2025届高三数学一轮复习对点练50：数列中的构造问题

2025届高三数学一轮复习对点练50　数列中的构造问题 【基础巩固】 1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　) A.15 B.23 C.32 D.42 2.在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A.2n－3 B.2n－7 C.(2n－3)(2n－7) D.2n－5 3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　) A.64 B.56 C.32 D.24 4.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 5.在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　) A.2n－1 B.3n－1 C.23n－1 D.32n－1 6.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝(　　) A.211－23 B.210－19 C.3×210－23 D.3×29－19 7.(2024·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 8.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.为等差数列 B.{an}的通项公式为an＝ C.{an}为递减数列 D.的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4 9.(2024·东北三省三校联考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为______. 10.(2024·四川名校联考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________. 11.(2024·河南名校联考)已知数列{an}满足a1＝2，log43·an－＝log25·log53· an＋1an，则a8＝________. 12.已知Sn是数列{an}的前n项和，an＋1－3an＋2an－1＝1，a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式an＝________. 【能力提升】 13.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，则下列结论正确的是(　　) A.a3＝ B.a3＝ C.{an＋n－8}是等比数列 D.{an＋2}不可能是等比数列 14.(2024·武汉质检)将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2 025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　) A.2 025×22 022 B.2 026×22 023 C.2 025×22 023 D.2 026×22 024 15.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则＋＋…＋＝________. 16.(2024·杭州质检)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为牛顿数列.如果函数f(x)＝2x2－8，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln ，且a1＝1，xn>2.数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________. 参考答案 1.B　[因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1， 所以an＝3·2n－1－1，所以a4＝23.] 2.C　[因为－2＝， 所以－＝2，又＝－1， 所以数列是以－1为首项，公差为2的等差数列， 所以＝－1＋2(n－1)＝2n－3， 所以an＝(2n－3)(2n－7).] 3.C　[由an＋1＝2an＋2n得－＝， 而＝，∴数列是首项为，公差为 的等差数列， ∴＝＋(n－1)×＝， ∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.] 4.C　[由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)， 得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)， 即＝4(n≥3)，又a1＋a2＝4， 所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4， 所以a9＋a10＝49.] 5.D　[由a1＝3，an＋1＝a知an>0， 对an＋1＝a两边取以3为底的对数得， log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝32n－1.] 6.C　[当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2＋1， 解得a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋3， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)， 即an＝2an－1＋2， 所以an＋2＝2(an－1＋2)，a1＋2＝3， 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3×2n－1， 从而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.] 7.C　[因为an＋1＝an＋2＋1， 所以an＋1＋1＝()2＋2＋1， 即an＋1＋1＝(＋1)2， 等比两边开方可得＝＋1， 即－＝1， 所以数列{}是首项为＝2，公差为1的等差数列， 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 所以an＝n2＋2n，所以a10＝102＋20＝120.] 8.CD　[因为an＋1＝， 所以＝＝＋3， 所以＋3＝2，且＋3＝4≠0， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1， 所以＝2n＋1－3， 可得an＝，故A，B错误； 因为＝2n＋1－3单调递增， 所以an＝单调递减， 即{an}为递减数列，故C正确； 的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n ＝22×－3n＝2n＋2－3n－4.故D正确.] 9.an＝　[因为a1＝，an＋1＝， 所以＝＝＋， 即－＝， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以＝＋(n－1)＝， 所以an＝.] 10.2n－1　[由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， 因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＋1－an＝2n， 当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1， 显然n＝1时满足上式，所以an＝2n－1.] 11.　[由log43·an－＝log25·log53·an＋1an可得 log23·an－log2·an＋1＝log25··an＋1an， 即log23·an－log23·an＋1＝log23·an＋1an， ∴an－an＋1＝2anan＋1， 结合a1＝2可知anan＋1≠0， ∴－＝2， 则是公差为2的等差数列，＝， 故＝＋(n－1)·2＝2n－＝， 则an＝，故a8＝.] 12.2n＋1－n－2　[因为an＋1－3an＋2an－1＝1， 所以an＋1－an＝2(an－an－1)＋1， 因此＝2， 因为a1＝1，a2＝4，所以a2－a1＋1＝4， 故数列{an＋1－an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以an＋1－an＋1＝4·2n－1＝2n＋1， 即an＋1－an＝2n＋1－1， 所以当n≥2时， a2－a1＝22－1，a3－a2＝23－1， a4－a3＝24－1，…，an－an－1＝2n－1， 以上各式累加可得an－a1＝(22＋23＋…＋2n)－(n－1)＝－(n－1) ＝2n＋1－4－(n－1)＝2n＋1－n－3， 因为a1＝1，所以an＝2n＋1－n－2，n≥2； 又a1＝1符合上式，所以an＝2n＋1－n－2.] 13.ACD　[∵a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4， ∴a2＝，a3＝，故A正确，B错误； ∵4an＋1＝3an－n＋4， ∴an＋1＝an－n＋1， ∴an＋1＋(n＋1)－8＝an－n＋1＋(n＋1)－8＝an＋n－6＝(an＋n－8)， 又∵a1＋1－8＝－6， ∴数列{an＋n－8}是首项为－6，公比为的等比数列，故C正确； ∵a1＋2＝3，a2＋2＝，a3＋2＝， 显然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)， ∴{an＋2}不可能是等比数列，故D正确.] 14.B　[记第n行的第一个数为an， 则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2， a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2， ∴＝＋1， 即是以＝2为首项，1为公差的等差数列. ∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1， ∴an＝(n＋1)×2n－2， 又每行比上一行的数字少1个， ∴最后一行为第2 025行， ∴M＝a2 025＝2 026×22 023.] 15.2 025　[由题设，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2， a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列， 则an＋1－an＝2n＋2， 则an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1 ＝an－a1＝2[(n－1)＋…＋1]＋2(n－1) ＝(n＋2)(n－1)， 所以an＝n(n＋1)， 故＝1＋， 又n∈N*， 当n＝1时，＝2， 当n≥2时，＝1， 所以＋＋…＋＝2 025.] 16.2n－1　[∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x， 又∵xn＋1＝xn－＝xn－＝， ∴xn＋1＋2＝，xn＋1－2＝， ∴＝， 又xn>2， ∴ln ＝ln＝2ln ， 又an＝ln ，且a1＝1， ∴an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴{an}的前n项和Sn＝＝2n－1.] 学科网（北京）股份有限公司 $$