小升初典型应用题：牛吃草问题(专项训练)-2023-2024学年六年级下册数学 人教版

小升初典型应用题：牛吃草问题 1．牧场上一片牧草，可供24头牛吃6周，或者可供18头牛吃10周，假定草的生长速度不变，那么可供15头牛吃几周？ 2．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？ 3．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？ 4．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？ 5．日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？ 6．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 7．一个小水库的存水量一定，河流均匀流入库内．5台抽水机10天可以把水抽干；6台抽水机8天可以把水抽干．若要4天抽干，需要同样的抽水机多少台？ 8．因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少．已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？ 9．东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？ 10．早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客。现要求5分钟放完，需设立几个检票口？ 11．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜．问井深是多少？ 12．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶． 13．22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完．问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？ 14．春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等） 15．食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？ 16．2022年2月4日是北京冬奥会开幕的日子，很多观众在检票之前就已经排队等候。设每分钟来的观众一样多，从开始检票到等候检票的队伍全部入园，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟，为了使15分钟内检票队伍全部入园，至少需要开多少个检票口？ 17．有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）。如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排光。问要想在4.5小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？ 18．一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干．那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 19．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？ 20．有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 21．牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么可供多少头牛吃5天？ 22．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 23．有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？ 24．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽．如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 25．广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？ 26．120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 27．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供137.5亿人生活112.5年，或可供112.5亿人生活262.5年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少亿人？ 28．红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？ 29．一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？ 30．17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？（假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长） 31．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 32．现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘．若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干．问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？ 33．青青一牧场 青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光． 改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？ （注：“廿”的读音与“念”相同．“廿”即二十之意．） 这道诗题，是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的．牛顿是英国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述．他曾写过一本书，名叫《普遍的算术》，“牛吃草问题”就编写在这本书中．书中的这道题目翻译过来是： 一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完．若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的．） 34．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 35．一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入。当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空。如果打开7个出水口，18小时可以把水排空。如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过多少时间水池刚好被排空？ 36．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入。为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部队要求在2.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？ 37．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 38．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 39．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？ 40．一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完．问多少头牛5天可以把草吃完？ 41．一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天。如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？ 42．整片牧场上的草长得一样密，一样地快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天．如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？ 43．由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门？ 44．一牧场上的青草每天都匀速生长．这片青草可供27头牛吃6周，或可供23头牛吃9周．那么，可供21头牛吃几周？ 45．有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了台抽水机，这样比原计划节省了小时。工程师们测算出，如果最初调来台抽水机，将会比原计划节省小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下多少台抽水机？ 46．牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？ 47．某商场八时三十分开门，但早有人来等候。从第一个顾客来到时起，每分钟来的顾客数一样多。如果开三个入口，八时三十九分就不再有人排队：如果开五个入口，八时三十五分就不再有人排队。那么，第一个顾客到达时是几点几分？ 48．有一片牧场，草每天都在均匀的生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完．那么： （1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛； （2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 49．一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完。假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完？ 50．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级台阶？ 51．有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？ 52．某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开5个检票口，要30分钟，开6个检票口，要20分钟．如果要在10分钟消失，要开多少个检票口？ 53．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？ 54．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？ 55．有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？ 56．科技馆9点营业，每分钟来的人数相同．如果开5个窗口，则9点5分可无人排队；如果开3个窗口，则9点9分可没有人，求8点几分第一个游客到？ 57．8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，2头牛和2只羊每天共吃青草44千克，李大爷养了6头牛和1只羊每天要准备多少千克的青草？ 58．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几天？ 59．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．15周 【分析】设1头牛1周吃1份草，根据题中的两种情况，分别求出原草量和草的增长速度，然后再考虑第三种情况。 【详解】解：设1头牛1周吃1份草； （份/周） （份） 设15头牛可以吃x周； 答：可供15头牛吃15周。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，也可以列方程组进行求解。 2．10分钟 【详解】试题分析：此题可以用牛吃草的算法进行解答． 设1个水管1分钟注入水池的水量为1，则蓄水池1分钟注入水池的雨水量为： （24×5﹣12×8）÷（8﹣5）=8．一分钟雨水下的就是8个单位的量，也就是相当于8个水管同时注水的量． 然后水池的总量是24×5+8×5=160，下雨量相当于8个水管的注水量，所以每分钟注水总量是8+8=16，然后160÷（8+8）=10分钟，据此解答即可． 解：①设1个水管1分钟注入水池的水量为1，则蓄水池1分钟注入水池的雨水量为： （24×5﹣12×8）÷（8﹣5）=8 ②水池的总量是：24×5+8×5=160 ③下雨量相当于8个水管的注水量，所以每分钟注水总量是 8+8=16 160÷（8+8）=10（分钟） 答：如果打开8根进水管，10分钟能将水池注满． 点评：此题的解法是把工程为题转化成牛吃草问题来解答，很好理解．所以希望同学们在今后的学习中，遇到问题可灵活处理． 3．750米/分 【分析】通读题意，由两个未知量，即骑人的速度、汽车出发时骑车人与A点的距离．只要求出这个两个未知量，便可解答本题。先求出快车与慢车的距离；再求出汽车人的速度，然后求出快车出发时与骑车人的距离，即可求出中速车速度。 【详解】（1）快车与慢车的距离为： （800－600）×7 ＝200×7 ＝1400（米）； （2）骑车人的速度： 600－1400÷（14－7） ＝600－1400÷7 ＝600－200 ＝400（米）； （3）快车出发时与骑车人的距离： （800－400）×7 ＝400×7 ＝2800（米）； （4）中速车速度： 400＋2800÷8 ＝400＋350 ＝750（米） 答：中速车的速度是750米。 【点睛】此题巧妙地安排了三个追及事件，需要考生灵活获取信息。 4．解：设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，每天增长为z； 根据题意可得： ， ③﹣①得到y=z； 代入①②可得： ， ， 解得：； 牛马羊一起每天吃：（x+y+x+y）=（+++）=； 设牛马羊一起吃可以吃t天； 可得： ×t=1+t， ×t﹣t=1， t=1， t=36． 答：马、牛、羊一起吃，需36天． 【详解】牛吃草问题 根据题意，把原来的草看作单位“1”，设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，草每天增长为z；那么牛、马吃需要45天吃完， 即：45（2x+y）=1+45z；马、羊吃需要60天吃完，即60（x+2y）=1+60z；牛、羊吃需要90天吃完，即90（x+y）=1+90z； 然后列出方程组进行解答即可． 5．8根 【分析】根据已知条件“打开6根水管15分钟可将池内的水放干，若同时打开7根水管12分钟可将池内的水放干”可求出每分钟的进水量和池内原有的水量，然后求出问题的解。 【详解】解：设一根出水管每天放出的水量为1： ①6根出水管15分钟的出水量为： 6×15﹦90 ②7根出水管12分钟的出水量：7×12＝84 ③一根进水管每分钟的进水量： （90－84）÷（15－12） ＝6÷3 ＝2 ④池内原有水量： 90－2×15 ＝90-30 ＝60 或84－2×12 ＝84-24 ＝60 ⑤出水管的根数： （60＋2×10）÷10 ＝（60＋20）÷10 ＝80÷10 ＝8（根） 答：这个水池装有8根出水管。 【点睛】解答本题问题的关键是从变化中找到不变的量：每分钟的进水量和池内原有的水量。 6．4天 【分析】此题相当于“牛吃草问题”，开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为（160×10－250×6）÷（10－6）＝25，原有砖的数量为：250×6－6×25＝1350。果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350－950＝400原有的砖未用，变成120＋5＝125人来砌砖，还需要：400÷（125－25）＝4（天）。 【详解】设1名工人1天砌砖数量为1。 则每天运来的砖： （160×10－250×6）÷（10－6） ＝100÷4 ＝25 原有砖数： 250×6－6×25 ＝1500－150 ＝1350 120名工人砌10天后还剩的砖︰ 1350－120×10＋10×25 ＝1350－1200＋250 ＝400 400÷（120＋5－25） ＝400÷100 ＝4（天） 答∶还需要4天可以把砖用完。 【点睛】牛吃草问题的基本公式是：生长量＝（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量。灵活运用公式解题，是解答本题的关键。 7．11台 【分析】设一台抽水机一天抽水量为1份，则5台抽水机10天抽的水量为5×10=50（份）；6台抽水机8天抽的水量为6×8=48（份）从图上可以看出，5台抽水机10天抽水量与6台抽水机8天抽水量的差恰好是10－8=2（天）河水流入的量． 【详解】解：河水每天流入水库的水量为：（5×10－6×8）÷（10－8）=1(份) 水库原有水量为：5×10－1×10=40（份） 4天抽干水库需要的抽水机台数：（40+1×4）÷4=11（台） 答：若要4天抽干，需要同样的抽水机11台． 8．6头 【分析】根据题意，设每头牛每天吃草量为1份。33头牛5天的吃草量为（33×5）份，24头牛6天的吃草量为（24×6）份，两种方式相差（33×5－24×6）份，再除以相差的天数（6－5）天，求出牧场上的草每天减少的量； 再用33头牛5天的吃草量加上草5天减少的量，求出牧场上原有的草量； 最后用原有的草量减去10天减少的草量，再除以10天，即可求出这个牧场可供几多少头牛吃10天。 【详解】设每头牛每天吃草量为1份。 每天草的减少量： （33×5－24×6）÷（6－5） ＝（165－144）÷1 ＝21÷1 ＝21（份） 原有草量： 33×5＋21×5 ＝165＋105 ＝270（份） 可供吃10天的牛有： （270－21×10）÷10 ＝（270－210）÷10 ＝60÷10 ＝6（头） 答：这个牧场可供6头牛吃10天。 【点睛】本题考查牛吃草问题，关键是求出草每天减少的数量和原有的草量。 9．99头 【分析】设每头牛每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16＝288份，而27头牛吃8天共27×8＝216份，多出来288－216＝72份就是16－8＝8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288－9×16＝144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的3倍，所以现在草有144×3＝432份，每天长9×3＝27份，这样每天新长的草要27头牛吃，而原来的草要吃6天，要432÷6＝72头牛，所以总共要：72＋27＝99头牛。 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 18头牛    16天    18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量 27头牛     8天    27× 8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量 从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量是： 288－216＝72 所以1天生长草量是72÷8＝9； 那么2000平方米的牧场上原有草量： 288－16×9 ＝288－144 ＝144 或216－8×9 ＝216－72 ＝144 则6000平方米的牧场1天生长草量是： 9×（6000÷2000） ＝9×3 ＝27； 原有草量： 144×（6000÷2000） ＝144×3 ＝432 6天里，西侧草场共提供草： 432＋27×6 ＝432＋162 ＝594 可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。 答：可供99头牛吃6天。 【点睛】牛吃草问题关键是求出原来牧场中草的份数和草每天生长的份数。 10．11个 【详解】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客。 ①1分钟新来多少个单位的旅客 ＝4÷8 ＝ ②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， 4×15－×15 ＝60－ ＝52 ③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 52＋×5 ＝52＋ ＝55 ④设立几个检票口 （个） 11．150分米 【详解】蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10（分米）． 井深：﹙20+10﹚×5=150（分米） 12．60级 【详解】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为： “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）． 13．35头 【详解】解：设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份， 54×（22-33y）=33x，① 84×（17-28y）=28x，② 把方程①②联立，解得：y=0.5，x=9 那么：（40×9+0.5×40×24）÷24=360÷24+20=35（头）； 答：40亩草地可供35头牛食用24天． 【点睛】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量． 14．7台 【分析】根据已知条件“用3台同样的抽水机抽6天水量刚好充足，用4台这样的抽水机抽4天水量刚好充足”可求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，然后求出问题的解。 【详解】解：设每台抽水机每天的抽水量为1份。 每天的蒸发量： （3×6-4×4）÷（6-4） =（18-16）÷2 =2÷2 =1（份） 养殖厂需要的水量： 3×6-1×6=12（份） 2天内把水抽干需要抽水机的台数： （12+2×1）÷2 =（12+2）÷2 =14÷2 =7（台） 答：要在2天内把水量抽足，需要7台抽水机。 【点睛】求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，是解答本题的关键。 15．6天 【分析】开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”。设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为：（4×40－5×30）÷（40－30）＝1，原有面粉量为：（5－1）×30＝120。如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩[120－30×（4－1）]，即30，未加工，而后变成6名工人，还需要 [30÷（6－1）] 天可以加工完。 【详解】设1名工人1天用掉面粉的量为“1”， （4×40－5×30）÷（40－30） ＝（160－150）÷10 ＝10÷10 ＝1 （5－1）×30 ＝4×30 ＝120 120－30×（4－1） ＝120－30×3 ＝120－90 ＝30 30÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（天） 答：还需要6天加工完。 【点睛】本题主要考查了“牛吃草问题”，解答本题的关键是：求出开工后每天运进的面粉量和开工前运进的面粉量。 16．14个 【分析】假设每分钟每个检票口检票1人。根据乘法的意义，用1×8×60即可求出60分钟检票的总人数，用1×10×30即可求出30分钟检查的总人数，根据除法的意义，用60分钟检票的总人数减去30分钟检查的总人数，除以（60－30）分钟，即可求出每分钟增加的人数，即6人，再用60分钟检票的总人数－60分钟×每分钟增加的人数即可求出开始检票前排队的人数；如果15分钟内要检查完，则15分钟×每分钟增加的人数＋开始检票前排队的人数即可求出总人数，已知每分钟每个检票口检票1人，则15分钟每个检票口检查15人，用总人数除以15，即可求出检票口的总个数。 【详解】假设每分钟每个检票口检票1人， 每分钟增加的人数：（1×8×60－1×10×30）÷（60－30） ＝（480－300）÷（60－30） ＝180÷30 ＝6（人） 开始检票前排队的人数：1×8×60－60×6 ＝480－360 ＝120（人） （15×6＋120）÷15 ＝（90＋120）÷15 ＝210÷15 ＝14（个） 答：至少需要开14个检票口。 【点睛】本题考查了牛吃草问题，可用假设法解决问题，求出每分钟增加量和开始检票前的数量是解答本题的关键。 17．需同时打开6根出水管 【分析】假设打开一根出水管每小时可排水“1份”，那么8根出水管开3小时共排出水8×3＝24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6＝30（份）；两种情况比较，可知3小时内进水管放进的水是30－24＝6（份）；进水管每小时放进的水是6÷3＝2（份）；在4.5小时内，池内原有的水加上进水管放进的水，共有8×3＋（4.5－3）×2＝27（份）；由此解答即可。 【详解】假设打开一根出水管每小时可排出水“1份”，8根出水管开3小时共排出水8×3＝24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6＝30（份）。 30－24＝6（份） 这6份是“6－3＝3”小时内进水管放进的水。 （30－24）÷（6－3） ＝6÷3 ＝2（份） 这“2份”就是进水管每小时进的水。 [8×3＋（4.5－3）×2]÷4.5 ＝[24＋1.5×2]÷4.5 ＝27÷4.5 ＝6（根） 答：需同时打开6根出水管。 【点睛】此题属于牛吃草问题，解答关键是把打开一根出水管每小时可排水“1份”，进一步分析推理求解。 18．5小时 【详解】设一台抽水机一小时抽水一份．则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时 19．9天 【详解】略 20．42头 【分析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260份，所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每亩面积长84﹣60=24份；则每亩面积每天长24÷15=1.6份．所以，每亩原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃． 【详解】解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60； 每亩45天的总草量为：28×45÷15=84； 那么每亩每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6； 每亩原有草量为：60﹣1.6×30=12； 那么24亩原有草量为：12×24=288； 24亩80天新长草量为24×1.6×80=3072； 24亩80天共有草量3072+288=3360； 所以有3360÷80=42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 21．25头 【分析】设一头牛一天的吃草量为1份，则10头牛20天吃草的量为10×20=200（份）；15头牛10天吃草的量为15×10=150（份）从图上可以看出，10头牛20天吃草的量与15头牛10天吃草的量的差恰好是20－10=10（天）新生长的草量． 【详解】解：每天新生的草量为：（10×20－15×10）÷（20－10）=5(份) 牧场原有草量为：10×20－5×20=100（份） 供吃5天的牛的头数：（100+5×5）÷5=25（头） 答：可供25头牛吃5天． 22．5根 【分析】根据题意，设出1根出水管每小时的排水量为1份，先求出进水管每小时的进水量，在求出蓄水池原有水量，由此问题可以解决。 【详解】设根排水管小时排水为“”份， 进水速度为： （3×18－8×3）÷（18－3） ＝（54－24）÷15 ＝30÷15 ＝2（份） 原有水量为： （8－2）×3 ＝6×3 ＝18（份） 如果想要在小时内将池中的水全部排光，最少要打开： 18÷8＋2 ＝2.25＋2 ＝4.25（根） 根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。 答：最少要打开5根出水管。 【点睛】本题属于牛吃草问题，只要求出进水管每小时的进水量是解题的关键。 23．天 【分析】根据题目给出的两种情况，可以求出1200平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后可以求出3600平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后再考虑3600平方米的牧场可供75头牛吃多少天。 【详解】设一头牛一天吃1份草； 10头牛20天，10×20＝200，原有草量＋20天生长的草量， 15头牛10天，15×10＝150，原有草量＋10天生长的草量， 从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50， 即1天生长草量＝50÷10＝5； 那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。 则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15； 原有草量：100×（3600÷1200）＝300。 75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完。 答：可供75头牛吃5天。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，求出原草量和草的增长速度是求解问题的关键。 24．12天 【分析】摘录条件： 27头    6天    原有草+6天生长草 23头    9天    原有草+9天生长草 21头    ？天   原有草+？天生长草 解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化．设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45．为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？ 【详解】第一次吃草量27×6=162 第二次吃草量23×9=207 每天生长草量45÷3=15 原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72 21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天） 25．9个 【分析】等候检票的旅客人数在变化，旅客相当于草，检票口相当于牛，可以用牛吃草的问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 【详解】解：设一个检票口1分钟检票人数为1份。 每分钟新来的旅客： （5×30-20×6）÷（30－20） =（150-120）÷10 =30÷10 =3（份） 原有旅客数： 5×30-3×30 =150-90 =60（份） ③要使等候的队伍10分钟消失需要的检票口数：（60+10×3）÷10=9（个） 答：需要同时开9个检票口。 【点睛】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 26．360头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草． 120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草； 210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草； 每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份． 如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份， 126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天． 27．93.75亿人 【详解】要求地球上最多能养活多少人？就是使人类不断繁衍增长的人口的速度等于地球上新生成的资源的增长速度，所以要求出地球上一年新生的能源是多少？因为地球上新生成的资源的增长速度是一定的，所以可用（137.5亿人生活112.5年的总份数-112.5亿人生活262.5年的总份数）÷（两者的年数差）=一年新生的能源总份数． 解：设一亿人一年消耗的能源是1份． 那么一年新生的能源是： （262.5×112.5-137.5×112.5）÷（262.5-112.5） =112.5×（262.5-137.5）÷（262.5-112.5） =14062.5÷150 =93.75（份） 要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：93.75÷1=93.75（亿人）． 答：地球上最多能养活93.75亿人． 28．126天 【分析】为解决这个问题，只需要将三块草地的面积统一起来，求5、15、36的最小公倍数180， 因为5公顷草地可供12头牛吃28天，180÷5=36，所以180公顷草地可供12×36=432头牛吃28天，因为15公顷草地可供21头牛吃63天，180÷15=12，所以180公顷草地可供21×12=252头牛吃63天，因为180÷36=5，所以180公顷草地可供5×36=180头牛吃多少天，因为草地面积相同，所以原题可变为：“一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？” 【详解】解：由分析知，本题可转化为：一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？ 设1头牛一天吃的草为1份 ①每天新长出的草量： （252×63-432×28）÷（63－28） =（15876-12096）÷（63－28） =3780÷35 =108（份） ②牧场原有草量： 252×63-108×63 =15876-6804 =9072（份） ③可供180头牛吃的天数： 9072÷（180－108） =9072÷72 ﹦126（天） 答：第三块草地可供36头牛吃126天。 【点睛】解答此题的关键是将三块草地的面积统一起来，将复杂的题变为简单的基本类型的题目进行解答即可。 29．12天 【分析】设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 马和牛          15天    15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1） 马和羊          20天    20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2） 牛和羊（同马）  30天    30天马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3） 由（1）×2－（3）可得：30天牛吃草量＝原有草量÷牛每天吃草量＝原有草量÷30； 由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量； 将分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝。 这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋）＝12（天）。 【详解】20÷30＝ 20÷（1＋） ＝20÷1 ＝12（天） 答：现在让马、牛、羊一起去吃草，12天可以将这片牧草吃尽。 【点睛】此题属于典型的牛吃草问题，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。 30．头 【分析】由于三种情况下草地的大小是不一样的，那么原草量和草的增长量都是不同的，这里需要进行转化，求出每公亩牧场每天的牧草生长量，以及每公亩牧场的原草量，然后再考虑多少头牛吃40公亩的草，24天可吃完。 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草。每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份。 如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天。 答：35头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完。 【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当多块草地的面积不一样时，需要求出单位面积的增长量及单位面积的原草量。 31．10天 【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。求出每天新长出草的量。再将某一组的用草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。解题时把羊转化成牛或把牛转化成羊。 【详解】先把120只羊和32只羊转换成牛：120÷4=30（头） 32÷4=8（头） 设每头牛每天吃草量为1份。 每天新生长的草量：（30×20-36×15）÷（20-15） =（600-540）÷5 =60÷5 =12（份） 这片牧草原有草量： 36×15-12×15=360（份） 40头牛和32只羊一共吃的天数： 360÷[（40+8）-12] =360÷[48-12] =360÷36 =10（天） 答：这片牧场可供40头牛和32只羊一起吃10天。 【点睛】本题是较为复杂的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。 32．12台 【详解】解：设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位．若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台． 33．12个星期 【分析】因为27头6星期草料=27×6=162头一星期草料 23头9星期草料=23×9=207头一星期草料 而这一牧场6星期吃完与9星期吃完，草料数量要相差207—162=45（头牛吃一星期的草料） 这多出的草料，便是9—6=3（个星期之内新长出的草料） 所以，一个星期新长出的草料便是45÷3=15（头牛吃一星期的草料） 进而可知，这牧场最初的草料数量就是（27—15）×6=72（头牛吃一个星期的草料） 现在，有21头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料，这就只剩下：21-15=6（头牛） 去吃最初已经长成的草料了．所以，21头牛来吃这牧场的草料，全部吃光所需要的时间就是72÷6=12（个星期） 【详解】[27-（23×9—27×6）÷（9—6）]×6÷[21-（23×9—27×6）÷（9—6）] =[27-45÷3]×6÷[21-45÷3] ＝12×6÷6 =12（个星期） 答：21头牛要12个星期才可以吃完． 34．48只 【详解】试题分析：根据“一头牛一天的吃草量等于3只羊一天的吃草量，”那么36只羊的吃草量就等于（36÷3）12头牛的吃草量； 设每头牛每天吃草1份，根据“18头牛吃40天，或供12头牛与36只羊吃25天，即12+12=24头牛吃25天”可以求出草每天生长的份数：（18×40﹣24×25）÷（40﹣25）=8（份）；再根据“18头牛吃40天，”可以求出草地原有的草的份数：（18﹣8）×40=400（份）；由于草每天生长8份，可供16天吃完，需要牛的头数是（400+8×16）÷16=33（头），然后减去17头牛，得到的差转化成羊的只数即可；问题得解． 解：设每头牛每天吃草1份，把36只羊转化为牛的头数为： 36÷3=12（头） 草每天生长的份数： 18×40﹣24×25）÷（40﹣25） =120÷15 =8（份） 草地原有的草的份数： （18﹣8）×40=400（份） 16天吃完，需要牛的头数是： （400+8×16）÷16=33（头） （33﹣17）×3 =16×3 =48（只） 答：这片草地让17头牛与48只羊一起吃，刚好16天吃完． 点评：本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答． 35．7小时12分钟 【分析】当水从进水口匀速流入的同时出水口以更快的速度排出，假设1个出水口1小时排1份水，就可以知道9个出水口9小时排水9×9＝81份，7个出水口18小时排水7×18＝126份，从而可以求出进水口每小时进水多少份，用9小时排水的份数－9小时进水的份数＝半池水的份数，也就知道了一满池水的份数，再用一满池水的份数÷（15个出水口1小时排水份数－进水口1小时的进水份数）就可以了。 【详解】假设1个出水口1小时的出水量为1份，则进水口1小时的进水量为： ＝45÷2 ＝5（份） 半池水的量为： ＝4×9 ＝36（份） 所以一池水的量为：36×2＝72（份）， 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为： ＝72÷10 ＝7.2（小时） 即7小时12分钟。 答：如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过7小时12分水池刚好被排空。 【点睛】此题为复杂的工程问题，是牛吃草问题的变形，解决此题的关键是假设1个出水口1小时排1份水，进而可以求出进水口每小时进水多少份。 36．7个 【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪1份，先求上游的河水的增加速度为：（30×1－10×2）÷（30－10）＝0.5（份）；再求安全线以上的原有的水量为：30×1－0.5×30＝15（份）；至少要同时打开个闸门个数为：（15＋0.5×2.5）÷2.5＝6.5个，为了确保在2.5个小时内使水位降至安全线以下，需要用“进一法”求出得数。 【详解】解：设每个泄洪闸每小时泄洪1份， （30×1－10×2）÷（30－10） ＝10÷20 ＝0.5（份） 30×1－0.5×30 ＝30－15 ＝15（份） （15＋0.5×2.5）÷2.5 ＝16.25÷2.5 ≈7（个） 答：要求在2.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开7个。 【点睛】本题是牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时的泄洪量）和草地原有的份数（本题相当于安全线以上的原有的水量）。 37．36头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛 38．17人 【详解】略 39．42头 【详解】试题分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5公顷面积原有草量+5公顷面积30天长的草=10×30=300份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15公顷面积原有草量+15公顷面积45天长的草=28×45=1260份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每公顷面积长84﹣60=24份；则每公顷面积每天长24÷15=1.6份．所以，每公顷原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24公顷，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃． 解：设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷30天的总草量为：10×30÷5=60； 每公顷45天的总草量为：28×45÷15=84； 那么每公顷每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6； 每公顷原有草量为：60﹣1.6×30=12； 那么24公顷原有草量为：12×24=288； 24公顷80天新长草量为24×1.6×80=3072； 24公顷80天共有草量3072+288=3360； 所以有3360÷80=42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 点评：本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真分析解决． 40．25头 【详解】解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数．求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量．同理， 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知，（20－10）天内草的生长量为：1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为：50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5． 因此5天吃完草需要牛的头数：125÷5＝25（头） 答：需要25头牛5天可以把草吃完． 41．8天 【分析】根据题意，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份草，可得16头牛吃了20天，共吃了1600份；100只羊吃12天，共吃了1200份，由此可求出草每天生长的份数；再根据“16头牛吃20天”，可以求出草地原有的草的份数；10头牛一天吃50份草，正好是草每天生成的量；剩下的75只羊来吃草地原有的600份草，可以吃8天，问题得解。 【详解】假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份； 16头牛吃了20天，共吃了16×5×20＝1600（份）； 100只羊吃12天，共吃了100×12＝1200（份）； 草每天生产：（1600－1200）÷（20－12）＝50（份）； 原来的草有：16×5×20－50×20＝600（份）； 10头牛一天吃：10×5＝50（份），正好是草每天生成的量； 75只羊吃的天数是：600÷75＝8（天）。 答：这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天。 【点睛】本题是典型的牛吃草问题，解题的关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数。 42．20头 【分析】本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程．若能消去a，b，c，便可解决问题． 【详解】解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有 　　 ②-①，得 36b=120C． ④ ③-②，得 96xc=1800c＋36b． ⑤ 将④代入⑤，得 96xc＝1800c+120c． 解得x=20． 答：有20头牛． 43．6个 【分析】设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：，实际注入水量为：；24小时蓄水需要打开的闸门数是：（个）。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝120 ＝5＋1 ＝6（个） 答：需同时打开两个水库的6个闸门。 【点睛】虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也可以利用牛吃草问题的思路解答本题。 44．12周 【详解】将1头牛1周吃的草看做1份，则27头牛6周吃162份，23头牛9周吃207份，这说明3周时间牧场长草207-162＝45（份），即每周长草15份，牧场原有草162－15×6＝72（份）．21头牛中的15头牛吃新长出的草，剩下的6头牛吃原有的草，吃完需72÷6＝12（周）． 45．6台 【分析】此题用方程解答，把每小时涌出的水量看作单位“1”，抽水机每小时的抽水量为x，原计划为y小时，根据题意列出方程，再解方程，即可解答。 【详解】设每小时涌出的水量为单位“1”，抽水机每小时的抽水量为x，原计划为y小时，得方程： （8x－1）y＝（9x－1）×（y－8） 8xy－y＝9xy－72x－y＋8 xy＝72x－8 把xy＝72x－8代入 （10x－1）（y－12）＝（8x－1）y 10xy－120x－y＋12＝8xy－y 10（72x－8）－120x＋12＝8（73x－8） 720x－80－120x＋12＝576x－64 24x＝4 ＝6（台） 答：还应该至少留下6台抽水机。 【点睛】此题解答的关键在于把每小时涌出的水量看作单位“1”，通过设未知数，列出方程解答。 46．19头 【分析】把每头牛吃的草数量视为1份，23头牛9周吃掉23×9＝207份，27头牛6周吃掉27×6＝162份，那么9周与6周时间相差的207－162＝45份就是9－6＝3周新长的，则每周新长（252－207）÷（9－6）＝15份，原有草量＝72份，原有的草量，可供 72÷18＝4头牛吃，每周新长的15份可共15头牛吃，那么一共可供4＋15＝19头牛吃18周，据此解答即可。 【详解】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为 ＝45÷3 ＝15（份） 原有草量为 ＝12×6 ＝72（份） 可供 ＝4＋15 ＝19（头） 答：那么它可供19头牛吃18周。 【点睛】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草场的量为本题解答的关键。 47．7点45分 【详解】设每个入口每分钟能放进商场的人数为一份；从八时三十分到八时三十九分经过了：9分钟；从八时三十分到八时三十五分经过了：5分钟； 每分钟增加的人数：（9×3－5×5）÷（9－5） ＝（27－25）÷4 ＝2÷4 ＝0.5 （份）； 原有等候的人数：9×（3－0.5） ＝9×2.5 ＝22.5（份）； 从第一个顾客来到时起，到八时三十分开门经过的时间是：22.5÷0.5＝45（分钟）； 所以第一个顾客到达时是：7点45分； 答：第一个顾客到达时是7点45分。 48．（1）12头（2）3天 【详解】试题分析：（1）设每头牛每天吃1份草．24只羊，则6天吃完草，说明6天长的草+原来的草共：24×6=144份； 21只羊，8天吃完，说明8天长的草+原来的草共21×8=168份； 所以（8﹣6=2）天长的草为168﹣144=24份，即每天长12份，这样原来草为144﹣6×12=72份，那么草地每天长的草够12头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛． （2）那么草地每天长的草够12头羊吃一天．如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草；还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）． 解：（1）设每头牛每天吃1份草； 草的生长速度即每天长的份数为： （21×8﹣24×6）÷（8﹣6）， =（168﹣144）÷2， =24÷2， =12（份）； 那么草地每天长的草够12头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛； 答：最多放12头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完． （2）原来草的份数为：144﹣6×12=72（份） 如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草； 还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）． 答：如果放牧36只牛，则3天可以吃完牧草． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 49．64头 【分析】因为草的生长量每天相等，所以先求出每天草的生长量，再求原来有多少草；将原有的草加上生长的草，再除以6天即可求出。 【详解】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为： ＝44÷2 ＝22 原有草量为： ＝450－198 ＝252 ＝384÷6 ＝64（头） 答：放64头牛6天可以把草吃完。 【点睛】熟练掌握牛吃草问题的一般解法是解决本题的关键。 50．150级 【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100-90=10（级），多用了6-5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）． 【详解】自动扶梯每分钟走：（20×5-15×6）÷（6-5） =10÷1 =10（级） 自动扶梯共有：（20+10）×5=150（级） 答：扶梯共有150级． 51．40头 【分析】牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。 【详解】设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：份；原有草量：份。 我们可以假设这4头牛没卖，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草。假设牛的数量保持不变，连续吃6＋2＝8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2＝320份，因此有牛320÷8＝40头。 【点睛】先假设牛没有变化，进而草的总量也相应改变，就转变成常规的牛吃草问题来解决。 52．9个 【详解】把每个检票口一分钟检票量作为1份，则每分钟来的旅客为： ﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份         开始检票前有旅客：5×30－30×3=60份 所以要10分钟检完票，需要开﹙60＋3×10﹚÷10=9个 53．12天 【详解】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数． 解：设每头牛每天吃“1”份草． 每天新生草量为： （23×9-27×6）÷（9-6） =（207-162）÷3 =45÷3 =15（份） 原有草量为：27×6-15×6=72（份） 21头牛吃的天数： 72÷（21-15） =72÷6 =12（天） 答：这片牧草可供21头牛吃12天． 54．15米 【分析】一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20×5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．说明，每夜下滑：100﹣90=10（分米）．那么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15（米），或：（15+10）×6=150（分米）=15（米）． 【详解】（20×5﹣15×6+20）×5， =30×5， =150（分米） =15（米）． 答：井深15米． 55．40头 【详解】略 56．8时15分 【详解】9时开门，开3个入口，9：09就结束入场，开5个入口，9：05就结束入场，来人的速度为： 开门之前来人为 第一个观众来的时间距开门时间，（分） 再用9时减去45分即可求出答案． （分） 9时－45分＝8时15分． 答：第一个游客达到博物馆的时间是8时15分． 【点睛】牛吃草问题 57．6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草 【详解】试题分析：根据题意可以得出：8头牛+3只羊=136千克①，2头牛+2只羊=44千克②，用①﹣②即可求出6头牛和1只羊吃草的量． 解答：解：由题意可得： 8头牛+3只羊=136千克①， 2头牛+2只羊=44千克②， ①﹣②可得： 6头牛+1只羊=136﹣44=92千克 答：6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草． 点评：解决这类问题的关键是利用牛吃的草量得出数量关系，可根据数量关系和要求的问题，适时的将条件进行转化． 58．8天 【详解】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的减少速度为： （20×5﹣16×6）÷（6﹣5） =4÷1 =4（份）； 草地原有的草的份数： 20×5+4×5 =100+20 =120（份）； 那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有11+4=15（头）牛吃草，草地原有的120份草，可吃： 120÷15=8（天） 答：可供11头牛吃8天． 59．4人   10天 【详解】一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”      6人    4天   6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒      4人    5天   4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒 从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天． 原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$