第二章 一元二次方程 复习导学案 2023－2024学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 思维导图  一个    整式方程    一元二次方程    二次项    一次项    常数项    二次项系数    一次项系数          不相等          相等          没有    二次项系数    一次项系数                           易错点剖析 易错点一 对一元二次方程的定义理解不清晰导致错误 【例1】 下列方程是一元二次方程的有  ①③  （只填序号）.，，，，，. 当我们判断一个方程是不是一元二次方程时，要注意以下几点： 1.判断时，方程要化为最简形式后才能进行； 2.必须有二次项，且二次项系数必须非0； 3.方程必须是整式方程； 4.方程中必须只有一个未知数，且未知数的最高次数是2. 跟踪练习 1. [2023·深圳九年级联考]下列方程中，是一元二次方程的是（ B ）. A. B. C. D. 2. [2024·佛山九年级校考]下列方程是一元二次方程的是（ C ）. A. B. C. D. 易错点二 在确定一元二次方程的各项系数时，经常漏了数字前面的符号而致错 【例2】 [2023·深圳中学期中]将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（ D ）. A. ， B. 5， C. 5，7 D. ，5 1.要确定方程的各项系数,必须把方程化成一般形式; 2.对于方程来说，里面的“”“-”是运算符号，当用来确定系数时，这些运算符号就变成了数的属性符号，表示是正数或负数. 跟踪练习 3. [2023·深圳九年级校考]一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ B ）. A. 4,5,81 B. 4,5, C. 4,5,0 D. ,, 4. 一元二次方程化成一般形式后，，，的值分别为（ A ）． A. 1，, B. 1，2，3 C. 1，,3 D. 1，2, 易错点三 未知数指数中含有字母的一元二次方程，求字母值时，忽视一元二次方程的二次项系数不为0导致错误 【例3】 [2023·佛山九年级校考阶段练习]若关于的方程是一元二次方程，则的值为（ A ）. A. 1 B. C. D. 0 一元二次方程满足的条件是 1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数为2； 3.二次项系数不为0; 4.整式方程. 跟踪练习 5. 已知是一元二次方程，则      . 6. 关于的方程是一元二次方程，则的值为      . 易错点四 已知二次项系数中含有字母，根据根的情形，求字母的取值范围时，忽视一元二次方程的二次项系数不为0导致错误 【例4】 [2023·揭阳九年级校考期末]关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是  且  . [解析] 一元二次方程 有实数根，解得 且. 1.,方程有两个不相等的实数根; 2.,方程有两个相等的实数根; 3.,方程没有实数根; 4.根据方程根的情况,用 列不等式确定字母的取值范围时不要忽视二次项系数不能为0这个条件. 跟踪练习 7. [2023·佛山九年级校考期中]若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是  且  . 8. [2022·深圳九年级统考期末]若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是  且  . 重难点突破 重难点一 一元二次方程的定义 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程； （2）叫做一元二次方程的一般形式,,,分别称为二次项、一次项和常数项，,分别称为二次项系数和一次项系数. 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ C ）. A. B. C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ A ）. A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ C ）. A. 1，4，5 B. 1，，5 C. 1，， D. 1，4， 4. 把一元二次方程化为一般形式正确的是（ A ）. A. B. C. D. 重难点二 解一元二次方程——直接开平方法 （1）形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解； （2）如果方程化成 的形式，那么可得； （3）如果方程化成 的形式，那么. 5. 解方程. （1） ； 解：，， ，解得,. （2） ； [答案]，，，，解得，. （3） ； [答案] ，， ，或， ，. （4） . [答案] ，，， ， 解得，. 重难点三 解一元二次方程——配方法 1.将一元二次方程配方成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 2.用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化成 的形式； （2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把左边配方成一个完全平方式，右边化为一个常数； （5）如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则此方程无实数解. 6. [2023·深圳九年级期中]用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ A ）. A. B. C. D. 7. 方程配方得到，则  1  . 8. 用配方法解方程. （1） ； 解：，二次项系数化为1得， 移项得，配方得， 即，， 解得,． （2） . [答案],，，，，，. 重难点四 解一元二次方程——公式法 1.一元二次方程，当 时，方程有实数根，叫做一元二次方程 的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 2.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化成一般形式，进而确定，，的值（注意符号）； （2）求出 的值（若，方程无实数根）； （3）在 的前提下，把，，的值代入求根公式进行计算,求出方程的根. 9. [2022·深圳九年级统考期末]一元二次方程的根的情况为（ B ）. A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能判断 10. [2022·深圳九年级校考]关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ D ）. A. B. C. 且 D. 且 11. 用公式法解方程. （1） ; 解：,,，，，解得，. （2） . [答案] ，，， ， ，，. 重难点五 解一元二次方程——因式分解法 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令这两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.因式分解的常用方法： 提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法等. 12. 用因式分解法解方程. （1） ; 解：，， 或，解得,. （2） ； [答案] ，移项,得， 因式分解得， 或，，. （3） ; [答案] ,,或, ，. （4） . [答案] ，， ， ，或， 解得，. 重难点六 一元二次方程根与系数的关系 （1）设 的两个根为,，则,;;;. 13. [2023·深圳九年级期中]若，是方程的两个根，则（ A ）. A. B. C. D. 14. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是  4  . [解析]对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，所以.故答案为4. 15. 已知关于的一元二次方程． （1） 求证：对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； 证明：由题意可知,， ， 对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根. （2） 设的两个实数根分别为，，若，求的值． 解：原方程可化为， ，. ，， ，，. 重难点七 一元二次方程的应用 1.解决应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答. 2.解出方程后要根据题目的实际意义确定符合题意的解. 16. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ B ）. A. B. C. D. 17. 冬奥特许商品销售火爆．甲、乙两家冬奥商品专卖店十月份销售额分别为10万元和15万元，十二月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店十一、十二月份销售额的月平均增长率是乙店十一、十二月份月平均增长率的2倍.求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少. 解：设乙店这两个月的月平均增长率为，则甲店这两个月的月平均增长率为,根据题意，得，解得，（舍去）. 答：甲店这两个月的月平均增长率是，乙店这两个月的月平均增长率是． 18. 如图，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，其中一面利用墙（墙的最大可用长度为）．如果要围成面积为的花圃，那么的长是多少米？ 解：设 的长为，则 的长为， 根据题意，得，整理得， 解得，. 当 时，，符合题意; 当 时，，符合题意， 的长是 或． 19. 某文具专柜销售一种进价为40元/个的书包，当售价为60元/个时，日销售量为100个，国庆期间，通过市场调查发现这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个．现准备每个书包降价元销售，请回答： （1） 该专柜原来销售这种书包每天可获利  2 000  元； [解析]根据题意得（元）， 该专柜原来销售这种书包每天可获利2 000元， 故答案为2 000. （2） 降价销售时，每个书包获利      元，每天可售出书包      个； 解：根据题意得，降价销售时，每个书包获利 元， 每天可售出书包 个. 故答案为;. （3） 若该专柜销售这种书包想要平均每天获利2 240元，并且要尽可能让利于顾客，赢得市场，则每个书包应降价多少元？ [答案] 根据题意得， 整理得， 解得，， 要尽可能让利于顾客， ， 每个书包应降价6元． 学科网（北京）股份有限公司 $$