北京市北京理工大学附属中学2024届高三下学期三模数学试题

2024北京理工大附中高三三模 数 学 班级______姓名______ 一、选择题 1. 设，其中x，y是实数，则 A. 1 B. C. D. 2 2. 已知集合，为自然对数的底数，若，则可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 在展开式中，常数项的二项式系数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（ ） A. B. C. 1，2 D. 6. 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线，圆，下列说法错误的是（ ） A. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点； B. 当且仅当时，直线被圆所截弦长为； C. 对任意实数，圆不关于直线对称； D. 存在实数，使得直线与圆相切． 9. 在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. D. 12 10. 平面内相距的A，B两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线经过点，，，曲线经过点，且若的运动轨迹与线段相交，则的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及分别为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知角的终边经过点，且，则等于__________． 12. 已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为______． 13. 已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式：______． 14. 已知函数． ①若，则的最小正周期是______；， ②若，则的值域是______． 15. 设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 三、解答题 16. 在锐角中，已知 （1）求角； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． （1）设平面平面，求证：； （2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度． 条件①：平面平面； 条件②：； 条件③：四棱锥的体积为． 18. 某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表： 甲生产线 产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 指标 0.98 0.96 1.07 1.02 1.00 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 指标 2.01 1.97 1.96 2.03 2.03 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 乙生产线 产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 指标 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立． （1）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其指标大于1且指标大于2的概率； （2）从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示指标大于2的产品数，估计X的数学期望； （3）已知产品指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点在定直线上. 20. 已知在处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）证明：仅有一个极值点，且． （3）若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由． 21. 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值. （1）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值； （2）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由； （3）已知数列的特征值为，求的最小值. 2024北京理工大附中高三三模 数 学 班级______姓名______ 一、选择题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题 【11题答案】 【答案】－4 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】（答案不唯一，（，）） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】③④ 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，则， 而平面平面，于是平面， 又平面，且平面平面，所以. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）甲. 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，则， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，，， 所以在上存在唯一零点，使得即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以仅存在一个极值点，， ， 又函数，，而， 所以在上单调递减，则， 所以. （3）不存在，理由如下： 若存在，使得恒成立，即，对恒成立， 当时，当时，则，显然上式不成立； 当时，令，， 则， 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，又，， 所以存在，使得， 所以当时，，即单调递减，此时， 所以不恒成立， 故当时，不存在满足条件. 综上，不存在，使得恒成立. 【21题答案】 【答案】（1）；；.的特征值为； （2）. 理由如下：由于，可分下列两种情况讨论： 当、时， 根据定义可知：， 同理可得：. 所以，所以. 当、时，同理可得： ， 所以，所以. 综上有：； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $