小升初典型应用题：一半模型(专项练习)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：一半模型 1．如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 2．如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 3．如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积． 4．如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等． 5．如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积是多少？ 6．如图所示,在长方形内有四条线段把长方形分成若干块,已知有三块图形的面积分别是13、35、49,那么图中阴影部分的面积是多少? 7．如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位． 8．如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 9．如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 10．长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 11．如图，在△ABC中，D为BC边上任一点，AEAD，EFEB，FG＝GC，△EFG的面积为1平方厘米，求△ABC的面积. 12．如图，已知长方形的面积平方厘米，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少？ 13．如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比． 14．在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积． 15．如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形 的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？ 16．是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是 ． 17．图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 18．长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 19．图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 20．在长方形内部有一点，形成等腰的面积为16，等腰的面积占长方形面积的，那么阴影的面积是多少？ 21．如图，长方形被分成了若干块，其中三块的面积标注在图上，阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米） 22．如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位． 23．如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 24．如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少？ 25．是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是多少？ 26．下图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积. 27．如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米． 28．如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 29．如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积． 30．已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形) 31．如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少 32．如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 33．如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是多少 34．如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影部分的面积是多少？ 35．如图，中，已知平方厘米。求： （1）的值； （2）阴影部分的面积。 36．如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 37．如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么| 38．如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 39．图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 40．如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少？ 41．如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少 42．是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？ 43．如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少 44．如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积． 45．如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．6.5 【详解】 方法一：连接对角线． ∵是长方形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以 2．28 【详解】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 3．3 【详解】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半， 三角形ADE又是三角形ADC面积的一半． 三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积． 4．证明：连接．(我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．) ∵在平行四边形中，边上的高， ∴． 同理，，∴平行四边形与面积相等． 【详解】略 5．4/3 【详解】 运用三角形面积与底和高的关系解题． 连接、、、，因为，，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，． 因为， 所以． 又因为 ， 所以． 6．解：设长方形的面积为S，则 由图形可知， 【详解】略 7．9 【详解】如图分割后可得，（平方单位）． 8．6.4 【详解】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 9．（1）4/3（2）3 【详解】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD的面积高高 三角形ABC的面积高高 三角形ADC的面积高高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍； 三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍． 10．13.5 【详解】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、、，而 即； 而，． 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： ． 11．9平方厘米 【详解】如图，连接CE和BG． S△EFG：S△EGC=FG：CG=1：1，所以S△EGC=1平方厘米；则S△CEF=1+1=2平方厘米； S△CEB：S△CEF=EB：EF=3：1，所以S△CEB=2×3=6平方厘米； S△ABE：S△BED=AE：DE=AE：（AD-AE）=1：2 所以S△ABE=S△BED； 同理可知S△AEC=S△CED； 所以S△ABE+S△AEC=S△BED+S△CED=S△CEB=3平方厘米； 所以S△ABC=6+3=9平方厘米． 答：△ABC的面积是9平方厘米． 【点睛】灵活运用三角形的高一定，面积与底成正比和各个三角形之间的关系进行解答． 12．6.5平方厘米 【分析】连接长方形对角线AE，通过S△AFC和S△ACE来判定C是EF边的中点，然后通过S△ADB和S△ABE，来判定DB：BE＝3：5，从而求出S△BCE的面积，最后用长方形的面积减去S△ADB、S△ACF和S△BCE的面积即可。 【详解】连接长方形对角线AE，如下图： 可知S△ADE＝S△AEF＝8（平方厘米）， 因为S△AFC＝4（平方厘米），所以S△ACF＝4（平方厘米），由此可知C是EF边的中点， 因为S△ADB＝3（平方厘米），所以S△ABE＝5（平方厘米），由此可知DB∶BE＝3∶5， S△BCE＝×CE×BE ＝×AD×BE ＝S△ABE ＝×5 ＝2.5（平方厘米）， S△AEF＝S长－S△ADB－S△ACF－S△BCE， ＝16－3－4－2.5 ＝6.5（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是6.5平方厘米。 13．1 【详解】 (法1)设，，，． 连接知，，，； 所以； 同理．于是； 注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积． (法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果． 14．15 【详解】 （法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米． （法2）连接、． 由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米． 15．1.8 【详解】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)． 16．34 【详解】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为． （法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示： 则有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以阴影部分的面积是： 即为：． 17．22.5 【详解】，等高，所以面积的比为底的比，有, 所以=(平方厘米)．同理有 (平方厘米)， (平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米． 18．13.5 【详解】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、、，而 即； 而，． 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有： ． 19．22.5 【详解】，等高，所以面积的比为底的比，有, 所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)， (平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米． 20．3.5 【详解】先算出长方形面积，再用其一半减去的面积(长方形面积的)，再减去的面积，即可求出的面积． 根据模型可知，所以， 又与的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以的面积等于长方形面积的， 所以． 21．116平方厘米 【分析】如图： 根据一半模型，可知a＋b＋c等于长方形面积的一半，23＋c＋55＋38＋b也是长方形面积的一半，据此可知a＋b＋c＝23＋c＋55＋38＋b，据此化简即可得a＝23＋55＋38。 【详解】如图，设3个区域的面积分别为a、b、c， a＋b＋c＝23＋c＋55＋38＋b a＝23＋55＋38 23＋55＋38＝116（平方厘米） 答：阴影部分的面积是116平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是找到长方形面积的一半由哪些部分组成。 22．9 【详解】 如右图分割后可得，（平方单位）． 23．28 【详解】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 24．6 【详解】 如图所示，设上的两个点分别为、．连接． 根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为． 又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：． 25．34 【详解】 （法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为． （法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示： 则有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以阴影部分的面积是： 即为：． 26．120 【详解】ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长. 而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和FE×BE÷2， 它恰好是长方形ABEF面积的一半. 同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半. 因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20×12÷2＝120. 27．25 【详解】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为平方厘米． 28．6.5 【详解】 方法一：连接对角线． ∵是长方形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以 29．3 【详解】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半， 三角形ADE又是三角形ADC面积的一半． 三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积． 30．43 【详解】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有，即，所以． 又，所以． 31．40 【详解】 如图所示，设上的两个点分别为、．连接． 根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为． 又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：． 32．25 【详解】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为平方厘米． 33．1：2 【详解】 方法一：连接． 设的面积为1， 的面积，则根据题上说给出的条件，由得， 即的面积为、; 又有，、，而； 得，所以． 方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以 方法三： 过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比 34．5/12 【详解】连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：. 35．（1） （2）11平方厘米 【分析】（1）因为AE＝EC，则△ABE和△BEC是等底等高的三角形，两个三角形的面积是相等的，即。因为，其中△BED和△BEC是等高的两个三角形，则三角形的底的比等于面积比，即。则。 （2）因为AE＝EC， 平方厘米，，平方厘米。从（1）得出，这两个三角形的底都是BE，则面积比就是高的比即。△ABO、△ABE、△AEO的高是AH，△BDE、△BOD、△EDO的高都是DF。其中△ABO和△BOD是等底的三角形，则高之比等于面积比即。，这两个三角形的面积和是20平方厘米，按比例分配，。E是AC的中点，△AED和△EDC等底等高，即面积相等，（平方厘米），（平方厘米），，按比例分配，。最后相加即可。 【详解】（1）因为AE＝EC 所以 因为 所以 （2）（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 3＋8＝11（平方厘米） 答：阴影部分的面积11平方厘米。 【点睛】两个三角形，等底等高面积相等。 两个三角形高相等的情况下，面积比等于底之比。 两个三角形底相等的情况下，面积比等于高之比。 36．6.4 【详解】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 37．24 【详解】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以． 38．6.4 【详解】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形中，边上的高， ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，． ∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)． 39．22.5 【详解】，等高，所以面积的比为底的比，有, 所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)， (平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米． 40．40 【详解】 如图所示，设上的两个点分别为、．连接． 根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为． 又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：． 41．10 【详解】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为． 42．3 【详解】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以． 43．6 【详解】 如图所示，设上的两个点分别为、．连接． 根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为． 又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：． 44．24 【详解】∵是的中点，是的中点，∴，， 又∵是长方形，∴ (平方厘米)． 45．3 【详解】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半， 三角形ADE又是三角形ADC面积的一半． 三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$