看到的图形形状就不改变，所以在俯视图看到的5个小正方体任意一个的上面添加一个小正方体，从上面看到的图形都不会改变。 【详解】根据题干可知，添一个同样大的正方体，使从上面看形状不变，俯视图可以看到5个小正方体的上面；在任意一个的上面添加一个小正方体，从上面看到的图形都不会改变，所以有5种摆放方法。故原题干错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。 14．× 【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，分别求出棱长是3cm、棱长1cm的正方体的体积，再用棱长3cm正方体的体积除以棱长1cm正方体的体积，得到的结果进行判断。 【详解】3×3×3÷（1×1×1） ＝9×3÷（1×1） ＝27÷1 ＝27（个） 一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作由27个棱长1cm的小正方体组成。 原题干一个正方体棱长是3cm，这个正方体可以看作由9个棱长1cm的小正方体组成，说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．× 【分析】假设正方体一个面的面积是1平方厘米，由此即可知道正方体的表面积是6平方厘米，由于一个正方体切成两个完全相等的长方体，增加两个面的面积，增加了1×2＝2平方厘米，由此即可知道增加了2÷6＝。 【详解】假设正方体的一个面的面积是1平方厘米， 正方体的表面积：1×6＝6（平方厘米） 切完之后增加了两个面的面积，即增加了：1×2＝2（平方厘米） 则表面积增加了：2÷6＝ 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查立体图形的切割，切一刀增加两个面的面积。 16．× 【分析】正方体的表面积和体积，计算方法和表示的意义不同，没办法比较它们的大小，由此即可解决问题。 【详解】体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 单位不同，两个数的意义不同，没办法比较大小。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查表面积和体积的意义，明确表面积和体积的单位不同，所以不能比较大小是关键。 17．√ 【分析】我们从同一个方向观察几个物体，如果看到的图形相同，则这几个物体的形状也不一定完全一样。可以通过举例说明。 【详解】如图： 这三个不同的图形，从上面看到的图形都是：。 所以，我们从同一个方向观察几个物体，如果看到的图形相同，则这几个物体的形状也不一定完全一样。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了从同一个方向观察不同的物体或图形，解题时可以举例说明。 18．1105.28cm3 【分析】组合图形的体积实际上是圆柱的体积加上圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：和圆锥的体积公式：，代入数据，计算即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×20＋×3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×20＋×6×3.14×42 ＝3.14×16×（20＋×6） ＝50.24×22 ＝1105.28（cm3） 19．470cm3 【分析】根据图形可知，是由两个等底等高的圆锥体倒扣拼成，根据圆锥体积＝，求一个圆锥的体积，再乘2即可解答。 【详解】 ＝ ＝235.5（cm3） 235.5×2＝470（cm3） 【点睛】此题主要考查学生对圆锥体体积公式的应用。 20．210千克 【分析】要求共要多少千克涂料，需知道粉刷涂料的面积，求粉刷涂料的面积就是求房间的前，后，左，右，上5个面的面积减去门窗面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出5个面的面积，再减去门窗面积，求出粉刷的面积，进而解答。 【详解】[6×3.5＋（6×3＋3.5×3）×2－8]×3 ＝[21＋（18＋10.5）×2－8]×3 ＝[21＋28.5×2－8]×3 ＝[21＋57－8]×3 ＝[78－8]×3 ＝70×3 ＝210（千克） 答：一共要用涂料210千克。 【点睛】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。 21．120平方米 【分析】50厘米＝0.5米，根据题意可知，通风管只有4个面的面积，每个面都是长方形，长为3米，宽为0.5米，根据长方形面积公式，用3×0.5×4即可求出需要铁皮多少平方米，最后乘20即可求出20根通风管的表面积。 【详解】50厘米＝0.5米 3×0.5×4×20＝120（平方米） 答：至少要用铁皮120平方米。 【点睛】本题考查了长方体表面积公式的灵活应用，关键是明确表面积是哪几个面。 22．21厘米 【分析】根据题意可知：平放和竖放容器内的水的体积没变，只是水在容器内体积的形状改变了；先根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积，然后用体积除以竖放时容器的底面积，列式解答即可。 【详解】30×26×14÷（20×26） ＝780×14÷520 ＝10920÷520 ＝21（厘米） 答：水的高度会是21厘米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式是解答本题的关键。 23．（1）5652平方厘米；（2）2512立方厘米 【分析】（1）因为水桶是无盖的，可根据圆柱的表面积公式：S＝，代入数据即可求出做这个水桶需要多少平方厘米的木板。 （2）铁块完全浸没在水里后，铁块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作底面半径为20厘米，高为（17－15）厘米的圆柱体的体积，根据圆柱的体积公式，把数据代入即可得解。 【详解】（1）3.14×202＋2×3.14×20×35 ＝3.14×400＋6.28×20×35 ＝1256＋4396 ＝5652（平方厘米） 答：做这个水桶需要5652平方厘米的木板。 （2）3.14×202×（17－15） ＝3.14×400×2 ＝2512（立方厘米） 答：这个铁块的体积是2512立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱体的表面积以及体积的计算方法，解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用公式，解决问题。 24．（1）15.7平方分米 （2）0.628立方分米 【分析】（1）求王大爷至少需要准备多少平方分米的铝皮，就是求这个无盖的圆柱的表面积；观察图形可知，这个圆柱的底面直径是2分米，圆柱的高是2分米，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 （2）水面上升的部分的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）3.14×（2÷2）2＋3.14×2×2 ＝3.14×12＋6.28×2 ＝3.14×1＋12.56 ＝3.14＋12.56 ＝15.7（平方分米） 答：王大爷至少需要准备15.7平方分米的铝皮。 （2）0.13米＝1.3分米 3.14×（2÷2）2×（1.5－1.3） ＝3.14×12×0.2 ＝3.14×1×0.2 ＝3.14×0.2 ＝0.628（立方分米） 答：这个圆锥形铁块的体积是0.628立方分米。 【点睛】解答本题的关键是确定出圆柱形无盖的水桶的高与底面半径，再利用圆柱的表面积以及圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数的统一。 25．（1）πr；r；πr2h （2）V四棱柱＝（a＋b）h1h2；说明见详解 （3）15厘米 【分析】（1）将圆柱拼插成长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据圆周长的一半＝圆周率×半径，长方体体积＝长×宽×高，据此分别用字母表示出长方体的长、宽和体积即可。 （2）这个四棱柱也可以拼成一个长方体，拼成的长方体的体积＝四棱柱的体积，长方体的底面积＝四棱柱的底面积，长方体的高＝四棱柱的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可推导出四棱柱的体积公式。 （3）根据长方体体积＝底面积×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＋原来水深＝放入铁块后的水深，与容器的高比较一下，如果大于容器的高，说明水会溢出，水深最多就是容器的高，据此列式解答。 【详解】（1）长方体中的长是πr，宽是r，体积是πr2h。 （2）拼成的长方体的底面积：（a＋b）h1 拼成的长方体的高：h2 拼成的长方体的体积公式：V长方体＝S底h＝（a＋b）h1h2 这个四棱柱的体积公式：V四棱柱＝（a＋b）h1h2 （3）4×4×12＝192（立方厘米） 192÷[×（20＋12）×5] ＝192÷[×32×5] ＝192÷80 ＝2.4（厘米） 2.4＋13＝15.4（厘米） 15.4＞15 答：此时容器里的水深是15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$