小升初典型应用题：巧求面积(专项训练)-2023-2024学年六年级下册数学 人教版

小升初典型应用题：巧求面积 1．是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是（ ）． 2．右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 3．人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加多少平方米？ 4．如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值． 5．如图，点E在AC上，点D在BC上，且AE：EC=2：3，BD:DC=1：2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积为22cm2，则三角形ABC的面积是多少？ 6．如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积． 7．右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 8．如下图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=BC．求阴影部分的面积． 9．数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 10．如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 11．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC．连结AF、CF、AF与BC交于点H，试求图中阴影部分的面积． 12．在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米． 13．在图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？ 14．如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于多少？ 15．如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？ 16．如图，求阴影部分的面积．(取3) 17．如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积． 18．是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？ 19．如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？ 20．如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积． 21．已知的面积为平方厘米，，求的面积． 22．如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（=3） 23．如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（取3） 24．如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 25．如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是多少？ 26．如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取) 27．下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF，FE，EC都等于3，CB，BD都等于4.求这个图形的面积. 28．如图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。 29．如图，在平行四边形中，已知三角形、的面积分别是73、100，求三角形的面积． 30．如图，在长方形ABCD中，三角形ADE的面积为20平方厘米，三角形BEF的面积为12平方厘米，求三角形CDF的面积是多少？ 31．四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积． 32．如图所示，正方形ABCD的边长为12，直角梯形CEFG的上底、下底和高分别为4、14和15．已知AH=9，求阴影部分面积． 33．如下图（1），在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积． 34．如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 35．一只狗被拴在底座为边长的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按计算) 36．如图所示，一块长方形草地，长16m，宽10m，中间有两条小路．一条是长方形，宽为2m，另一条是平行四边形：短边为2m．求草地（阴影部分） 的面积． 37．如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？ 38．如图，四边形的面积是66平方米，，，，，求四边形的面积． 39．如图，∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米．求阴影部分面积？ 40．如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为多少． 41．如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？ 42．在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积． 43．如下图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积． 44．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积． 45．如图所示，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心．求三块阴影部分的面积之和． 46．如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？ 47．正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 48．如下图，一个长方形分成6个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米．那么，长方形的面积是 平方厘米． 49．有正三角形，在边、、的正中间分别取点、、，在边、、上分别取点、、，使，当和、和、和的相交点分别是、、时，使． 这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程． 50．已知正方形的边长为10，，，则？ 51．如图所示的四边形的面积等于多少？ 52．如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为多少，三角形的面积为多少，三角形的面积为多少？ 53．图12a中的三角形纸片沿虚线折叠得出实线图形(见图12b)，其面积与原三角形面积之比为2∶3已知图12b中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积是多少？ 54．如图，ABCD是一个长为4，宽为3．对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向 旋转90，分别求出四边扫过图形的面积．（取3） 55．已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲︰S乙=1︰8，a与b是两个正方形的边长，求a︰b=？ 56．下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；请计算图中两个阴影图形的面积比． 57．在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接，求阴影部分面积。 58．图中正方形的面积为18.75平方厘米．在正方形内有两条平行于对角线的线段将正方形平均分成面积相等的三份．求图中的平行线段的长． 59．如图，正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积． 60．如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．34 【详解】 （法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为． （法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右图所示： 则有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以阴影部分的面积是： 即为：． 2．8 【详解】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 3．950平方米 【分析】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，据此可知，操场现在的面积是：（90＋10）×（45＋5）＝100×50＝5000（平方米），操场原来的面积是：90×45＝4050（平方米）。所以现在比原来增加：5000－4050＝950平方米。 【详解】（90＋10）×（45＋5）－（90×45） ＝100×50－4050 ＝5000－4050 ＝950（平方米） 答：现在操场面积比原来增加950平方米。 【点睛】分别求出操场现在的面积、操场原来的面积，是解答此题的关键。 4．14 【详解】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为： ． 四分之一大圆内的等腰直角三角形的面积为，所以阴影部分的面积为． 5．三角形ABC的面积是45 cm2． 【详解】连接CF，如图 设△ABC面积为s（cm2）．因为AE：EC=2：3，所以， 因为BD:DC=1：2，所以， 因为四边形DEFC的面积为22cm2，所以=（）=s-33 =（）=-44 因为+=，所以s-33+-44=22，所以s=45（cm2） 答：三角形ABC的面积是45 cm2． 本体利用比例关系，推导出相应的三角形面积比，最终求出答案． 6．等于 【详解】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等． 7．8 【详解】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 8． 【详解】连结DF．∵AE=ED， ∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED ∴S阴影=S△ABF=S△BFD ∵BD=BC, ∴S△BFD=S△BCF=(1-S△ABF), ∴S△ABF=(1-S△ABF), ∴S△ABF= 阴影部分面积为 9．87.5平方厘米 【分析】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。 【详解】10×15÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（平方厘米） 75＋12.5＝87.5（平方厘米） 答：空白部分的面积是87.5平方厘米。 【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键。 10．12平方厘米 【分析】图中阴影部分由两个三角形组成，分别求出两个三角形面积，再求和即可。小正方形边长是5厘米，大正方形边长是7厘米，所以可以得出阴影部分的两个三角形的底都是（7－5）厘米，左边三角形的高是小正方形边长，右边三角形的高是大正方形边长。代入公式计算即可。 【详解】由分析可得，阴影部分面积是： （7－5）×5÷2＋（7－5）×7÷2 ＝2×5÷2＋2×7÷2 ＝5＋7 ＝12（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是12平方厘米。 【点睛】解题关键是找准三角形对应的一组底边和高。 11．图中阴影部分的面积为4π平方厘米． 【详解】设正方形BEFG边长为a，由题可知 = =+a2+×a×（4-a）-×a×（4+a） =4π+ a2+2a--2a- =4π（cm2） 答：图中阴影部分的面积为4π平方厘米． 12．证明见详解． 【分析】这是一道抽屉原理应用于平面几何的题．我们知道苹果是28，“至少”是4，由抽屉原理的公式可以推出抽屉应该为9个． 【详解】证明：将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”有：28÷9＝3……1，则必有一个小正方形里（上）至少有3＋1＝4（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积最大为1平方米；若有一个点落在正方形的内部，则面积将小于1平方米，综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米． 13．9 【详解】长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和. 长-宽=15-11＝4 是“三”正方形的边长. 宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此 中间小正方形边长=11-4×2＝3. 中间小正方形面积=3×3＝9. 答：中间小正方形面积是9． 14． 【详解】根据题意可知，，所以，． 15．717 【详解】 由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大． 由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示． 容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大． 长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即与相等时它们的积最大，此时长方形的面积也最大，所以此时三角形面积最小． 当与相等时，，此时三角形的面积为：．(也可根据得到三角形的面积) 16．6 【详解】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了． 阴影部分面积小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积 6 17．5 【详解】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则，， 所以，阴影部分面积为． 18．3 【详解】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以． 19． 【详解】分层次来考虑： ⑴如下左图，，， 所以． 又因为，， 所以； ． ⑵如右上图，已知，；所以； 所以，即是三等分点； 同理，可知、、都是三等分点； 所以再次应用⑴的结论，可知，． 20．50平方厘米 【分析】共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【详解】 连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米． 21．24 【详解】， 设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米 22．730平方米 【分析】首先确定两条狼狗的活动范围，利用加减法把活动范围为一个菱形+两个半圆，两个半圆即一个整圆．    实际绿化面积=大圆面积-（菱形+小圆面积+2×哨所面积） 【详解】解：可以看出菱形面积为2倍的哨所面积，菱形面积=2×42.5=85      实际绿化面积=×20×20-（85+×10×10+2×42.5）                  =1200-（85+300+85）                  =1200-470=730（平方米） 【点睛】本题属于活动范围题，注意确定狼狗的活动范围为两个5/6圆减去其重合部分，即一个菱形+一个圆，另外哨台也是未绿化部分，注意以上两点本题就不难求解． 23．18平方厘米 【详解】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成，即两半圆加扇形环． 扇形面积可由半径为4+2、圆心角为90度的大扇形减去半径为4、圆心角为90度的小扇形． 第一部分是半径为6厘米、中心角为90度的扇形减去半径为4厘米、中心角为90度的扇形，面积为；第二部分是半径为1厘米的2个半圆，总面积是3．所以扫过的面积为15+3=18平方厘米． 24．6.5 【详解】 方法一：连接对角线． ∵是长方形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以 25．1：2 【详解】 方法一：连接． 设的面积为1， 的面积，则根据题上说给出的条件，由得， 即的面积为、; 又有，、，而； 得，所以． 方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以 方法三：过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比 26．39.25 【详解】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 27．21.6 【详解】三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18 三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12 这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出. 因为AF＝FE＝EC＝3，所以 AGF， FGE，EGC是三个面积相等的三角形. 因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形. 2×三角形DEC面积 =2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积） 三角形ABC面积 =（三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积） 四边形BCEG面积 =（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积） =（2×12＋18）÷5 ＝8.4 所求图形面积=12＋18- 8.4＝21.6 28．53 【分析】用正方形的面积减去四个空白三角形的面积进行解答。 【详解】 四个空白三角形的面积是： [（b＋2）a＋（8－b）（a＋3）＋（7－a）（10－b）＋（10－a）b]÷2 ＝[ab＋2a＋8a＋24－ab－3b＋70－7b－10a＋ab＋10b－ab]÷2 ＝94÷2 ＝47 阴影部分的面积是 10×10－47 ＝100－47 ＝53 答：阴影部分的面积是53。 【点睛】本题的关键是用在正方形的面积减去四个空白三角形的面积。 29．27 【详解】+= 30．32平方厘米 【分析】三角形ABD的面积是长方形ABCD的面积的一半，三角形CDE的面积是长方形ABCD的面积的一半；所以，三角形ABD的面积＝角形CDE的面积；三角形ADE的面积＋三角形DEF的面积＋三角形BEF的面积＝三角形ABD的面积，三角形CDF的面积＋三角形DEF的面积＝三角形CDE的面积；因为三角形ABD与三角形CDE共同拥有三角形DEF，所以，三角形CDF的面积＝三角形ADE的面积＋三角形BEF的面积。 【详解】20＋12＝32（平方厘米） 答：三角形CDF的面积是32平方厘米。 【点睛】此题考查三角形面积的运用，抓住三角形ABD的面积与三角形CDE的面积相等，并且两个三角形共同拥有三角形DEF，由此可以将三角形CDF的面积替换为三角形ADE的面积加三角形BEF的面积。 31．13/6 【详解】 如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形． 假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为． 由于，，所以与三角形的面积之比为． 同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为． 32．133.5 【详解】正方形ABCD的面积为144，题型CEFG的面积为，三角形HBC的面积为，三角形AHD的面积为，三角形DGF的面积为，三角形CEF的面积为，则阴影部分的面积为． 33．8 【详解】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为 ． 34．15 【详解】 连接． ∵ ∴ 又∵ ∴，∴． 35．43.96 【详解】 如图所示，羊活动的范围是一个半径，圆心角300°的扇形与两个半径，圆心角120°的扇形之和．所以答案是． 36．112平方米 【详解】16-2=14（米） 10-2=8（米） 14×8=112（平方米） 答：草地面积是112平方米． 37．12.5平方厘米 【详解】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份， 份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米 38．平方米 【详解】 连接．设 ∵， ∴，   又∵， ∴，   同理，     ∴   连接AC，同理 ∴，   （平方米）． 39．（平方厘米） 【详解】连接AO，AB，作BC的垂线AD交BC于D S△ABC=S△ABE 则∠ACO=∠OAC=15° ∴∠ACO=150°, ∠AOB=30° 即圆的半径为10 ∴=102×3.14×= =5 所以 阴影部分面积=50-（-25）=（平方厘米） 40．33 【详解】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形EFGH面积为33． 41．128 【详解】 连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米. 42．15 【详解】 （法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米． （法2）连接、． 由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米． 43．9.12 【分析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积． 【详解】 解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分． 则阴影部分的面积为π42-4×4=9.12； 解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积， 所以阴影部分面积． 44．50平方厘米． 【分析】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米． 【详解】解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）． 平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）． 答：平行四边形的面积为50平方厘米． 45．157平方厘米 【分析】阴影部分是由三块面积相等的图形组成的，但是每一块都是不规则图形，若用常规思路分析比较难以计算．但是根据图形的对称性，利用分割和移补的方法，将之转化为下图，这样可以看出阴影部分被分割移补成一个规则的图形——半圆形． 【详解】经过分割移补，阴影部分被拼成上图的半圆形，所以阴影部分的面积是 答：阴影部分的面积是157平方厘米． 46．12.5 【详解】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份， 份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米 47．2.25 【详解】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积(平方厘米)． 48．60 【详解】仔细观察，红色的两个三角形的面积和应该是整个长方形面积的一半．所以黄色三角形的面积占长方形面积的（50%-15%）=35%，又由于黄色三角形的面积是21平方厘米，所以长方形的面积是． 49． 【详解】连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵． 连，由对称性知，．因此，． 同理，． 所以，． 50．53 【详解】 如图，作于，于． 则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以． 51．144 【分析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积。 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为12的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形ODC的位置。这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积。 【详解】由分析可得原来四边形的面积为：12×12＝144。 【点睛】此题考查不规则图形面积的计算方法，解题关键是通过图形中一部分的旋转转换成常见的正方形。 52．，， 【详解】 连接、、． 由于，所以，故； 根据燕尾定理，，，所以 ，则，； 那么； 同样分析可得，则，，所以，同样分析可得， 所以，． 53．1 【分析】要解此种类型的题要有清晰的头脑，准确把握每个图形的关系，或者用列方程的方法也可以求解． 【详解】解法一：因为三个画阴影的三角形的面积是1，而由已知条件折叠后的图形的面积是原三角形的面积的，面积减少了原三角形面积的．而减少的面积，恰为图中重叠部分的面积，即重叠部分的面积是原三角形面积的． 因为原三角形的面积=三个阴影三角形的面积+两个重叠部分的面积，而两个重叠部分的面积是原三角形面积的，所以三个阴影三角形的面积是原三角形面积的，从而原三角形的面积为，因此重叠部分的面积为． 解法二：设重叠部分的面积是x，因此图12b中粗实线图形面积为x+1，原三角形的面积是：2x+1，根据题意，可列方程得 答：重叠部分的面积为1． 【点睛】恰当运用一些基本图形的基本性质有时可以使解题变得方便、快捷，而如何在关键的地方添上合适的辅助线，要靠多接触各种不同类型的题来提高水平，也要多进行试探． 54． 【详解】要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形． 分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如图：          因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米，BC边扫过图形的面积为平方厘米． 2、研究AB边的情况． 在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线 段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：   下面来求这部分的面积． 观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是： 扇形ACA,面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB,面积+三角形A,B,C,面积＝扇形ACA,面积一扇形BCB,面积   ； 3、研究AD边扫过的图形． 由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示： 用与前面同样的方法可以求出面积为： 【点睛】本题是祖冲之杯竞赛的一道试题． 旋转图形的关键，是先从整体把握一下“变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就“藏”在那儿，一定会有．我们可以作进一步的思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的． 55．1:2 【详解】应用燕尾定理． 如图， 根据燕尾定理： S△AOF︰ S△AOE=b︰a （1）， S△AOF︰ S△FO E=a︰b （2） 所以 S△AOE ︰ S△FOE=a2︰b2 作OM⊥AE，ON⊥EF， ∵AE=EF， ∴OM︰ON= a2︰b2 ∴S△AOD︰ S△HOF=a3︰b3=1︰8 ∴a︰b=1︰2 56．3:2 【详解】左图阴影可用加减法 即正方形面积减去4个边上的三角形面积．右图阴影面积可先看小正方形里的阴影面积为2个小三角形面积之和，而每个小三角形面积恰好是它所在直角三角形面积的三分之二，只要求出直角三角形面积，阴影面积便不难求出了，直角三角形面积为大正方形面积的十六分之一． 左图阴影面积=正方形面积-4个等腰三角形面积 =1×1-4×××1=1-= 右图阴影面积=8个小三角形面积 =8×（×××） =8×= 所以 左：右=：=3：2 57．15平方厘米 【分析】连接PA，PC，△PDA与△PBC的面积等于正方形ABCD面积的，这两个三角形中的阴影部分又分别是这两个三角形面积的，这两个阴影之和是正方形面积的；同理，△PAB与△PCD的面积等于正方形ABCD面积的，这两个三角形中的阴影部分又分别是这两个三角形面积的，这两个阴影之和是正方形面积的．据此即可求出求阴影部分面积 【详解】 连接、。由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为： ＝ ＝15（平方厘米） 答：阴影部分面积为15平方厘米。 【点睛】本题关键是连接PA，PC，把正方形分成四个三角形，在灵活应用三角形面积计算公式就可以算出阴影部分面积。 58．5厘米 【详解】试题分析：从图中可以知道，两条平行线恰好将正方形分出两个相等的等腰直角三角形（即两块阴影部分）．由已知条件，每一块阴影（即一个等腰直角三角形）的面积S可求．但无法求得这个等腰直角三角形的斜边（也就是我们要求的平行线段的长）．但用四个这样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，而这个正方形的边长恰好为我们所求的平行线段的长，下面只要求出这个正方形的面积就可以了． 解：如图所示， S=×18.75=6.25（平方厘米）， 正方形面积S=4×6.25=25=5×5， 所以两条平行线段的长都是5厘米； 答：图中的平行线段的长是5厘米． 点评：解答此题的关键是求出S的面积，进而组成正方形，问题即可得解． 59． 【详解】构造梯形蝴蝶定理．       ∵梯形AMCB中各个三角形面积比即S△AMG： S△AGB： S△MCG： S△GCB=1︰2︰2︰4 ∴阴影面积占梯形面积（2+2）/（1+2+2+4）=        ∴ 解法二：连结、，设与交于，． ∵ ∴ 又∵ ∴==x ∴ ∴ 得，又，所以，． ∴． 解法三：做 则，，， 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解法四：∵与等底等高 ∴ ∴ 作， 设 ∴ 解法五： ∵           ∴ ∴ ∵ ∴== ∴+=+= 60．40 【详解】 连接，． 根据题意可知，；； 所以，，，，， 于是：；； 可得．故三角形的面积是40． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$