第二章 二次函数 复习试题 复习试题 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学2023-2024学年度 九年级下第二章《二次函数》复习试题 一．选择题（共10小题） 1．已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜3，记t＝a+b，则（　　） A．﹣3＜t＜0 B．﹣1＜t＜0 C．﹣1＜t＜3 D．0＜t＜3 2．用一段长度为24m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是（　　） A．25m2 B．31m2 C．36m2 D．38m2 3．将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+3）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+4 D．y＝（x+3）2﹣4 4．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．若m＜n＜c，则t的取值范围是（　　） A． B．1＜t＜3 C．0＜t＜1 D． 5．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　） A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大 C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0 D．当x＝1时，函数的最大值是4 6．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 7．将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（　　） A．y＝﹣2 B．y＝2 C．y＝﹣3 D．y＝3 8．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y＝x2﹣4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（　　） A．小明认为只有当x＝2时，函数值为1 B．小亮认为找不到实数x，使函数值为0 C．小花发现当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此认为没有最大值 D．小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值 9．某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（15≤x≤26）之间满足y＝﹣2x+60，则销售这种文具每天可得（　　） A．最大利润150元 B．最大利润128元 C．最小利润150元 D．最小利润128元 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）之间（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：其中结论正确的个数为（　　） ①3a+c＝0；②＜a＜1； ③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 11．如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 　 　． 12．已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　 　． 13．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　 　． 14．已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围　 　． 15．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 　 　米． 16．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　 　米． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t＝　 　秒时，三角形△PCQ的面积最大． （2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为　 　． 18．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与x的部分对应值如下表，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 　 　． x … ﹣3 ﹣2 0 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … 三．解答题（共10小题） 19．求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为（2，0），且经过点（﹣2，4）； （2）已知二次函数的图象经过点（3，0），（﹣2，0），（0，6）． 20．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝2x2相同，而顶点与抛物线y＝（x﹣2）2相同． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求将（1）中的抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线的函数表达式； （3）直接写出（2）中的抛物线沿坐标轴翻折180°后得到的抛物线的函数表达式； （4）请你写出一种平移方法，使（1）中的抛物线平移后的顶点落在y轴正半轴上，并写出平移后的抛物线的函数表达式． 21．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点A的坐标是 　 　，点P的坐标是 　 　； （2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 22．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，　 　是自变量，　 　是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为 　 　米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 　 　米．（精确到0.1米） 23．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x为多少m2时，y是35元/m2； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 24．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC上方抛物线上一动点． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式． （2）连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C． （1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； （3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值． 26．【项目式学习】 【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向 【项目素材】 素材一：如图1是某足球场的一部分，球门宽DE＝CF＝7m，高CD＝EF＝2.51m．小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD（即AC⊥CF），AC＝24m，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材二：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为4.5m，即QB＝4.5m，此时水平距离AB＝15m，以点A为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系． 【项目任务】 任务一：足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？ 任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？ 上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网根据以下素材，探索完成任务． 27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）经过点（3，0），点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）． （1）求该抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点的坐标． （2）当点A在y轴右侧时，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，作AN⊥y轴，垂足为点N，当AM＝2AN时，求m的值． （3）点A关于x轴的对称点为点B，点C在抛物线上，横坐标是﹣m，当线段BC不与坐标轴垂直时，以BC为对角线构造矩形PBQC，使矩形各边与坐标轴垂直． ①当抛物线在矩形内部点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②当抛物线与矩形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值． 28．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．C． 2．D． 3．D． 4．A． 5．D． 6．B． 7．A． 8．D． 9．D． 10．B． 二．填空题（共8小题） 11．k≠1． 12．（﹣3，0）． 13．． 14．k＞﹣1且k≠0． 15．7． 16．． 17．5，5． 18．x1＝﹣3，x2＝1． 三．解答题（共10小题） 19．解：（1）由题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣2）2， 又过点（﹣2，4）， ∴当 x＝﹣2 时，y＝4． ∴4＝a（﹣2﹣2）2． ∴． ∴所求表达式为 ． （2）由题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣3）（x+2）， 又过点（0，6）， ∴当 x＝0 时，y＝6． ∴6＝a（0﹣3）（0+2）． ∴a＝﹣1． ∴所求表达式为 y＝﹣（x﹣3）（x+2）＝﹣x2+x+6． 20．解：（1）∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝2x2相同，而顶点与抛物线y＝（x﹣2）2相同， ∴该抛物线的函数表达式为y＝2（x﹣2）2； （2）将抛物线y＝2（x﹣2）2向左平移3个单位长度得抛物线y＝2（x﹣2+3）2＝2（x+1）2； （3）根据点的对称性，抛物线关于x轴对称的表达式为：﹣y＝2（x+1）2，即y＝﹣2（x+1）2； 抛物线关于y轴对称的表达式为：y＝2（﹣x+1）2＝2（x﹣1）2； （4）（1）中的抛物线表达式为y＝2（x﹣2）2，顶点为（2，0）且开口向上， 则将抛物线向左平移2个单位向上平移1个单位，则抛物线的表达式为：y＝2x2+1， 该抛物线符合题设条件， 即该平移的方法是：将抛物线向左平移2个单位向上平移1个单位，平移后的表达式为：y＝2x2+1（答案不唯一）． 21解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30）， （2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70； （3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点， ∵OC＝60m， ∴C（0，60）， 设线段BC的关系式为y＝kx+m，则， 解得：， 所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60， 设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60）， 则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25， ∵﹣＜0， ∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25， 答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m． 22．解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数， （2）如图， （3）①当x＝0时，y＝0.88， ∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米， ②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得， ， 解得， ∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2， 令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88， 解得x≈3.3（舍去）或0.7． 23．解：（1）当200≤x≤600时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（200，20），（60，40）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当200≤x≤600时，y与x的函数关系式为y＝0.05x+10， 当y＝35时，35＝0.05x+10， 解得x＝500， 即当x为500m2时，y是35元/m2； （2）由题意可得， 当200≤x≤600时，W＝x（0.05x+10）+50（1000﹣x）＝0.05（x﹣400）2+42000， ∴当x＝400时，W取得最小值42000，此时1000﹣x＝600； 当600＜x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000， ∴当x＝700时，W取得最小值43000，此时1000﹣x＝300； ∵42000＜43000， ∴当种植甲种蔬菜400m2，乙种蔬菜600m2时，使W最小． 24．解：（1）对于y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4， 令y＝﹣x+4＝0，则x＝2或﹣6， 即点A、B、C的坐标分别为：（2，0）、（﹣6，0）、（0，4）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x+4； （2）过点P作y轴的平行线交BC于点H， 设点P（x，﹣x2﹣x+4），则点H（x，x+4）， 则PH＝﹣x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣x2﹣2x， 则△PBC面积＝PH×OB＝3（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+3）2+9≤9， 即△PBC面积的最大值为9，此时x＝﹣3，点P的坐标（﹣3，5）； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，故设点F（﹣2，m），点Q（x，y）， 当PB为对角线时， 由中点坐标公式得：﹣6﹣3＝x﹣2， 解得：x＝﹣7， 则点Q（﹣7，﹣3）； 当BF或BQ为对角线时， 同理可得：﹣2﹣6＝﹣x﹣3或x﹣6＝﹣2﹣3， 解得：x＝﹣5或1， 即点Q（﹣5，）或（1，）， 综上，点Q的坐标为：（﹣7，﹣3）或（﹣5，）或（1，）． 25．解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣（x+）2+， ∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3）， 对称轴为直线x＝﹣； （2）如图所示： 过N作NQ⊥x轴于点Q， 由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC， ∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°， ∵∠OBC+∠BCO＝90°， ∴∠BCO＝∠QBN， 又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC， ∴△OBC≌△QNB（AAS）， ∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1， ∴OQ＝1+3＝4， ∴N（4，1）； （3）设直线NB的解析式为y＝kx+b． ∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上， ∴， 解得：， ∴直线NB的解析式为：y＝x﹣， 当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB＝＝， 当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB， ∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大， 即点P为直线NB与抛物线的交点． 解方程组：， 解得：或， ∴当P的坐标为（1，0）或（﹣，﹣）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为． 26．解：任务一：足球不能入网；理由如下： 由题意得抛物线顶点坐标为（﹣15，）， 设抛物线解析式为y＝a（x+15）2+， ∵抛物线经过点A（0，0）， ∴225a+＝0， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣（x+15）2+， ∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+15）2+， 当AC＝24m时，即x＝﹣24时，y＝﹣+＝2.88＞2.51， ∴足球不能进入球网； 任务二：足球能打到远角E处再入网；理由如下： ∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A为原点，AF所在直线为x轴， ∴抛物线的函数表达式仍为y＝﹣（x+15）2+， ∵FC＝7m，AC＝24m，∠FCA＝90°， ∴AF＝25m， 当x＝﹣25时，y＝2.5＜2.51， ∴能打到远角E处入网． 27．（1）将（3，0）代入解析式得：9﹣6+c＝0，解得c＝﹣3． ∴解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）依题意设A（m，m2﹣2m﹣3）， ∵AM⊥x轴，AN⊥y轴， ∴AM＝|m2﹣2m﹣3|，AN＝2（m﹣1）（m＞3）， ∵AM＝2AN， ∴|m2﹣2m﹣3|＝4（m﹣1），（m＞3）， 解得：m＝2+2． （3）由题意得：A（m，m2﹣2m﹣3），B（m，﹣m2+2m+3），C（﹣m，m2+2m﹣3）． ①当m＝0时，BC平行y轴， 令﹣m2+2m+3＝m2+2m﹣3，解得m＝， 即当m＝时，BC平行x轴． 如图1，当m＜时，B在C点左下方，不符合题意． 如图2，当＜m＜0时，B在C的左上方符合题意． 如图3，当0＜m＜时，B在C的右上方，矩形内无图象． 如图4，当＜m≤3时，B在C的右下方，符合题意． 如图5，当m＞3时，矩形内部有两段图象，不符合题意． 综上：m的取值范围为：＜m＜0或＜m≤3． ②由①可知，矩形与抛物线必有一个交点C，另一个交点出现在∠B的邻边上满足题意． 令|（m2+2m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）|＝1，解得m1＝（舍），m2＝． 令|（﹣m2+2m+3）﹣（m2+2m﹣3）|＝1，解得m1＝，m2＝（舍），m3＝（舍），m4＝（舍）． 综上m 值为：或． 28．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中，得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点D作y轴平行线交x轴于E，交BC于点F，作CG⊥DE于点G，如图1， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3中，得：y＝3， ∴C点坐标是（0，3）， 设直线BC：y＝kx+q， 把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+q，代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）， ∴DF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， 由S△BCD＝2S△AOC得：， ∴， 整理得：m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝1，m2＝2， ∵0＜m＜3， ∴m的值为1或2， 当m＝1时，﹣m2+2m+3＝﹣12+2+3＝4， 当m＝2时，﹣m2+2m+3＝﹣4+4+3＝3， ∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC；理由如下： 由C（0，3），B（3，0）得OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ①当点P在BC左侧时．如图2， 在y轴上取点M（0，1），延长BM交抛物线于点P． 在△AOC和△BOM中， ， ∴△AOC≌△BOM（SAS）， ∴∠ACO＝∠ABM， ∴∠CBP+∠ACO＝∠CBM+∠OBM＝∠ABC， 设直线BM的解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），M（0，1）代入，得： ， 解得：， ∴设直线BM的解析式为y＝x+1， 由得：或， ∴； ②当点P在BC右侧时，如图2， 作△BOC关于BC的对称△CBN，CN交二次函数y＝﹣x2+2x+3于点P2，则∠CBN＝∠CBO＝45°，∠N＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCN＝45°， ∴∠OCN＝∠N＝∠OBN＝90°， ∵OC＝OB， ∴四边形OCNB是正方形， ∴BN＝3， 令y＝﹣x2+2x+3中，y＝3，则﹣x2+2x+0， 解得x＝0或x＝2， ∴P2（2，3），P2N＝3﹣2＝1＝OM， ∵OB＝NB，∠BOM＝∠BNP2＝90°， 在△BOM和△BNP2中， ， ∴△BOM≌△BNP2（SAS）， ∴∠OBM＝∠NBP2， ∴∠CBP2+∠ACO＝∠CBP2+∠BOM＝∠CBP2+∠NBP2＝45°＝∠ABC， ∴在点P2抛物线上，即点P2满足条件∠CBP+∠ACO＝∠ABC． 故存在满足条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（2，3）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 21:50:16；用户：李红；邮箱：13704675964；学号：20705407 学科网（北京）股份有限公司 $$