河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下学期4月检测数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测04.28 数学试题 命题人：凡林花 审题人：陈梦 一、单选题 1.已知两条直线：，：，若与平行，则 A.-1或3 B.-1或0或3 C.0 D.-1或0 2.已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 3.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是 A.的数据较更集中 B. C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 4.有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（    ）种停放方法. A.72 B.144 C.108 D.96 5.展开式的常数项为 A. B. C. D. 6.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为 A. B. C. D. 7.已知数列满足.若数列是公比为2的等比数列，则 A. B. C. D. 8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9.随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为 A. B. C. D. 10.已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是 A. B.若，则的面积为 C.若，则的内切圆半径为 D.以为直径的圆与圆相切 11.已知数列满足，，则 A.是递减数列 B. C. D. 三、填空题 12.设，且，若能被13整除，则a＝ . 13.已知随机事件A，B，，，，则 . 14.如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 四、解答题 15.已知正六棱锥的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. （1）求概率的值； （2）求的分布列，并求其数学期望. 16.在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点. （1）证明：平面平面. （2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 17.已知数列满足为常数，若为等差数列，且. （1）求的值及的通项公式； （2）求的前项和. 18.已知椭圆（常数），点，，为坐标原点. （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由. 19.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在正数，使成立，求的取值范围； （3）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期检测04.28 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D D A A B A D ABC ACD BD 1 学科网（北京）股份有限公司 12.12 13. 14. 15．【详解】（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形， 共有种取法，其中的三角形如， 这类三角形共有个 因此. （2）由题意，的可能取值为 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 因此 所以随机变量的概率分布列为： 所求数学期望 . 16．【详解】（1）因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点， 故； 又底面，底面，故， 又平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）由已知可知，，且D为的中点， 则，即四边形为平行四边形， 故，由底面，得底面， 因为平面，所以， 以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 结合（1）可知平面的法向量可取为； 设平面的一个法向量为，而， 故，即，令，则， 假设平面与平面的夹角能为， 则，即，此方程无解， 假设不成立，即平面与平面的夹角不能为. 17．【详解】（1）由题意知， 因为，所以, 设等差数列的公差为，则， 解得，所以， 所以的值为的通项公式为； （2）由（1）知，， 所以 ． 所以的前项和． 18．【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又， 所以； （2）由已知得，即， 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得， 设，，， 则； （3） 方法一：由已知可得，即， 平方可得， 又，在椭圆上， 所以，， 所以， 化简可得， ，则， 所以， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，， 则， 又在椭圆上， 则，所以，， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆，得， 则， ，， ， 则，即， 所以， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值. 19．【详解】（1）对求导得. 当时，对有，故在上单调递增； 当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）若，由于，故存在正数使得，条件满足； 若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足. 综上，的取值范围是. （3）设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明. 唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减. 特别地，在上单调递减. 这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证. 存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即. 这就得到，对任意，有. 从而，对任意的，都有；而对任意的，都有. 然后回到原题，首先我们有 . 同时我们又有 ，， 故. 由零点存在定理，知一定存在，使得. 综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得. $$