2024年九年级中考数学专题复习：特殊平行四边形动点问题

2024年九年级中考数学专题复习：特殊平行四边形动点问题 1．如图，矩形中，AB=6cm，BC=16cm．点从点出发向点运动，运动到点A停止．同时，点从点出发向点运动，运动到点停止，点的速度都是1cm/s．连接，设点运动的时间为t(s)． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)直接写出：以为对角线的正方形面积为时，的值． 2．如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿方向以个单位长度的速度向点运动（不与、重合），交边于点，交折线于点，连结，设的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）． （1）用含的代数式直接表示线段的长度． （2）当点与点重合时，求的值 （3）求与的函数关系式，并写出的最大值． （4）当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 4．如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，． ①求的值； ②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值． 5．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上一动点（不与A、C两点重合），连接BP，过点P作PE⊥PB交直线CD于点E，连接BE，MN//BC分别交AB、DC于点M、N.设. （1）当点E在CD边上时，线段PE于线段PB有怎样的数量关系？试证明你的结论. （2）设以点B，C，P，E为顶点的四边形的面积为y，试确定y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 6．我们把两边之比为整数的三角形称为倍比三角形．其中，这个整数比称为倍比，第三条边叫做该三角形的底． （1）如图1，△ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为3，若∠C=90°，AC=2，求BC的长； （2）如图2，△ABC中，D为BC边上一点，BD=3，CD=1，连结AD．若AC=2，求证：△ABD是倍比三角形，并求出倍比； （3）如图3，菱形ABCD中，∠BAD为钝角，P为对角线BD上一动点，过P作PH⊥CD于H、当CP+PH的值最小时，APCD恰好是以PD为底的倍比三角形，记倍比为x，=y，求y关于x的函数关系式． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，分别在轴、轴正半轴上，矩形的面积为32且．是轴正半轴上一动点，，． （1）如图①，当时，直线交轴于点，求证：为中点； （2）如图②，当时，若是中点，求点的坐标； （3）如图③，当时，是的中点，求点运动过程中的最小值． 8．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（21，0），C（0，6），动点D在线段AO上从点A以每秒2个单位向点O运动，动点P在线段BC上从点C以每秒1个单位向点B运动．若点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另一个动点也随之停止. （1）求点B的坐标； （2）设点P运动了t秒，用含t的代数式表示△ODP的面积S； （3）当P点运动某一点时，是否存在使△ODP为直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由. 9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，的坐标分别为，，，，连接，过点的直线与平行，的延长线交于点，点是直线上一个动点，交于点． （1）求直线的函数解析式？ （2）当点在轴的上方时，求证全等；当点运动到轴下方时，与是否依然全等（不需要写出证明过程）？ （3）当四边形为菱形时，求出点的坐标和的度数． 10．如图，矩形ABCD中，，，E、F分别是AB、CD的中点 求证：四边形AECF是平行四边形； 是否存在a的值使得四边形AECF为菱形，若存在求出a的值，若不存在说明理由； 如图，点P是线段AF上一动点且 求证：； 直接写出a的取值范围． 11．如图，在矩形中，，．如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和，，分别交、于点和点，连接、，设运动时间为 (1)连接，若四边形为平行四边形，则的值是___________； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)运动时间为何值时，？ 12．如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？ （2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________. ②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）. 13．请完成下面的几何探究过程： (1)观察填空 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则 ①∠CBE的度数为____________； ②当BE=____________时，四边形CDBE为正方形． (2)探究证明 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则： ①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明； ②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形 (3)拓展延伸 如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长． 14．如图，正方形中，，点是正方形所在平面内一动点，满足． （1）当点在直线上方且时，求证：； （2）若，求点到直线的距离； （3）记，在点运动过程中，是否存在最大值或最小值？若存在，求出其值，若不存在，说明理由． 15．如图1，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边，上运动，连接，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形是平行四边形． （2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形是菱形的情况？若存在，求出此时直线的解析式；若不存在，请说明理由． （3）如图3，在（2）的情况下，直线上是否存在一点D，使得是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$