期末复习导学案2023-2024学年苏科版数学九年级上册

泾中九年级数学备课组 九年级(上)数学期末复习导学案 1、一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系 一、基础练习 1.下列方程中,为一元二次方程的是( ) A.x=2y﹣3 ;B. ;C.x2+3x﹣1=x2+1 ;D.x2=0 2.若关于x的方程(m+1)x2﹣3x+2=0是一元二次方程,则( ) A.m>﹣1 B.m≠0 C.m≥0 D.m≠﹣1 3.已知x=2是方程x2﹣4x+c=0的一个根,则c的值是( ) A.﹣12; B.﹣4 ;C.4 ;D.12 4.方程x2=4x的解是( ) A.x=4 B.x1=0,x2=4 C.x=0 D.x1=2,x2=﹣2 5.用配方法解方程x2+2x﹣5=0时,原方程应变形为( ) A.(x﹣1)2=6 B.(x+1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9 6.下列一元二次方程中,有两个相等的实数根的是( ) A.(x﹣2)2=﹣1; B.x2﹣2x+1=0 C.(x﹣2)2=1 D.x2﹣2x﹣1=0 7.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则m的值可以是( ) A.0 B.﹣1 C.2 D.﹣3 8.一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k≥﹣1且k≠0 B.k≥﹣1 C.k≤﹣1且k≠0 D.k≥﹣1或 k≠0 9.若方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k≥﹣1且k≠0 B.k≥﹣1 C.k≤﹣1且k≠0 D.k≥﹣1或 k≠0 10.若x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,且x1+x2=1﹣x1x2,则m的值为( ) A.﹣1或2 B.1或﹣2 C.﹣2 D.1 二、知识梳理 1、一元二次方程的一般式: 。特征: 。 2、一元二次方程的解法: ; (1)配方法要点: ; (2)求根公式: 。 3、根的判别式: ; ; ;使用条件: ; 4、根与系数的关系: ;使用条件: 。 三、典型例题 例1(1).关于x的一元二次方程x2+(a2﹣2a)x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0 (2).若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k=4 B.k>4 C.k≤4且k≠0 D.k≤4 (3).若m、n是方程x2+2x=0的两个实根,则m2﹣n2+2m﹣2n= . (4).关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是 . 例2.试说明不论x,y取何值,代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数. 例3.已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2﹣1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足x1+x2+x1x2=5,求实数m的值. 四、课堂检测 1.下列方程中,关于x的一元二次方程是( ) A.ax2+bx+c=0 B.+x=2 C.x2+2x=x2+1 D.2+x2=0 2.关于x的一元二次方程ax2+bx=6的一个根为x=2,则代数式4a+2b的值是( ) A.3 B.6 C.10 D.12 3.关于x的方程x2+x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为( ) A.k>﹣ B.k≥﹣ C.k<﹣ D.k>﹣且k≠0 4.一元二次方程3x(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为 . 5.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 . 6.若方程3x2﹣5x﹣2=0有一根是a,则6a2﹣10a= . 7.如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 . 8.已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2,则x12+x22= . 9.解方程: (1)2x2﹣4x﹣1=0(配方法) (2)(x+1)2=6x+6. (3)x2+2x﹣15=0. (4)3x(x﹣1)=2﹣2x 10.已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根. (1)求k的取值范围; (2)若 ABC中,AB=AC=2,AB,BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根,求BC的长. 思考题 1.如图,在矩形ABCD中,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q为lm/s的速度从点C出发,沿CB向点B移动,设P、Q两点分别移动ts(0<t<5)后,P点到BC的距离为dm,四边形ABQP的面积为S㎡ (1)求距离d关于时间t的函数关系式; (2)求面积S关于时间t的函数关系式; (3>在P、Q两点移动的过程中,四边形ABQP的面积能否是 CPQ面积的3倍?若能,求出此时点P的位置;若不能,请说明理由. 2.如图,在矩形ABCD中,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点O以1米/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,设P、O两点移动t秒(0<t<5)后,四边形ABOP的面积为S平方米. (1)求cos∠ACB的值; (2)求面积S与时间t的关系式; (3)在P、O两点移动的过程中,能否使 CPO与 ABC相似?若能,求出此时点P的位置;若不能,请说明理由. 九年级(上)数学期末复习导学案 2、用一元二次方程解决问题 一、基础练习 1.共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放1000辆单车,计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( ) A.1000(1+x)2=1000+440 B.1000(1+x)2=440 C.440(1+x)2=1000 D.1000(1+2x)=1000+440 2.一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足( ) A.16(1+2x)=25 B.25(1﹣2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1﹣x)2=16 3.要组织一次篮球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,计划安排15场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( ) A.x(x+1)=15 B.x(x﹣1)=15 C.x(x+1)=15 D.x(x﹣1)=15 4.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是( ) A.(32﹣2x)(20﹣x)=570 B.32x+2 20x=32 20﹣570 C.(32﹣x)(20﹣x)=32 20﹣570 D.32x+2 20x﹣2x2=570 5.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其它成员赠送 一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 6.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场),计划安排15场比赛,应邀请 支球队参加比赛. 7.某种型号的电脑,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为4608元/台,则平均每次降价的百分率为 . 8.随着新农村建设的进一步加快,农村居民人均纯收入增长迅速.据统计,某市农村居民人均纯收入由2012年的14000元增长到2014年的16940元,则这个市从2012年到2014年的年平均增长的百分率是 . 9.从正方形的铁皮上截去2cm宽的一条长方形,余下的面积为48cm2,则原来正方形铁皮的面积为 . 10.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形.设矩形的一边长为xcm,则可列方程为 . 二、知识梳理 1、解决应用问题的一般步骤: ; 2、常见问题中的基本关系或解题策略: (1)百分率问题: ; (2))销售问题: ; (3)数字问题:连续整数的设元方法、多位数的表示等; (4)面积问题: ; (5)握手问题: 。 三、典型例题 例1.有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18 m),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的总长为35 m,求鸡场的长与宽各为多少? 例2.为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2015年该市投入基础教育经费5000万元,2017年投入基础教育经费7200万元. (1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率; (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算,该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台,调配给农村学校,若购买一台电脑需3500元,购买一台实物投影需2000元,则最多可购买电脑多少台? 例3.某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围; (2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 四、课堂检测 1.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了( ) A.2x% B.1+2x% C.(1+x%)x% D.(2+x%)x% 2.某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是( ) A.10% B.20% C.30% D.40% 3.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( ) A.x(x+1)=1035 B.x(x﹣1)=1035 2 C.x(x﹣1)=1035 D.2x(x+1)=1035 4.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件.如果全组共有x名同学,则根据题意列出的方程是( ) A.x(x+1)=182; B.x(x+1)=182 ; C.x(x﹣1)=182; D.x(x﹣1)=182 2 5.某经济开发区今年一月份工业产值达到80亿元,第一季度总产值为275亿元,问二、三月平均每月的增长率是多少?设平均每月的增长率为x,根据题意所列方程是( ) A.80(1+x)2=275 B.80+80(1+x)+80(1+x)2=275 C.80(1+x)3=275 D.80(1+x)+80(1+x)2=275 6.若两数和为﹣7,积为12,则这两个数是 和 . 7.已知两个连续奇数的积是15,则这两个数是 . 8.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调査,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,则每件童装应降价多少元?设每件童装应降价x元,可列方程为 . 9.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,可列出的方程是 . 10.如图,Rt ABC中,∠B=90 ,AC=10cm,BC=8cm,现有 两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s 的速度,沿AB向终点B移动;点Q以2cm/s的速度沿BC向终 点C移动,其中一点到终点,另一点也随之停止.连结PQ,若 经x秒后P,Q两点之间的距离为4,那么x的值为 . 11.已知:如图, ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答问题:当t为何值时, PBQ是直角三角形? 五、课后作业 1.新兴商场经营某种儿童益智玩具.已知成批购进时的单价是20元.调查发现:销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元? 2.贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售. (1)求平均每次下调的百分率. (2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择: ①打9.8折销售; ②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠? 期末复习练习(1) 班级 姓名 1.已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m=0. (1)若方程有实数根,求实数m 的取值范围; (2)若方程两实数根为x1,x2,且满足3x1﹣2x2=5,求实数m 的值. 2.已知 ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5. (1)k为何值时, ABC是以BC为斜边的直角三角形? (2)k为何值时, ABC是等腰三角形?并求此时 ABC的周长. 3.如图,等腰 MBC中,MB=MC,点A、P分别在MB、BC、上,作∠APE=∠B.PE交CM于E. (1)求证:=; (2)若∠C=60 ,BC=7,CE=3,AB=4,求 ABP的面积. 4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E. (1)连接AE,当 APE与≌ ADE时,求BP的长; (2)设BP=x,CE=y,确定y与x的函数关系式; (3)当x取何值时,AE的长最短,求x的值和AE的长. 5.如图,在 ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上一点,且BP=2,将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与AB、AC相交,交点为D、E. (1)求证: BPD∽ CEP; (2)是否存在这样的位置, PDE为直角三角形?若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由. 九年级(上)数学期末复习导学案 3、圆的有关性质、与圆有关的角 一、基础练习 1.已知⊙O的半径为6,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与⊙O的位置关系为( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定 2.下列说法,正确的是( ) A.弦是直径 B.弧是半圆;C.半圆是弧 D.过圆心的线段是直径 3.下列说法正确的是( ) A.长度相等的两条弧是等弧;B.优弧一定大于劣弧 C.不同的圆中不可能有相等的弦;D.直径是弦且同一个圆中最长的弦 4.如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是( ) A.3 B.2.5 C.2 D.1 5.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是( ) A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5 (4) (5) (7) 6.在⊙O中,弦AB的长恰好等于半径,弦AB所对的圆心角为 .所对的圆周角为 . 7.如图,以AB为直径的半圆O上有两点D、E,ED与BA的延长线交于点C,且有DC=OE,若∠C=20 ,则∠EOB的度数是 . 8.如图,OD是⊙O的半径,弦AB⊥OD于E,若∠O=70 ,则∠A+∠C= 度. 9.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高CD为 米. 10.如图,直角坐标系中一条圆弧经过格点A,B,C,其中B点坐标为(3,4),则该弧所在圆心的坐标是 . (8) (9) (10) 二、知识梳理 1、圆的对称性: ; 2、点与圆的位置关系: ; 3、垂径定理: ; 4、圆心角、弧、弦之间的关系: ; 5、圆心角定理: ; 6、圆周角定理: ; 7、圆周角定理的推论: ; 8、三角形的外心: 。 三、典型例题 例1.如图, ABC内接于⊙O,BC=4,CA=3,∠A﹣∠B=90 ,求⊙O的半径. 例2.如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G,延长BA交圆于E. (1)求证:EF=FG; (2)当∠ADC为多少度时,四边形GCDF能成为平行四边形?为什么? 例3.在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD. (1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r; (2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25 ,求∠DCA的度数. 四、课堂检测 1.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个圆;B.一个三角形只有一个外接圆 C.和半径垂直的直线是圆的切线;D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 2.下列说法错误的是( ) A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧 3.⊙O内有一定点G,OG=5cm,⊙O的半径为13cm,则过G点的所有弦中,长度为整数的弦共有( )条. A.2 B.3 C.4 D.无数 4.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角三角形ABC的内部,∠BAC=90 ,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为( ) A.6 B.13 C. D.2 5.已知⊙O的半径是4,OP=3,则点P与⊙O的位置关系是( ) A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定 6.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长是 . 7.⊙O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是 . 8.如图,在 ABC中,已知∠ACB=130 ,∠BAC=20 ,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为 . 9.如图,∠C=90 ,⊙C与AB相交于点D,AC=5,CB=12,则AD= . 10.如图,有一个圆形展厅,在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器,它的监控角度是40 .为了监控整个展厅,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台. (4) (6) (8) (9) (10) 11.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D.求AD的长. 12.2013年10月,台风“菲特”来袭,宁波余姚被雨水“围攻”,如图,当地有一拱桥为圆弧形,跨度AB=60米,拱高PM=18米,当洪水泛滥,水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施,当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米,问是否要采取紧急措施?请说明理由. 13.如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90 ,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)当BC=6时,求线段OD的长; (2)在 DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由. 14.如图,已知 ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD. (1)求证:BE=CE; (2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由; (3)若BC=8,AD=10,求CD的长. 期末复习练习(2) 班级 姓名 1.如图,已知直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点,M是以C(6,0)为圆心,2为半径的圆上一动点,连结MA、MB,则 MAB面积的最大值是 . 2.如图,直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B;点Q是以C(0,﹣1)为圆心、1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小值是 . 3.如图,AD为 ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由. 4.如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为中点,连接BM,CM. (1)求证:BM=CM; (2)当⊙O的半径为2时,求的长. 5.在四边形ABCD中,∠D=90 ,以AB为直径作半⊙O. (1)如图1,若⊙O与DC有公共点E,且∠BAE=∠DAE.试说明DC是⊙O的切线; (2)如图2,若⊙O与DC交于点E、F,图中∠BAF与∠DAE相等吗?为什么? 6.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2+2k=0. (1)求证:k取任何实数值,方程总有不相等的实数根; (2)若等腰 ABC的周长为14,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求k的值. 7.(1)求证:关于x的一元二次方程x2+(m﹣3)x﹣3m=0一定有两个实数根; (2)若关于x的方程x2﹣2x+3k﹣6=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (3)设题(1)中方程的两根为a、b,若恰有一个直角三角形的三边长分别为2、a、b,试求m的值. 期末复习练习(3) 班级 姓名 1.如图,已知 ABC中,AB=12,BC=8,AC=6,点D,E分别在AB,AC上,如 果以A,D,E为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,且相似比为1:3. (1)根据题意确定D,E的位置,画出简图; (2)求AD,AE和DE的长. 2.如图,在 ABC中,点D,F在AB上,点E,G在AC上,DE∥FG∥BC,且S ADE=S四边形DFGE=S四边形FBCG (1)求DE:FG:BC的值; (2)若AB=10,AC=15,BC=12,求四边形DFGE的周长. 3.东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品; (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 4.如图 ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E. (1)求证:点D是AB的中点; (2)求证:DE与⊙O相切; (3)若BC=18,AB=12,求DE的长. 5.如图, ABC是等腰直角三角形,C是直角顶点. (1)操作并观察:将三角尺90 角的顶点与AB的中点O重合,使三角尺的两个直角边分别与AC,BC交于点E,F,然后将这个角绕点O旋转(点E,F不与点A,B,C重合),观察在旋转的过程中点E,F的位置变化,并判断在AE,EF,FB这三条线段中,最大者是否始终为EF? (2)探索:AE,EF,FB这三条线段能否组成一个以EF为斜边的直角三角形?若能,试给出证明,否则加以说明. 6.如图a,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A,B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30 ,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于点Q. (1)如图b,当点P在半径OA上时,若QP=QO,求∠OCP的度数. (2)当点P在直线l上其他位置时,是否还存在∠OCP使得QP=QO?若存在,请求出 ∠OCP的度数;若不存在,请说明理由. 期末复习练习(4) 班级 姓名 1.在半径为1的圆中,弦AB、AC分别和,则∠BAC= . 2.一个直角三角形面积为24cm2,外接圆半径为5厘米,则这个三角形的周长为 . 3.已知⊙O的半径是4cm. (1)若OP=2cm,则点P到圆上各点的距离中,最短距离为 ,最长距离为 . (2)若OP=6cm,则点P到圆上各点的距离中,最短距离为 ,最长距离为 . (3)若P到圆上各点的距离中,最短距离为3cm,则最长距离为 . 4.等边三角形的边长为6,则它的外接圆的半径为 ;直角三角形的两直角边分别为6、8,则它的外接圆的半径为 ;等腰三角形的腰长为5,底边长为6,则它的外接圆的半径为 ;等腰三角形的腰长为5,底边长为8,则它的外接圆的半径为 . 5.如图,在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧 沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.若点D与圆心O不 重合,∠BAC=25 ,则∠DCA的度数为 度. 6.如图,在锐角 ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心, AC长为半径作⊙O,交BC于E,过O作OD∥BC交⊙O于D,连接AE、AD、DC. (1)求证:D是的中点; (2)求证:∠DAO=∠B+∠BAD; (3)若,且AC=4,求CF的长. 7.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若AB=4,BC﹣AC=2,求CE的长. 8.如图,已知以Rt ABC的边AB为直径作 ABC的外接圆⊙O,∠ABC的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F. (1)求证:EF是⊙O切线; (2)若AB=3,EF=2,求CD的长. 9.如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,以BC为直径作⊙O,交AC于D,E为的中点,连接CE,BE,BE交AC于F. (1)求证:AB=AF; (2)若AB=3,BC=4,求CE的长. 期末复习练习(5) 班级 姓名 1.解方程: (1)(x+1)2=1 (2)x2﹣6x+4=0. 2.已知关于x的方程x2+ax﹣2=0. (1)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根; (2)若该方程的一个根为2,求a的值及该方程的另一根. 3.某人了解到某公司员工的月工资情况如下: 员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 职员G 月工资/元 12000 8000 3200 2600 2400 2200 2200 2200 1200 在调查过程中有3位员工对月工资给出了下列3种说法: 甲:我的工资是2400元,在公司中属中等收入. 乙:我们有好几个人的工资都是2200元. 丙:我们公司员工的收入比较高,月工资有4000元. (1)上述3种说法分别用了平均数、中位数、众数中哪一个描述数据的集中趋势? (2)在上述3种说法中你认为那种说法可以较好地反映该公司员工月收入的一般水平?说说你的理由. 4.甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选2名同学打第一场比赛. (1)已确定甲同学打第一场比赛,再从其余3名同学中随机选取1名,恰好选中乙同学的概率是 ; (2)随机选取2名同学,求其中有乙同学的概率. 5.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E. (1)若∠B=80 ,求∠CAD的度数; (2)若AB=8,AC=6,求DE的长. 6.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC相交于点D,且CD=2,BC=4, (1)求⊙O的半径; (2)连接AD并延长,交BC于点E,取BE的中点F,连接DF,试判断DF与⊙O的位置关系,并说明理由. 7.已知二次函数y=x2﹣2x x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣1 … (1)请在表内的空格中填入适当的数; (2)请在所给的平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x的图象; (3)当x再什么范围内时,y随x的增大而减小; (4)观察y=x2﹣2x的图象,当x在什么范围内时,y>0. 8.某涵洞的截面边缘成抛物线形,现测得当水面宽AB=2米时涵洞的顶点与水面的距离为4米,这时离开水面2米处涵洞宽DE是多少? 9.某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件销售价x(元)的关系数据如下: x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 (1)已知y与x满足一次函数关系,根据上表,求出y与x之间的关系式(不写出自变量x的取值范围); (2)如果商店销售这种商品,每天要获得150元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元? (3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元),求出w与x之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大? 10.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+2的图象经过点A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点Q(m,m﹣1)是抛物线上位于第一象限内的点,P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),经过点P分别作PD∥BQ交AQ于点D,PE∥AQ交BQ于点E. ①判断四边形PDQE的形状;并说明理由; ②连接DE,求出线段DE的长度范围; ③如图2,在抛物线上是否存在一点F,使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点F和点P坐标;若不存在,说明理由. 思考题:对于一个圆和一个正方形给出如下定义:若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点,则称这个圆是该正方形的“等距圆”. 如图1,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(2,4),顶点C、D在x轴上,且点C在点D的左侧. (1)当r=2时,在P1(0,2),P2(﹣2,4),P3(4,2),P4(0,2﹣2)中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ; (2)若点P坐标为(﹣3,6),则当⊙P的半径r= 时,⊙P是正方形ABCD的“等距圆”.试判断此时⊙P与直线AC的位置关系?并说明理由. (3)如图2,在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中,正方形EFGH的顶点F的坐标为(6,2),顶点E、H在y轴上,且点H在点E的上方. 若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”,且与BC所在直线相切,求⊙P的圆心P的坐标. 九年级(上)数学期末复习导学案 4、直线与圆的位置关系,圆中的有关计算 一、基础练习 1.已知⊙O和直线L相交,圆心到直线L的距离为10cm,则⊙O的半径可能为( ) A.10cm B.6cm C.12cm D.以上都不对 2.在 ABC中,∠C=90 ,AC=4,AB=5,以点C为圆心,以R长为半径画圆,若⊙C与边AB只有一个公共点,则R的取值范围是( ) A.R= B.3≤R≤4 C.0<R<3或R>4 D.3<R≤4或R= 3.如图,已知直线AD是⊙O的切线,点A为切点,OD交⊙O于点B,点C在⊙O上,且∠ODA=36 ,则∠ACB的度数为( ) A.54 B.36 C.30 D.27 4.如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55 ,则∠ACD等于( ) A.20 B.35 C.40 D.55 5.以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,与坐标轴恰好有三个交点,则r应满足( ) A.r=2或 B.r=2 C.r= D.2≤r≤ 6.下列关于圆的切线的说法正确的是( ) A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线 7.如图,在4 4的方格中(共有16个小方格),每个小方格都是边长为1的正方形,O,A,B分别是小正方形的顶点,则扇形OAB的弧长等于( ) A.2 B. C.2 D. 8.圆锥的底面半径r=3,高h=4,则圆锥的侧面积是( ) A.12 B.15 C.24 D.30 9.若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( ) A.60 B.90 C.120 D.180 10.如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( ) A. B.﹣2 C. D.﹣ (3) (4) (7) (8) (10) 二、知识梳理 1.直线与圆的位置关系包括: 。 设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则不同的位置关系对应的数量关系分别是: 、 、 。 2.切线的判定定理: ; 3.切线的性质定理: ; 4.三角形的内心: ; 5.切线长定理: ; 6.(1)Rt的外接圆半径R= ,内切圆半径r= = ; (2)任意三角形的内切圆半径r= 。 (3)边长为a的等边三角形的面积S= ,外接圆半径R= ,内切圆半径r 。 7.圆外切四边形的对边之和 。 8.圆的有关计算公式: (1)r为半径,则圆周长C= ,弧长l= 。 (2)S圆= ,S扇形= = 。 (3)S锥侧= 三、典型例题 例1.如图,一个圆锥的高为cm,侧面展开图是半圆,求: (1)圆锥的底面半径r与母线R之比; (2)圆锥的全面积. 例2.如图,已知⊙O是 ABC的外接圆,AC是直径,∠A=30 ,BC=2,点D是AB的中点,连接DO并延长交⊙O于点P,过点P作PF⊥AC于点F. (1)求劣弧PC的长;(结果保留 ) (2)求阴影部分的面积.(结果保留 ). 例3.AB是⊙O的直径,AD与⊙O相交,点C是⊙O上一点,经过点C的直线交AD于点E. (1)如图1,若AC平分∠BAD,CE⊥AD于点E,求证:CE是⊙O的切线; (2)如图2,若CE是⊙O的切线,CE⊥AD于点E,AC是∠BAD的平分线吗?说明理由; (3)如图3,若CE是⊙O的切线,AC平分∠BAD,AB=8,AC=6,求AE的长度. 四、课堂检测 1.已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是2cm,则直线l与⊙O的位置关系是 . 2.在平面直角坐标系内,以点P(﹣1,0)为圆心、为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是 . 3.已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足OP=2,则直线l与⊙O的位置关系是 . 4.⊙O的半径为3cm,B为⊙O外一点,OB交⊙O于点A,AB=OA,动点P从点A出发,以 cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为 s时,BP与⊙O相切. 5.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 . 6.如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD,若∠A=50 ,则∠COD的度数为 . 7.如图,点O是 ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80 ,则∠BOC= (填度数). 8.如图,AB、AC、BD是⊙O的切线,P、C、D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为 . (5) (6) (7) (8) 9.如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB. (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长. 10.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. (1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若正方形ABCD的边长为1,求BM的长. 11.如图, ABC中,AB=4,AC=2,BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,以A为圆心,AC为半径的扇形交AB于点E. (1)以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系?请说明理由; (2)求图中阴影部分的面积(结果可保留根号和 ). 期末复习练习(6) 班级 姓名 1.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2﹣2上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为 . 2.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2﹣3上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为 . 3.如图,抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式+x2+1<0的解集是 . 4.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B;点Q是以C(0,﹣2)为圆心、2为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小值是 . 6.如图,抛物线y=x2+m与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式 +x2+m<0的解集是( ) A.x>1 B.x<﹣1 C.0<x<1 D.﹣1<x<0 (1) (2) (3) (4) (5) 6.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如表格: 回答下列问题: (1)请你利用右图画出甲、乙两人射靶成绩的折线图. (2)请你分别求出两人的平均成绩; (3)请你根据计算说明谁的成绩比较稳定? (4)从折线图上两人射击命中环数的走势看,谁更具有潜力? 7.某广告公司欲招聘了广告策划人员一名,现对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试.他们的各项测试成绩如下表所示: 测试项目 测试成绩 A B C 创 新 72 85 67 综合知识 50 74 70 语 言 88 45 67 (1)如果按三项测试的平均成绩录取人选,那么候选人 将被录用; (2)根据实际需要,公司把创新,综合知识和语言三项成绩得分按4:3:1的比例确定各人的测试成绩,此时候选人 将被录用. 8.在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球,他们的材质、形状、大小完全相同,小凯从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y). (1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标. (2)求点(x,y)在函数y=图象上的概率. 9.假设一个家庭有3个孩子,求下列概率. (1)3个女孩的概率是多少? (2)2个女孩和1个男孩的概率是多少? (3)至少1个男孩的概率是多少? 10.如图,以线段AB为直径作⊙O,CD与⊙O相切于点E,交AB的延长线于点D,连接BE,过点O作OC∥BE交切线DE于点C,连接AC. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若BD=OB=4,求弦AE的长. 11.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求 BCD的面积. (3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并直接写出当x在什么范围内时, 一次函数的值小于二次函数的值. 九年级(上)数学期末复习导学案 5、二次函数的图像与性质 一、基础练习 1.若y=(2﹣m)是二次函数,则m等于( ) A. 2 B.2 C.﹣2 D.不能确定 2.下列函数中,是二次函数的为( ) A.y=8x2+1 B.y=8x+1 C.y= D.y= 3.若函数y=a是二次函数且图象开口向上,则a=( ) A.﹣2 B.4 C.4或﹣2 D.4或3 4.对于函数y=﹣2(x﹣m)2的图象,下列说法不正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是x=m C.最大值为0 D.与y轴不相交 5.抛物线y=2(x﹣3)2+4顶点坐标是( ) A.(3,4) B.(﹣3,4) C.(3,﹣4) D.(2,4) 6.若二次函数y=x2+2x+c配方后为y=(x+h)2+7,则c、h的值分别为( ) A.8、﹣1 B.8、1 C.6、﹣1 D.6、1 7.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( ) A.4 B.8 C.﹣4 D.16 8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是( ) A.﹣1<x<5 B.x>5 C.x<﹣1 D.x<﹣1或x>5 9.不论m为何实数,抛物线y=x2﹣mx+m﹣2( ) A.在x轴上方 B.与x轴只有一个交点 C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方 10.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是( ) A.t>﹣5 B.﹣5<t<3 C.3<t≤4 D.﹣5<t≤4 (8) (10) 二、知识梳理 1.二次函数表达式的三种形式; (1)一般式: ; (2)顶点式: ;其中顶点坐标是 . (3)交点式: ;其中与x轴的交点坐标是 . 2.二次函数的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线 (1)y=ax2 y=a(x-h)2+k (这两个函数图像有何关系) (2)函数图像平移前后表达式的变化规律: 。 3.二次函数的性质(开口方向,顶点,对称轴,增减性,最值) (1)顶点坐标公式: ; (2)对称轴方程: ; (3)最值: ; (4)若P(x1,y),Q(x2,y)是同一条抛物线上的两点,则其对称轴是: 。 4.二次函数与一元二次方程的关系: >0 ax2+bx+c=0 实数根 y=ax2+bx+c的图像与x轴 ; <0 ax2+bx+c=0 实数根 y=ax2+bx+c的图像与x轴 ; =0 ax2+bx+c=0 实数根 y=ax2+bx+c的图像与x轴 ; 三、典型例题 例1.已知二次函数y=﹣2x2+4x+6. (1)求出该函数图象的顶点坐标,对称轴,图象与x轴、y轴的交点坐标,并在下面的网格中画出这个函数的大致图象; (2)利用函数图象回答: ①当x在什么范围内时,y随x的增大而增大当x在什么范围内时,y随x的增大而减小? ②当x在什么范围内时,y>0? 例2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k取值范围. 例3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2). (1)求抛物线的解析式; (2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以A,C,D为顶点的三角形面积最大时,求点D的坐标及此时三角形的面积. 四、课堂检测 1.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是( ) A.y=(m﹣1)2x2 B.y=(m+1)2x2 C.y=(m2+1)x2 D.y=(m2﹣1)x2 2.二次函数y=x2+2的顶点坐标是( ) A.(1,﹣2) B.(1,2) C.(0,﹣2) D.(0,2) 3.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣(x+1)2+1上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 4.对于二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( ) A.对称轴是直线x=1,最小值是2;B.对称轴是直线x=1,最大值是2 C.对称轴是直线x=﹣1,最小值是2;D.对称轴是直线x=﹣1,最大值是2 5.将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2﹣1 C.y=(x﹣2)2+1 D.y=(x﹣2)2﹣1 6.函数的图象是抛物线,则m= . 7.抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是 . 8.抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为 . 9.二次函数y=x(x﹣6)的图象的对称轴是 . 10.把抛物线y=﹣x2向上平移2个单位,那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 . 11.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点,则a的值为 . 12.若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点,则定点坐标为 . 13.如图,点P是抛物线y=x2上位于第一象限内一点,点A(3,0),设点P的坐标为(x,y). (1)求 AOP的面积S与y的关系式; (2)S是y的什么函数?S是x的什么函数? 14.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,﹣6),与x轴的一个交点坐标是A(﹣2,0). (1)求二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标; (2)将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度,当 y<0时,求x的取值范围. 15.如图,抛物线y=ax2﹣x﹣2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究 ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求 MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 九年级(上)数学期末复习导学案 6、三角形相似的条件与性质 一、基础练习 1.在比例尺1:10000的地图上,相距2cm的两地的实际距离是( ) A.200cm B.200dm C.200m D.200km 2.下列四条线段中,不能成比例的是( ) A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=1,b=,c=2,d=4 C.a=4,b=5,c=8,d=10 D.a=2,b=3,c=4,d=5 3.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比,已知这本书的长为20cm,则它的宽约为( ) A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm 4.由5a=6b(a≠0),可得比例式( ) A. B. C. D. 5.如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 6.如图,D是 ABC一边BC上一点,连接AD,使 ABC∽ DBA的条件是( ) A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD C.AB2=CD•BC D.AB2=BD•BC 7.如图,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定 ADC和 BAC相似的是( ) A.∠DAC=∠ABC B.AC是∠BCD的平分线;C.AC2=BC•CD D.= 8.如图, ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.如图,已知DE∥BC,CD与BE相交于点O,并且S DOE:S COB=4:9,则AE:AC为( ) A.4:9 ; B.2:3 ; C.3:2; D.9:4 (5) (6) (7) (8) (9) 10.若两个图形位似,则下列叙述不正确的是( ) A.每对对应点所在的直线相交于同一点;B.两个图形上的对应线段之比等于位似比 C.两个图形上的对应线段必平行;D.两个图形的面积比等于位似比的平方 二、知识梳理 1.比例尺,比例线段,比例的基本性质,比例中项; 2.黄金分割点,黄金比,黄金三角形,黄金矩形; 3.平行线分线段成比例 (1)定理: ; (2)推论: ; 4.相似三角形的判定(简言之) : , , ,. 5.相似三角形的性质 相似三角形的对应角 ,对应边 ,对应线段(包括: )的比等于 ,面积比等于 . 6.两个位似图形一定 ,对应点的连线一定都经过 ,每对对应点到 的距离之比都等于 ,对应边互相 或 . 7.基本图形 在Rt ABC中, ∠ACB=90 CD⊥AB,则: 三、典型例题 例1.如图, ABC中,AB=AC,∠A=36 ,CE平分∠ACB交AB于点E, (1)试说明点E为线段AB的黄金分割点; (2)若AB=4,求BC的长. 例2.已知: ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为 A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形 的边长是一个单位长度). (1) ABC向下平移4个单位长度得到的 A1B1C1, 点C1的坐标是 ; (2)以点B为位似中心,在网格内画出 A2B2C2, 使 A2B2C2与 ABC位似,且位似比为2:1,点C2 的坐标是 ;(画出图形) (3) A2B2C2的面积是 平方单位. 例3.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G. (1)求证: ABE∽ DEF; (2)若正方形的边长为4,求BG的长. 四、课堂检测 1.已知:x:y=2:3,则(x+y):y= . 2.已知==≠0,则= . 3.2和8的比例中项是 . 4.在比例尺为1:40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是 km. 5.已知点P是线段AB上的黄金分割点,AP>PB,AB=4厘米,则线段AP= 厘米 6.如图,已知在 ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB等于 . 7.已知:AM:MD=4:1,BD:DC=2:3,则AE:EC= . 8.如图,在 ABC中,点D为AC上一点,且,过点D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=15,则EF= . 9.在平行四边形ABCD中,E是CD上一点,DE:EC=1:3,连AE,BE,BD且AE,BD交于F,则S DEF:S EBF:S ABF= . 10.如图,四边形DEFG是 ABC的内接矩形,其中D、G分别在边AB,AC上,点E、F在边BC上,DG=2DE,AH是 ABC的高,BC=20,AH=15,那么矩形DEFG的周长是 . 11.已知:平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点,CE与AD、BD交于G、F. 求证:CF2=GF•EF. 12.如图所示,Rt ABC中,已知∠BAC=90 ,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45 ,DE交AC于点E. (1)求证: ABD∽ DCE; (2)当 ADE是等腰三角形时,求AE的长. 13.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证: ADF∽ DEC; (2)若AB=4,AD=,AE=3,求AF的长. 14.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格图中有 ABC,建立平面直角坐标系后,点O的坐标是(0,0). (1)以O为位似中心,作 A′B′C′∽ ABC,相似比为 1:2,且保证 A′B′C′在第三象限; (2)点B′的坐标为( , ); (3)若线段BC上有一点D,它的坐标为(a,b), 那么它的对应点D′的坐标为( , ). 九年级数学期末复习导学案(上) 7.二次函数和相似三角形的应用 一、基础练习 1.烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A.3s B.4s C.5s D.6s 2.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) (第3题) A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣0.5x2 D.y=0.5x2 3.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=﹣x2+x+,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6m B.12m C.8m D.10m 4.周长是4m的矩形,它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 5.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x的关系式为( ) A.y=60(300+20x) B.y=(60﹣x)(300+20x) C.y=300(60﹣20x) D.y=(60﹣x)(300﹣20x) 6.小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得教学大楼在操场的影长为60米,则教学大楼的高度应为( ) A.45米 B.40米 C.90米 D.80米 7.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD.且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米.那么该古城墙CD的高度是( ) A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 8.如图,有一块锐角三角形材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使其一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,则这个正方形零件的边长为( ) A.40mm B.45mm C.48mm D.60mm 9.如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是( ) A.3.25m B.4.25m C.4.45m D.4.75m 10.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现在要做一个和它相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种或四种以上 二、知识梳理 1.利用二次函数解决实际问题关键是从中抽象出数学模型,引入恰当的变量,建立函数关系式,从而利用二次函数的图像和性质加以解决. (1)最值问题:如最大利润,最大面积等;(求最值时,应注意题中的限制条件即自变量的取值范围) (2)拱桥型问题中的安全行驶问题; 2.相似三角形应用广泛,要善于运用数学知识将实际问题抽象为数学模型来解决. 平行投影与中心投影的作图与应用. 三、典型例题 例1.用长30米的篱笆和一段长8米的墙(作为其中一边)围城一个矩形场地.怎样围使矩形的面积最大?最大面积是多少? 例2.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x﹣4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m. (1)当a=﹣时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网. (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为m的Q处时,乙扣球成功,求a的值. 例3.为了测量路灯(OS)的高度,把一根长1.5米的竹竿(AB)竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子(BC)长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB′),再把竹竿竖立在地面上,测得竹竿的影长(B′C′)为1.8米,求路灯离地面的高度. 例4.今年是“精准扶贫”攻坚关键年,某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业,并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金,双方约定:①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购;②企业从生产销售的利润中,要保证按时发放工人每月最低工资32000元.已知该企业生产的产品成本为20元/件,月生产量y(千件)与出厂价x(元)(25≤x≤50)的函数关系可用图中的线段AB和BC表示,其中AB的解析式为y=﹣x+m(m为常数). (1)求该企业月生产量y(千件)与出厂价x(元)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (2)当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时,月利润W(元)最大?最大利润是多少?[月利润=(出厂价﹣成本) 月生产量﹣工人月最低工资]. 四、课堂检测 1.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2). (1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大? (2)如图2,现要求在图中所示位置留2m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确. 2. 某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围; (2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 3.如图,在斜坡顶部有一铁塔AB,B是CD的中点,CD是水平的.在阳光的照射下,塔影DE留在斜坡面上.在同一时刻,小明站在点E处,其影子EF在直线DE上,小华站在点G处,影子GH在直线CD上,他们的影子长分别为2m和1m.已知CD=12m,DE=18m,小明和小华身高均为1.6m,那么塔高AB为多少? 4.已知:CD为一幢3米高的温室,其南面窗户的底框G距地面1米,CD在地面上留下的最大影长CF为2米,现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB(设A,C,F在同一水平线上). (1)按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE; (2)问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光,试说明理由. 期末复习练习(7) 班级 姓名 1.如图,路灯A离地8米,身高1.6米的小王(C D)的影长DB与身高一样,现在他沿OD方向走10米,到达E处. (1)请画出小王在E处的影子EH; (2)求EH的长. 2.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90 ,E为AB的中点. (1)求证:AC2=AB•AD; (2)求证:CE∥AD. 3.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上. (1)求证: AEF∽ ABC; (2)求这个正方形零件的边长; (3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少? 4.如图,⊙O是 ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P. (1)求证:PD是⊙O的切线; (2)求证: PBD∽ DCA; (3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长. 5.已知P(﹣3,m)和Q(1,m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点. (1)求b的值; (2)判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k(k是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的最小值. 6. 如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值. 期末复习练习(8) 班级 姓名 1.解方程:(1)(x+1)2=9; (2)x2﹣4x+2=0. 2.在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛,在相同的测试条件下,两人5次测试成绩(单位:分)如下: 甲:79,81,82,85,83 乙:88,79,90,81,72. 回答下列问题: (1)甲成绩的平均数是 ,乙成绩的平均数是 ; (2)求甲、乙两名同学测试成绩的方差S甲2与S乙2. (3)请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适. 3.一只不透明的袋子中,装有三个分别标记为“﹣1”、“2”、“﹣3”的球,这三个球除了标记不同外,其余均相同,搅匀后,从中摸出一个球,记录球上的标记为x后,放回袋中并搅匀,再从中摸出一个球,再次记录球上的标记为y,最终结果记录为(x,y). (1)请用“画树状图”或“列表”等方法写出上述实验中所记录球上标记的所有可能的结果; (2)若将记录结果(x,y)看成平面直角坐标系中的一点,求(x,y)是第二象限内的点的概率. 4.已知y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A(0,2)和B(﹣1,﹣4). (1)求此函数的解析式;并运用配方法,将此抛物线解析式化为y=a(x+m)2+k的形式; (2)写出该抛物线顶点C的坐标,并求出 CAO的面积. 5.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,且测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=25米,求旗杆AB的高度. 6.如图,在 ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F. (1)求证:DF⊥AC; (2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5 ,求阴影部分的面积. 7.如图,AF是 ABC的高,点D、E分别在AB、AC上,且DE||BC,DE交AF于点G,设AD=5,AB=15,AC=12,GF=6. (1)求AE的长; (2)求点A到DE的距离AG的长. 8.某公司在销售一种产品进价为10元的产品时,每年总支出为10万元(不含进货支出),经过若干年销售得知,年销售量y(万件)是销售单价x(元)的一次函数,并得到如下部分数据; 销售单价x(元) 12 14 16 18 年销售量y(万件) 7 6 5 4 (1)求出y关于x的函数关系式是 ; (2)写出该公司销售这种产品的年利润w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;当销售单价x为何值时,年利润最大? (3)试通过(2)中的函数关系式及其大致图象,帮助该公司确定产品的销售单价范围,使年利润不低于20万元(请直接写出销售单价x的范围). 思考题: 1.【材料阅读】阅读下列一段文字,然后回答下列问题. 已知平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),则这两点间的距离可用下列公式计算: MN=. 例如:已知P(3,1)、Q(1,﹣2),则这两点间的距离PQ== 【直接应用】 (1)已知A(2,﹣3)、B(﹣4,5),试求A、B两点间的距离; (2)已知 ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(﹣1,2)、C(4,2),你能判定 ABC的形状吗?请说明理由. 【深度应用】 (3)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2﹣4的图象与x轴相交于两点A、B,(点A在点B的左边) ①求点A、B的坐标; ②设点P(m,n)是以点C(3,4)为圆心,1为半径的圆上一动点,求PA2+PB2的最大值. 2.如图1,已知抛物线y=ax2﹣2x+1经过点A(9,10),交y轴于点B,直线BC||x轴,点P是直线BC下方抛物线上的动点. (1)直接写出抛物线的函数解析式为 ,点B的坐标为 、C的坐标为 ; (2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、BC分别交于点D、E,当四边形PBDC的面积最大时,求P点的坐标; (3)如图2,当点P为抛物线的顶点时,在直线BC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 九年级数学期末复习导学案(上) 8、统计与概率 一、基础练习 1.有8个数的平均数是11,另外有12个数的平均数是12,这20个数的平均数是( ) A.11.6 B.2.32 C.23.2 D.11.5 2.小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分,若依次按照2:3:5的比例确定成绩,则小王的成绩是( ) A.255分 B.84分 C.84.5分 D.86分 3.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图,那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( ) A.16,10.5 B.8,9 C.16,8.5 D.8,8.5 4.一组数据3,x,4,5,8的平均数为5,则这组数据的众数、中位数分别是( ) A.4,5 B.5,5 C.5,6 D.5,8 5.某科普小组有5名成员,身高分别为(单位:cm):160,165,170,163,167.增加1名身高为165cm的成员后,现科普小组成员的身高与原来相比,下列说法正确的是( ) A.平均数不变,方差不变 B.平均数不变,方差变大 C.平均数不变,方差变小 D.平均数变小,方差不变 6.已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据a﹣2,b﹣2,c﹣2的平均数和方差分别是( ) A.3,2 B.3,4 C.5,2 D.5,4 7.袋子中装有10个黑球、1个白球,它们除颜色外无其他差别,随机从袋子中摸出一个球,则( ) A.这个球一定是黑球;B.摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C.这个球可能是白球;D.事先能确定摸到什么颜色的球 8.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1至6六个数.连续掷两次,掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为( ) A. B. C. D. 9.某课外兴趣小组为了解所在地区的老年人的健康状况,分别作了四种不同的抽样调查,你认为抽样较合理的是( ) A.在公园调查了1000名老年人的健康状况 B.在医院调查了1000名老年人的健康状况 C.调查了100名小区内老年邻居的健康状况 D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 10.小欢为一组数据制作频数分布表,他了解到这组数据的最大值是40,最小值是16,准备分组时取组距为4.为了使数据不落在边界上,他应将这组数据分成( ) A.6组 B.7组 C.8组 D.9组 11.空气是由多种气体混合而成的.为了简明扼要地介绍空气的组成情况.较好地描述数据,最适合使用的统汁图是( ) A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图 D.直方图 12.下列成语描述的事件为随机事件的是( ) A.水涨船高 B.守株待兔 C.水中捞月 D.缘木求鱼 13.在不透明的布袋中,装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球,从中摸一个球,摸出1个黑球这一事件是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.确定事件 D.不可能事件 14.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为( ) A.20 B.24 C.28 D.30 15.甲乙两人玩一个游戏,判定这个游戏公平不公平的标准是( ) A.游戏的规则由甲方确定 B.游戏的规则由乙方确定 C.游戏的规则由甲乙双方商定 D.游戏双方要各有50%赢的机会 二、知识梳理 1.五个统计量(平均数,中位数,众数,极差,方差) (1)平均数的计算公式: ; (2)加权平均数的计算公式: ; (3)求中位数:先排序,后数数,奇取中间偶平均. (4)方差的计算公式: ;其中n是 (5)反映数据集中趋势的统计量是: ;反映数据离散程度的统计量是: ; 2.统计中,常通过 对 作出估计、推断,抽取样本时要注意样本的 和 ; 3.概率可以帮助我们解释现象、做出估价和决策 (1)事件包括 事件和 事件;其中 事件是指 、 ; 事件是指 ;随机事件发生的可能性的大小可用概率表示。 (2)概率的计算公式: ;其中m指 ; n指 。 (3)列举随机事件的所有等可能结果的方法有 和 。 三、典型例题 例1.下列7个事件中: ①掷一枚硬币,正面朝上. ②打开电视机,正在播电视剧. ③随意翻开一本有400页的书,正好翻到第100页. ④天上下雨,马路潮湿.⑤你能长到身高4米. ⑥买奖券中特等大奖.⑦掷一枚骰子的得到的点数小于8. 其中(将序号填入题中的横线上即可), 确定事件为: ;不确定事件为: ; 不可能事件为: ;必然事件为: ; 不确定事件中,发生可能性最大的是 发生可能性最小的是: . 例2.为了解学生参加户外活动的情况,和谐中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图,根据图示,请回答下列问题: (1)求被抽样调查的学生有多少人?并补全条形统计图; (2)每天户外活动时间的中位数是 小时? (3)该校共有1850名学生,请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人? 例3.市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如表: 选手 选拔成绩/环 中位数 平均数 甲 10 9 8 8 10 9 乙 10 10 8 10 7 9 (1)把表中所空各项数据填写完整; (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差; (3)根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加省比赛更合适,请说明理由. 例4.如图,小华和小丽两人玩游戏,她们准备了A、B两个分别被平均分成三个、四个扇形的转盘.游戏规则:小华转动A盘、小丽转动B盘.转动过程中,指针保持不动,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6,小华获胜.指针所指区域内的数字之和大于6,小丽获胜. (1)用树状图或列表法求小华、小丽获胜的概率; (2)这个游戏规则对双方公平吗?请判断并说明理由. 四、课堂检测 1.下列事件中,是确定事件的是( ) A.打开电视,它正在播广告 B.抛掷一枚硬币,正面朝上 C.367人中有两人的生日相同 D.打雷后会下雨 2.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中白球可能有( ) A.15个 B.20个 C.30个 D.35个 3.下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是( ) A.了解某班同学的身高情况 B.了解全市每天丢弃的废旧电池数 C.了解50发炮弹的杀伤半径 D.了解我省农民的年人均收入情况 4.在选取样本时,下列说法不正确的是( ) A.所选样本必须足够大 B.所选样本要具有普遍代表性 C.所选样本可按自己的爱好抽取 D.仅仅增加调查人数不一定能提高调查质量 5.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号是奇数的概率为( ) A. B. C. D. 6.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是( ) A. B. C. D. 7.小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2:3:5的比例确定成绩,则小王的成绩是 分. 8.有一组数据:2,a,4,6,7,它们的平均数是5,则这组数据的中位数是 . 9.一组数据8,8,x,10的众数与平均数相等,则x= . 10.在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是,则n= . 11.给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率是 . 12.为了调查滨湖区八年级学生期末考试数学试卷答题情况,从全区的数学试卷中随机抽取了10本没拆封的试卷作为样本,每本含试卷30份,这次抽样调查的样本容量是 . 13.为了了解某产品促销广告中所称中奖率的真实性,某人买了100件该商品调查其中奖率,那么他的做法是 (填“全面调查”或“抽样调查”). 14.为了估计鱼池里有多少条鱼,先捕上100条作上记号,然后放回到鱼池里,过一段时间,待有记号的鱼完全混合鱼群后,再捕上200条鱼,发现其中带记号的鱼20条,则可判断鱼池里大约有 条鱼. 15.小明用S2=[(x1﹣3)2+(x2﹣3)2+…+(x10﹣3)2]计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+…+x10= . 16.为了了解七年级同学每天的睡眠时间,在七年级的10个班中,每班抽5名学生做调查,这一调查中,总体是指 ,样本是指 . 17.已知在一个样本中,50个数据分别落在5个组内,第一、二、三、五组数据的个数分别为2,8,15,5,则第四组的频率是 . 18.一组数据1,2,a,4,5的平均数是3,则这组数据的方差为 . 53 学科网(北京)股份有限公司 $$