11.1.2三角形的高、中线、角平分线 课件 2023-2024学年人教版八年级数学上册

11.1.2 三角形的高 三角形的高 定义 性质 面积 从三角形的一个顶点向对边作________，______和______之间的线段叫做三角形的高. ∵AD是△ABC的高， ∴___________. S＝×底×高＝BC·AD 垂线 顶点 垂足 AD⊥BC 知识点1 画三角形的高 【例1】画出下列三角形的三条高． 【变式1】画出△ABC的边AC上的高BE，若AC＝3，BE＝6，求△ABC的面积． 解：∵AC＝3，BE＝6， ∴S△ABC＝AC·BE＝9. 结论：三角形都有________条高，且三条高所在的直线相交于同一点，锐角三角形三高的交点在它的________部，直角三角形的三高的交点在它的__________，钝角三角形的三高的交点在它的_____部． 三 内 直角顶点 外 知识点2 等面积法 【例2】如图，AD，BE分别为△ABC中边BC，AC上的高，BC＝12，AC＝10，AD＝9.求BE的长． 解：根据题意，得S△ABC＝BC·AD＝AC·BE， 即×12×9＝×10×BE. 解得BE＝. 【变式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB上的高．若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求CD的长． 解：根据题意，得S△ABC＝BC·AC＝AB·CD， 即×8×6＝×10×CD. 解得CD＝4.8. 【例3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3. (1)作出△ABC的高BE和CD； 解：(1)如图所示； 【例3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3. (2)若CD＝2，求BE的长． 解：(2)根据题意，得S△ABC＝AB·CD＝AC·BE， 即×5×2＝×3×BE. 解得BE＝. 【变式3】如图，在△ABC中AB＝6，BC＝8. (1)画出AB，BC边上的高CD和AE； 解：(1)如图所示； 【变式3】如图，在△ABC中AB＝6，BC＝8. (2)若AE＝5，求CD的长． 解：(2)根据题意，得S△ABC＝AB·CD＝BC·AE， 即×6×CD＝×8×5. 解得CD＝. 课堂总结： 1．画高要注意两个条件：(1)与底垂直；(2)经过对角的顶点． 2．求高首先考虑等面积法，要注意钝角三角形钝角边的高在三角形的外部． 1．在下列各图的△ABC中，正确画出边AC上的高的图形是(　　) C 2．下列说法中正确的是(　　) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 B 3．下列各图中，阴影面积相等的是(　　) A．①与② B．①与③ C．②与③ D．②与④ B 4．(人教教材母题)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4.△ABC的高AD与CE的比多少？ 解：根据题意，得S△ABC＝AB·CE＝BC·AD， 即×2×CE＝×4×AD. ∴AD∶CE＝. 5．(中考新考法·类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是射线BC上一个动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，BF为△ABC的腰AC上的高． (1)如图1，当点P在线段BC上时，试探 究BF，PD，PE之间的关系，并说明理由？ 解：(1)BF＝PD＋PE，理由如下： ∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP， ∴AC·BF＝AB·PD＋AC·PE. ∵AB＝AC， ∴AC·BF＝AC·(PD＋PE)． ∴BF＝PD＋PE. 5．(中考新考法·类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是射线BC上一个动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，BF为△ABC的腰AC上的高． (2)如图2，当点P运动到BC的延长线上时，BF，PD，PE之间的关系，直按写出． 解：(2)BF＝PD－PE. 课后强化 1．用三角尺作△ABC的边AB上的高线，下列三角尺的摆放正确的是(　　) B 2．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是(1，2)，过点C作AB边上的高线CD，则垂足D的坐标是________． (1，1) 3．画出下列三角形AB边上的高CD． (1) (2) 解：如图： 4．如图，已知△ABC，画出AB边上的高CD． (1)若AB＝4，CD＝3，则S△ABC＝______； (2)若AB＝6，S△ABC＝9，则CD＝______． 解：如图： 6 3 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，求点C到AB的距离． 解：设点C到AB的距离为h． ∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3， ∴S△ABC＝AB·h＝AC·BC， 即5h＝3×4． ∴h＝． ∴点C到AB的距离为． 6．如图，在△ABC中，AC边上的高是(　　) A．BE　 B．AD C．CF　 D．AF A 7．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4．若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_______． 8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10． (1)画出△ABC的高AD和CE； (2)求AD∶CE的值． 解：(1)如图，AD，CE即为所求． (2)∵S△ABC＝AD·BC＝AB·CE， ∴＝＝＝． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD． (1)画出△ABD的边AB上的高DE； 解：(1)如图，DE即为所求． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD． (2)若DE＝CD，求DE的长． 解：(2)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴S△ABC＝AC·BC＝×6×8＝24． ∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD， ∴AC·CD＋AB·DE＝3CD＋5DE＝24． 又CD＝DE， ∴3DE＋5DE＝8DE＝24． ∴DE＝3． 11.1.2 三角形的中线、角平分线   图例 定义 性质 数量及特点 三角形的中线 连接三角形的____ ____与对边______的________叫三角形的中线． ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD______S△ACD. 三角形的中线有3条，且相交于同一点，这个交点叫三角形的_______. 三角形的角平分线 三角形一内角的平分线与对边相交，则这内角的顶点与这个交点所连的______叫三角形的角平分线. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴__________________． 三角形的角平分线有3条且相交于同一点． 顶 中点 线段 ＝ 重心 线段 ∠BAD＝ ∠CAD 点 知识点1 三角形的中线、角平分线的画法及基本性质 【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°. (1)请画出△ABC的角平分线AD； (2)求∠BAD的度数． 解：(1)如图所示； (2)∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC＝25°. 【变式1】(多维原创)如图，在△ABC中，BD是AC上的高，AC＝5，BD＝4.作出△ABC的中线CE，并求S△ACE. 解：如图所示： 根据题意，得S△ABC＝AC·BD， 即×5×4＝10. ∵CE为△ABC的中线， ∴S△ACE＝S△BCE＝S△ABC＝5. 知识点2 利用中线、角平分线的性质计算或证明 【例2】(整体思想)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是边BC上的中点，连接AD.若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 D 【变式2】如图，已知在△ABC中，CF，BE分别是边AB，AC上的中线，若AE＋AF＝7，△ABC的周长为20，则BC＝________． 6 【例3】(人教教材母题)如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F.∠1与∠2有什么关系？为什么？ 解：∠1＝∠2. ∵DE∥AC， ∴∠1＝∠DAC. ∵DF∥AB， ∴∠2＝∠BAD. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC. ∴∠1＝∠2. 【变式3】如图，CD是△ABC的角平分线，点E是BC上一点，且∠EDC＝∠DCE.求证：∠BDE＝∠A. 证明：∵CD平分∠BCA， ∴∠DCE＝∠ACD. ∵∠EDC＝∠DCE， ∴∠EDC＝∠ACD. ∴DE∥AC. ∴∠BDE＝∠A. 课堂总结： 1．三角形中有3种线段：高、中线、角平分线，注意这三种线是线段． 2．三角形的中线把三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积相等，周长差等于两边之差． 1．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，则下列说法错误的是(　　) A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC C．∠AFB＝90° D．S△ABC ＝2S△ABF D 2．如图是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的(　　) A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 C 3．下列说法中，正确的是(　　) A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B．三角形的高就是顶点到对边的垂线 C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线 D．三角形的三条中线交于一点 D 4．如图，图中的小正方形的边长均为1 cm，已知△ABC的三个顶点均在格点上． (1)画出△ABC的高AD及中线AE； (2)BC边上的高为________cm； (3)△ABE的面积为________cm2. 5．如图，点O为△ABC的重心，阴影部分S△BOC＝2，则△ABC的面积为______． 3 1.5 6 6．(多维原创)如图，CD为△ABC的中线，△ACD与△BCD的周长之差为3(AC＞BC)，且AC＋BC＝11，求AC与BC的长． 解：∵△ACD与△BCD的周长之差为3， 即(AC＋AD＋CD)－(BC＋CD＋BD)＝3. ∵CD为△ABC的中线， ∴AD＝BD. ∴AC－BC＝3. 又∵AC＋BC＝11， ∴AC＝7，BC＝4. 7．(中考新考法·思维迁移)如图，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N.求证：AM＝AN. 证明：设点B到AC的距离为h，则S△ABE＝AE·h，S△CBE＝CE·h. ∵BE，CF分别是△ABC的中线， ∴AE＝CE，AF＝BF. ∴AE·h＝CE·h. ∴S△ABE＝S△CBE＝S△ABC. 同理S△ACF＝S△BCF＝S△ABC. ∴S△ABE＝S△ACF. ∴BE·AN＝CF·AM. ∵BE＝CF， ∴AM＝AN. 1．如图，AD是△ABC的角平分线，则(　　) A．∠1＝∠BAC　 B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC　 D．∠1＝∠ABC 2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　　) A．形状相同的三角形　 B．面积相等的三角形 C．直角三角形　 D．周长相等的三角形 A B 3．如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为(　　) A．5　 B．6 C．7　 D．8 C 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，CD为中线，CE平分∠ACB，则DB＝______，∠ACE＝______°． 3 45 5．如图，画出△ABC的高AD，角平分线AE，中线AF． 解：如图，AD，AE，AF即为所求． 6．如图，AD为△ABC的中线．         (1)若BD＝3 cm，则BC的长是______cm； (2)若△ABD的面积为4 cm2，则△ACD的面积为_____cm2． 6 4 7．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中，错误的是(　　) A．AD是△ABC的角平分线　 B．CE是△ACD的角平分线 C．∠3＝∠ACD　 D．CE是△ABC的角平分线 D 8．如图，AD，BE是△ABC的两条角平分线，若∠BAC＋∠ABC＝146°，则∠1＋∠2的度数为_______． 73° 9．如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E．若∠EDA＝∠EAD，求证：AD是△ABC的角平分线． 证明：∵DE∥AC， ∴∠EDA＝∠CAD． ∵∠EDA＝∠EAD， ∴∠CAD＝∠EAD． ∴AD是△ABC的角平分线． 10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为______cm2． 1 11．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°．试求： (1)△ABE的面积； 解：(1)∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm， ∴S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24 cm2． 又∵AE是边BC的中线， ∴BE＝EC． ∴BE·AD＝EC·AD，即S△ABE＝S△AEC． ∴S△ABE＝S△ABC＝12 cm2． ∴△ABE的面积是12 cm2． 11．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°．试求： (2)△ACE和△ABE的周长的差； 解：(2)∵AE为BC边上的中线， ∴BE＝CE． ∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm． 11．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°．试求： (3)AD的长． 解：(3)∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高， ∴AB·AC＝BC·AD． ∴AD＝＝＝4.8(cm)，即AD的长为4.8 cm． $$