第三章 圆 复习导学案 2023－2024学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 思维导图  轴对称    中心对称    相等    平分    一半    相等    直角          互补    三    垂直平分线    圆上    相切    垂直    外端    垂直    相等    角平分线    三边               易错点剖析 易错点一 对有关概念的理解错误 【例1】 [2022·深圳盐田区一模]下列命题中，是真命题的是（ D ）. A. 三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 三角形的内心与外心是常考知识点，①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“”表示.②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 表示.③任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；④解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 为三角形的面积，为三角形的周长，为内切圆的半径. [解析]A.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题，不符合题意；B.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不符合题意；C.对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形不一定是矩形，故为假命题，不符合题意；D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，为真命题，符合题意.故选D. 跟踪练习 1. 下列说法：①经过圆心的直线是圆的对称轴；②直径是圆的对称轴；③圆的对称轴有无数条；④当圆绕它的圆心旋转 时，仍会与原来的圆重合.其中正确的有  ①③④  .（填序号） 易错点二 垂径定理理解错误 【例2】 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”.阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图，其中于点，问径就是要求的直径.再次阅读后，发现寸，寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题.请帮助小智求出的直径. 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 解：连接（图略），，垂足为，寸，设 寸，则 寸.在 中， ，，，解得，（寸），的直径为 寸. 跟踪练习 2. 如图，的直径与弦交于点， ，,,求的长. 解：如图，过点 作 交 于点， 连接，为 的中点，，，,，，.在 中， ，.在 中，，,根据勾股定理得，. 易错点三 圆心角与圆周角定理的理解与应用的错误 【例3】 [2023·深圳市宝安区11校联考]如图，四边形是的内接四边形，连接，，,若 ，则的度数是（ C ）. A. B. C. D. 同一条弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，注意理解它们的倍分关系，圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 跟踪练习 3. [2023·深圳市南山区联鹏学校一模]如图，点，，，是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和四边形的面积之比为（ B ）. A. B. C. D. [解析]如图，作 交 的延长线于点，，，，， 四边形 是圆内接四边形， . ， ，， 四边形 的面积 四边形 的面积.，，， 四边形 的面积 的面积，和四边形 的面积之比为.故选B. 易错点四 正多边形的有关计算及弧长、扇形面积公式的运用错误 【例4】 [2023·深圳龙岗九年级统考期末]已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点，，，，，在圆上.若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ D ）. A. B. C. D. [解析]如图，连接 交 于点，则点 是圆心，过点 作 于点，连接，取 的中点，连接，，由对称性可知，，由正六边形的性质可得，，.由正六边形的性质可知，，，都是正三角形，，故选D. 本节比较容易出现概念性的错误，①正多边形的半径是指正多边形的外接圆的半径,正多边形的边心距是正多边形内切圆的半径；②对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 的扇形面积是圆面积的，即；③在扇形面积公式中涉及三个量：扇形面积、扇形半径、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量；④扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；④扇形两个面积公式之间的联系：. 跟踪练习 4. （教材P98例题改编）如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距等于（ C ）. A. B. C. D. 3 易错点五 圆中多解问题的疏忽 【例5】 在半径为的圆中，两条平行弦的长分别为，，则这两条平行弦之间的距离为（ B ）. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 题目中无图或图形不全，一定要注意考虑多种可能. [解析]有两种情况：①如图1，当 和 在点 的两旁时，过点 作 于点，交 于点，连接，，，.由垂径定理得，，.，由勾股定理得，同理，；②当 和 在圆心 的同旁时，如图2，，故选B. 图1 图2 跟踪练习 5. 如图，的半径为1，是的一条弦，且，则弦所对圆周角的度数为（ D ）. A. B. C. 或 D. 或 重难点突破 重难点一 切线的判定与性质的理解及综合应用 切线的判定与性质是中考必考考点之一，注意区分. （1）切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. （3）本节是考试的重点和难点之一，综合性强，注意各知识点间的联系. 1. [2023·深圳南山区北师大附中九下期中]如图，在中，以为直径作交，于点，，且是的中点，过点作于点，交的延长线于点. （1） 求证：直线是的切线； 证明：如图，连接，，，是 的中位线，，，是 的半径， 直线 是 的切线. （2） 若，，求的长. 解：设 的半径为，则，，，，，即，解得，，，，即，解得，. 2. [2022·深圳盐田一模]如图，在中， ，点，分别在，上，，经过点，，弦于点，连接. （1） 求证：为的切线； 证明：如图，连接，，，，，， ，，是 的切线. （2） 若 ，，求的长. 解：在四边形 中， . ， ， .，，. 3. 如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点. （1） 求证：是的切线； 证明：如图，连接，平分，，，，，，是 的切线. （2） 若，，求的长. 解：如图，过点 作 于点.设 的半径为，在 中，，，解得，.由（1）得,. ，，. 重难点二 三角形的内心与外心 （1）三角形外接圆的圆心叫三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部. （2）三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等. 4. 如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（ D ）. A. B. C. D. 5. [2023秋·清远九年级统考期末]以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ B ）. A. 8，8，8 B. 4，10，10 C. 5，9，10 D. 6，8，10 [解析]选项A,如图1，设三角形的内心为，分别过点 作三边的垂线，垂足为D，，，连接，，，， 三角形内切圆半径. 三角形是等边三角形，， 三角形内切圆半径；选项B，如图2，中，，,过A作 于D，，，， 三角形内切圆半径；选项C，如图3，中，,,，过点A作 于点D，设，则,，，解得，，， 三角形内切圆半径；选项D，中，,,，，是直角三角形，， 三角形内切圆半径， 内切圆半径最小的是4，10，10.故选B. 6. （1） 如图1，在中， ，.尺规作图：作的外接圆，并直接写出的外接圆半径的长. 解：如图1，外接圆的圆心为，连接，，是等腰三角形的外心，， .，是等边三角形，，故 外接圆半径 的长为5. 图1 （2） 如图2，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值. [答案] 如图2所示，连接 并延长交 于点，连接，显然，是 的中点，,，，的最大值为18. 图2 （3） 如图3所示，，，是某新区的三条规划路，其中，， ，所对的圆心角为 ，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点，，也就是分别在、线段和上选取点，，.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路，和.为了快捷、环保和节约成本.要使得线段，，之和最短，试求的最小值.（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） [答案] 如图3所示，假设 点即为所求点，分别作出点 关于，的对称点，，连接，，，，，由对称性可知，且，，，在一条直线上，所以 即为最短距离，其长度取决于 的长度，如图④，作出 的圆心，连接，与弧 交于点，点即为使得 最短的点，，， ，是直角三角形， ，，所对的圆心角为 ，是等边三角形， ，， ，，，，, ，, ，，的最小值为. 重难点三 路径与最值的探寻 圆中的最值与路径问题的关键就是要根据题中所给的条件确定动点的轨迹，通常是用圆的定义，即到定点的距离等于定长来确定动点所在圆的圆心和半径. 7. [2023·深圳宝安区第一外国语学校一模]如图，在中，，，点是的重心，将线段绕点逆时针旋转至点，为线段的中点，连接，则的最大值为      . [解析]如图，延长 交 于点，延长 到点，使，是 的中点.为线段 的中点，是 的中位线， 线段 绕点 逆时针旋转至， 点 在以点 为圆心，为半径的圆上运动.如图，当点,,在同一条直线上时，最长，最大. 点 是 的重心，是 的中线，，是等腰三角形，， .，为 的重心，，,，.由旋转的性质知，，，即 的最大值为，故答案为. 8. 如图，的直径，弦，点是上的一动点（不与点，重合，且与点分别位于直径的异侧），连接，，过点作的垂线交的延长线于点. （1） 求的值. 解：如图，连接，是 的直径， .在 中，，，，. （2） 随着点的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值. [答案] 的值不会发生变化，理由如下： ，，是圆内接四边形 的一个外角，，，.在 中，，. （3） 运动过程中，的最大值是多少？请你直接写出来. [答案]由（2）知，.由，得，，的最大值为. 9. 【综合与实践】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁，，在半径为1的上静止不动，第四只蚂蚁在上移动，并始终保持 . （1） 请判断的形状，“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是  等边  三角形； [解析] ，,对应的圆周角为 ， ， ， ，为等边三角形.故答案为等边. （2） “数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上移动时，线段，，三者之间存在一种数量关系.请你写出这种数量关系，并加以证明； 解：.理由：如图1，在 上截取，连接， ，为等边三角形，， ， . ，.在 和 中，，，. 图1 （3） “数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值.（不写解答过程，直接写出结果） [答案] [解析]如图2，根据题意可知，的轨迹是以 为直径的圆，设圆心为，连接，过点 作 于点，过点 作 于点， ，，，，是 的中点，是三角形 的中位线，为 的中点，.又 是 的中点，，， ，.故答案为. 图2 学科网（北京）股份有限公司 $$