四川省达州市万源中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

高 2026届高一下学期第二次月考数学试卷 第 1页 四川省万源中学高 2026 届第二次月考试题（高一.下 数学） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 51＋i3 2＋i2－i ＝( ) A．－1 B．1－i C．1 D．1＋i 3.每年的 3 月 15 日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的 20 家肉制品店、 100 家粮食加工品店和 15 家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检 54 家，则粮食加工品店需要被抽检( ) A．40 家 B．45 家 C．50 家 D.55 家 5. 已知 , ,a b c分别为三角形 ABC 三个内角 , ,A B C的对边，若 π , 4, 2 6 3 A c a   ，则满足此 条件的三角形个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 A.1 B.3 C.4 D.5 9. 某保险公司为客户定制了 5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险； 丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对 5个险 种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A..18 29 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 20% C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 10. 已知 z C ，则下列命题正确的是（） A. 若 z z ，则 z为纯虚数 B. 若  i 1 2iz   ，则 z的虚部为 1 C. iz a  （ aR ）且 2z  ，则 1a  D. 若 1z  ，则 1z  的最大值为 2 高 2026届高一下学期第二次月考数学试卷 第 2页 11. ABC 中，内角A， B，C 的对边分别为 a， b ， c ， S 为 ABC 的面积，且 2a  ， 2 3AB AC S    ，下列选项正确的是（ ） A. π 6 A  B．若 2b  ，则 ABC 只有一解 C．若 ABC 为锐角三角形，则 b 取值范围是 2 3, 4 D．若 ABC 为锐角三角形，则 ABC 的面积的取值范围 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．在△ ���中，角�、�、�的对边分别为�、�、�，若�2 + �2 − �2 = 3��，则角�的值__. 13.已知单位向量 ,a b  的夹角为60 .  a kb 与b  垂直，则 k  ___________. 14. 为获得万源中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取数量为 50的样 本，其中男女生样本量均为 25，计算得到男生样本的均值为 176，标准差为 10，女生样本的均 值为 166，标准差为 20.则总样本的均值为_________cm，方差为_________ 2cm . 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题 13 分) 已知复数 4 iz a= + ，其中 a是正实数， i是虚数单位 （1）如果 2z 为纯虚数，求实数 a的值； （2）如果 2a  ， 1 1 i zz   是关于 x的方程  2 0 ,x bx c b c   R 的一个复根，求b c 的值. 17. (本小题 15 分)已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且  3 sin sin 3 2 sin A B c b C a b     ． (1) 求 sin A ； (2) 若 ABC 的面积为 16 23 ，求内角 A的角平分线 AD长的最大值 18.(本小题 17 分)有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的 1.00 ppm(百万分 之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某检测中心从一批这种鱼中随机抽取了 50 条，检 测其汞含量(单位：ppm)，并将所得数据分为 6 组：[0,0.4)，[0.4,0.8)，[0.8,1.2)，[1.2,1.6)， [1.6,2.0)，[2.0,2.4]，整理后得到如下频率分布直方图． (1)由频率分布直方图估计样本的 80%分位数(精确到 0.01)； (2)由频率分布直方图估计这批鱼汞含量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)； (3)从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过．你认为 每批这种鱼的平均汞含量都比 1.00 ppm 大吗？并说明理由． （ ） （） 1.B 解析 51+刊=51-)=1-i故选B (2+i)(2-i)5 2.C 【分析】根据诱导公式结合特殊角的正弦值即可求解 【详解1解：sin210=sin180°+30=-sin30°=-号 故选：C 3.【答案】A 【解析】根据比例分配的分层随机抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检 100 54× =40(家). 20+100+15 4.A 5.【答案】B 6.【答案】D 【详解】由题意，D=4B+0-)4C且0<2<1，而AD=3AP=3AB+BP), 所以3B+3BP=B+0-4C,即P=:3B+2AC. 3 3 m=-3 3 由己知， ·则m+=号故选：D n=- 3 D 7.【答案】D 【解折】因为/国是奇函数，所以o-证=k红ke乙，即0=经+akeZ, 4 因为<受所以n=-年，所以/=2sn(2x-x)=2n2x, 因为y=2cos 2x+-2sm2x+ 所以可把函数y=2cos 2+g 的图象向右平移个单位长度故选：D 8.B 解析 因为函数满足f人+引+传小2，故函数关于点怎对称 所以m=1,且sino+}0, 即0+骨=kmk∈)，则o=3张-1k∈刀，又0<0<5，故当k=1时，0=2. 故0十m=3. 9【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图表给出信息逐个选项判断 【详解】对于A:由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为1-30%-33%-20%=17%， 其余年龄段的参保人数均比18-29周岁人群参保人数多 由第二个图可得，因为20%×4000<17%×6000，所以18-29周岁人群参保总费用最少，故A对. 对于B:由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的80%，故B错. 对于C:由第一个图可得，54周岁及以上的参保人数占参保总人数的1-30%-33%-20%=17%，所以C对. 对于D:由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的55%，所以最受青睐，所以D对 故选：ACD 10.【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项 【详解】A.若z=三，则z是实数，故A错误： B.若z=i(1-2i)=i+2,则z的虚部为1，故B正确： Cz=Va2+1=√2，则a=1,故C错误： D,若=1，则其复数z对应的向量OZ的终点在以原点为圆心的单位圆上，2+的几何意义表示，单位圆上的点 与定点(-1,0)的距离，很显然，点(1,0)与(-1,0)的距离最大，最大值是2，故D正确。 故选：BD 11.ABD 对于D,由正弦定理可知 对于A,因为AB.AC-2V5S,所以 品品品品4 2 eos4=25×hsn4,则an4-号 所以b=4sinB,c=4simC, 所以 因为AE(0,π)，所以4=，故A正确 Sa4Bc=号besinA=-号×4snB×4sinC×号=4 sinBsinC 对于B,因为b=2=a,则B=A=君，C=牙，故=4 sinBsin(匿+Bj △ABC只有一解，故B正确： -4sinB(sin cosB+cos sinB) 对于C,若△ABC为锐角三角形，则B∈(0，受)， =4sinB ce(0,). =2sinBcosB+23sin2B 0<B< =sin2B+3 (1-cos2B)=sin2B-3cos2B+3 则 则5<B<,即 =2sm(2B-号)+5， 因为弩<B<受，所以号<2B-号<牙，即 sinBE 9, 428-)9, 由正弦定理可知b==4smBe(25,4),故 sinA 所以ScE(25,2+5],故D正确 C错误； 故选：ABD 12. 13.【详解】单位向量a,b的夹角为60°， a.b=1×1×cos60°= 2 ā-b与b垂直， (a-5)-万=a6-场=】-k=0 则实数k= 故答案为：号 14.【答案】 ①.171②.275 【详解】记男生样本为乃，乃，…，y5,均值为下，方差为s,女生样本为，2，…，5，均值为z,方 差为s, 容量为50的样本均值为x,方差为s2 所以=动立=动+2)]0025x16+25x160=171 题-动8c-豆e可]-254-+4列 80w-+25-n+2-7-月+2e-+2-+2e-月 50 50+25x06-1+2x06-17n.-225x40+25x06-17m+20647m参，-25j 50[25x125+50x(25x176-25x170)+25x425+50x25x16-25x16] =275 则总样本的均值为171cm,方差为275cm2. 故答案为：171：275 15.(本小题13分) 【答案】(1)4 (2)8 【解析】 【分析】(1)先利用复数的四则运算求得：2，再利用复数的分类即可得解： (2)先利用复数的四则运算化简乙，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【小问1详解】 因为z=4+ai,所以z2=(4+ai)=16-a2+8ai,.........4分 16-a2=0 因为z2为纯虚数，所以 ,解得a=4(负值舍去)， 8a≠0 所以a=4 6分 【小问2详解】 因为a=2,所以z=4+2i, 题后222号204，…9分 2 因为z,是关于x的方程x2+br+c=0(b,c∈R)的一个复根， 所以1+3i与1-3i是x2+br+c=0的两个复根，…11分 [1+3i+1-3i=-bb=-2 故+30-3)=c则c=10 所以b+C=8 13分 16、解：(1)由题意知a=(cosx+sinr,sinx),b=(cosr-sinx,2cos.x), f(x)=ab=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx =cosx-sin+sin2x.......... cos2x+sin2x=v2sin(2x+), 小6分 +2kns2x+2kn kez. 2 4 2 所以函数的单调递增区间 [+红+ke:8分 2)x[0引2x+得当2x+晋经即=时，f=l 当2x +-,即x=时，(x)=5, 综上所述，当x=时，fy)=-山：当x=时，f)m=反 8 15分 17.(本小题15分) 【答案】(I)sinA 2W2 3 (②)4D的最大值4V6 【详解】(1)由正弦定理，得3a-_3c-26 c g。，即c2+b-a2=2bc2分) 3 故 c2+b2-a2 2 hc osA 1 (4分) 2be 2be 3 因为cosA>0,所以Ae(0,, 122 所以sinA=V-cosA=-g3 (7分) (2)因为D为角A的角平分线，所以油∠B4D=m∠CD-4, 由于SADB+SAc=SH8c, (9分) 由于sin0,所以ADle+b)=2ccos 2 .A 6 (12分) 23 23 又c=16,所以40e+小=2cm-2x166-2,6 33 由于b+c≥2√bc=8,当且仅当b=c时，等号取得到， (13分) 2-0e+6j2ac40-0,46 (15分) 18.解(1)依题意，由频率分布直方图可知这批鱼汞含量在区间[0,0.4)，[0.4,0.8)，[0.8,1.2)， [1.2,1.6),[1.6,2.0),[2.0,2.4]的频率分别为0.12,0.2,0.4a,0.24.0.12,0.04, 所以0.12+0.2+0.4a+0.24+0.12+0.04=1, 解得a=0.7, 4分 则0.4a=0.28. 因为0.12+0.2=0.32.0.32+0.28=0.6,0.6+0.24=0.84 样本的80%分位数在区间[1.2,1.6)内，设为n,则0.6+0.6(n-1.2)=0.8,… 6分 解得n≈1.53. 所以样本的80%分位数约为1.53… 8分 (3)结合(1)中结论，可得这批鱼汞含量的平均值为 0.12×0.2+0.2×0.6+0.28×1+0.24×1.4+0.12×1.8+ 0.04X2.2..10分 =1.064.… …14分 （3)不一定， 16分 因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批 鱼相同，上面所得的平均数也只能为这个分布作出估计，不能保证每批鱼的平均汞含量都大于1.00 ppm. …言之有理即给1分 +}m=n+ cosx+sin=Isi -coS 5分 (2)由题意，得f()=V5simx+cosx=2sin(x+马，故h()=2sin(2x+, 01e哈2 ,2+e,20++=2+2经 6 32 46 3 6 在得上单调递增，在[后 上单调递减，且5≤h0<2,0<+L, 4 所以M=爱=2.m=+7=2m2++8-2c2+8引 此时H0-2-2a2+引1e哈：1e暗爱，2+ge.m2+副0 即可得函数H()的值域为[1,2)11分 ②将数(-)的图像向右平移子个单位得到g闭=2n(-升月=2心2：-副 由)+8s)=m,得8()=m-),由吾≤号得0≤2+管名。 0s2+8副}1， 六m-)m-2小无子.利后26号所以-1sm4-引9 又=sx在[后上单调递减在智 上单调递增，cos 62 由飞的唯性可得-2-君引5即g)(1同 m-2>-1 依题意可得[m-2叫s(1月.所以m5,解得1<m≤5， 所以当m∈(V5时，使f(x)+g(x)=m成立.……17分