第一章 特殊平行四边形 复习导学案－2023－2024学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 思维导图  邻边    平行四边形    相等    互相垂直平分    轴对称    中心对称    都相等    四边形    互相垂直    平行四边形    直角    平行四边形    直角    相等且互相平分    斜边的一半    轴对称    中心对称    直角    四边形    相等    平行四边形    邻边相等    直角    平行四边形    相等    直角    互相垂直    相等    轴对称    中心对称    邻边相等    互相垂直    相等    直角    中点    平行四边形    矩形    菱形    正方形    之和    一半   易错点剖析 易错点一 混淆特殊平行四边形的性质而出错 【例1】 关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ B ）. A. 邻边相互垂直 B. 对角线相互垂直 C. 是中心对称图形 D. 对边相等 （1）菱形、矩形、正方形具有平行四边形的所有性质,都是中心对称图形,轴对称图形； （2）菱形邻边相等,对角线互相垂直； （3）矩形四个角都是直角,对角线相等； （4）正方形四个角都是直角,四条边相等,对角线互相垂直且相等. 跟踪练习 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ D ）. A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ D ）. A. 四个角都相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 易错点二 混淆特殊平行四边形的判定而出错 【例2】 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ A ）. A. 当时，它是菱形 B. 当时0，它是矩形 C. 当 时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形;四条边都相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （2）有一个角是直角的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形. 跟踪练习 3. 已知四边形的对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（ C ）. A. 一组对边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一个内角为 4. [2022春·揭阳九年级统考期末]如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（ D ）. A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 易错点三 对中点四边形的理解不清晰而出错 【例3】 若顺次连接平行四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，则平行四边形一定是（ B ）. A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 （1）以四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形； （2）以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形； （3）以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形； （4）以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形； （5）以正方形各边的中点为顶点可以组成一个正方形. 跟踪练习 5. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ B ）. A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边形 6. 如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件是（ D ）. A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 易错点四 对中点四边形的理解不透彻出现周长、面积出错 【例4】 如图，四边形四边的中点分别为，，，，对角线与相交于点，若四边形的周长是3，则的长为（ A ）. A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 （1）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和； （2）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 跟踪练习 7. 如图，在四边形中，对角线，垂足为点，点，，，分别为，，，的中点，若，，则四边形的面积为  6  . 第7题图 8. 如图，已知矩形的对角线的长为，顺次连接各边中点，，，得到四边形，则四边形的周长为  20  ． 第8题图 重难点突破 重难点一 菱形 1.菱形的性质 （1）四条边都相等，对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角； （2）既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在的直线就是对称轴； （3） 菱形的面积 底×高. 2.菱形的判定 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边都相等的四边形是菱形. 1. 如图，四边形中，， ，，连接，的平分线分别交，于点，，若，，则的长为（ C ）. 第1题图 A. 4 B. C. D. 2. 如图，在菱形中， ，点在上，，则  110   ． 第2题图 3. 如图，在菱形中， ，为边上的一个动点，连接，将沿着折叠得到，的对应点为，连接，当时，的度数为      . 第3题图 4. [2023·佛山九年级校考]如图，在中，线段的垂直平分线交于点，分别交，于点，，连接，. （1） 求证：四边形是菱形； 证明： 四边形 是平行四边形， ，即，. 直线 是线段 的垂直平分线， ，. 在 和 中， ，. 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. （2） 在（1）的条件下，如果， ，，求四边形的面积. 解：由（1）得四边形 是菱形，， ，，. ，， ， ，， ，， 四边形 的面积． 重难点二 矩形 1.矩形的性质 （1）四个角都是直角，对角线相等且互相平分； （2）既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴（对称轴为矩形对边中点所在的直线）. 2.矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是 的四边形是矩形. 5. [2022·深圳市宝安中学三模]如图，矩形纸片的一条边经过含有 角的直角三角形的一个顶点，矩形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交形成和，若 ，则的度数为（ D ）. 第5题图 A. B. C. D. 6. [2022·佛山九年级统考]如图，将长方形沿对角线折叠，得到，点与点对应，交于点，若，，则的长为（ A ）. 第6题图 A. 5 B. 6 C. D. 7. [2023·深圳九年级校考期中]如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的周长为      . 第7题图 8. [2023·佛山九年级校联考]如图，是菱形的对角线，过点作于点，交于点，点在的延长线上，连接，. （1） 求证：四边形是矩形； 证明： 四边形 是菱形， ，． ． ，， ． 在 和 中， ． ． ． ， ， ， ， 四边形 是矩形． （2） 若，，求的长． 解：，，. 在 中，由勾股定理，得. ，，. 设，则，． 在 中，由勾股定理，得， 即，解得，． 重难点三 正方形 1.正方形的性质 （1）四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角； （2）对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有四条对称轴； （3）正方形面积求法：（表示正方形的边长，表示正方形的对角线长）. 注：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形. 9. 如图，四边形是正方形，延长到点,使,连接,则的度数是（ D ）. 第9题图 A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为8，点为边上的定点，绕正方形的中心旋转得到，点在边上，连接，，则四边形的面积是（ B ）. 第10题图 A. B. 16 C. D. 8 [解析]如图，连接，.根据旋转的性质，知， 点 是正方形 的中心， ，.在 和 中，，. 11. [2022·深圳校考一模]如图，正方形的边长为2，点是的中点，将沿翻折，得到，延长交边于点，则的长为      . 第11题图 [解析]如图所示，连接 四边形 是正方形， . 点 是 的中点，.由折叠的性质可得， ，， .在 和 中，，.设，则，，在 中，，，解得，. 12. [2023·佛山校考一模]如图，在中， ，点在边上且，连接，点是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1） 求证：； 证明：，. 点 是 的中点，. 在 和 中， ，. （2） 求证：四边形是菱形. [答案] ，. ，. ， 四边形 是平行四边形. ，，， 四边形 是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$