小升初典型应用题：平面图形之蝴蝶变形(专项练习)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

小升初典型应用题：平面图形之蝴蝶变形 1．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米． 2．如图，长方形ABCD的周长为40，△ABE和△CDF都是等腰直角三角形，且每个面积都是16，连接AF、DE、EC、FB。那么形成的阴影部分的面积是多少？ 3．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米． 4．在正方形ABCD中，M是BC边上的中点，阴影部分的面积为6平方厘米，那么正方形ABCD的面积为多少平方厘米？ 5．如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积． 6．如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积． 7．四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍． 8．如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 9．如图，在梯形ABCD的对角线交于O点，AD∥BC∥OE。若△AOD的面积为16，△BOC的面积为100，那么阴影部分AOBE的面积为多少？ 10．如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？ 11．如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、．求三角形的面积． 12．如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是多少？ 13．如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点。如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为多少？ 14．如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为 ． 15．四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍． 16．如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形的面积；⑵？ 17．仔细看图，活学活用。 （1）画出三角形的边上的高。 （2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形 （3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面积是（    ）。 18．如图，长方形的面积是36，是的三等分点，,求阴影部分的面积． 19．如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6． 求：⑴求的面积；⑵求的面积． 20．如图，梯形ABCD的上底与下底之比为3∶4，△ABO的面积为120，那么梯形的面积为多少？ 21．如图，是梯形的一条对角线，线段与平行， 与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积． 22．如图，一个梯形的两条对角线把该梯形分成了4个部分，其中两个部分为12和36。这个梯形的面积是多少？ 23．如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米． 24．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米． 25．在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米． 26．如图，△ABC的面积为96，D、E分别是AB，AC的中点，F、G分别为BE、CD的中点。那么阴影五边形的面积是多少？ 27．右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积． 28．如图，在梯形中，，，且的面积比的面积小10平方厘米．梯形的面积是多少平方厘米． 29．正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是（ ）平方厘米． 30．下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？ 31．如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 ． 32．下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？ 33．如图，是一个四边形，、分别是、的中点．如果、与的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少． 34．右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积． 35．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．4 【详解】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以 (平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)． 2．16 【分析】图中求阴影部分面积，已知的却是长方形的周长，可以从两个等腰直角三角形的面积，得到长方形的宽的长度，从而得到长方形的长的长度.再连接EF，可以在上面梯形AEFD和下面梯形EFCB中使用蝴蝶定理。 【详解】如下图，连接EF并两端延长交AB、CD于点G、H；等腰三角形ABE的面积为16，因为＝16×2，AB2＝64，则这个等腰直角三角形的斜边（也是长方形ABCD的宽）为AB ＝8，GE＝FH＝4，进一步得到：AD＝ 12， AD∶ EF ＝12∶4＝3∶1，按比例、利用蝴蝶定理如图标记面积。 长方形ABCD的面积为：8 ×12＝96，梯形ADFE的面积为：（96－16×2） ＋2＝32，从而得到阴影部分的面积为：32×＝ 16。 答：阴影部分的面积是16。 【点睛】正确运用蝴蝶定理公式，是解答此题的关键。 3．6 【详解】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)． 4．18平方厘米 【分析】我们从M是BC中点出发，设正方形的边长为2份，根据蝴蝶定理求出阴影部分面积的份数，最后与实际面积联系起来。 【详解】如下图，设正方形的边长为2份，由蝴蝶定理和同底等高得到各部分面积份数；正方形面积份数是：4＋2＋2＋1＋3＝12（份），可得：正方形的面积为：6 ÷4 ×12＝ 18（平方厘米）。 答：正方形ABCD的面积为18平方厘米。 【点睛】正确理解蝴蝶定理的意义，的解答此题的关键。 5．19 【详解】 连接BG，份 根据燕尾定理，， 得(份)，(份)，则(份)，因此, 同理连接AI、CH得,,所以 三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19 6．6 【详解】 本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、分别作梯形底边的平行线． 如右图，分别过、作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为．再过作的垂线． 由于，所以，故．根据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故． 再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故． 由于，所以，则， 所以． 7．2 【详解】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 8．32/11 【详解】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 9．见详解 【分析】本题三条线段互相平行，可能出现多个梯形，对角线连接的梯形都可以使用蝴蝶定理.故可以在梯形ABCD、ADEO、BCEO中分别使用蝴蝶定理。 【详解】如图1，在梯形ABCD中，从蝴蝶定理的面积关系人手，得到各部分面积如图标记； 如图2和图3中，分别从蝴蝶定理的“左右相等”，用字母标记各部分面积。 结合图I和图4，得到a＋b＋c ＋d ＝40，所以阴影部分面积为40。 【点睛】本题解答的思路是阴影四边形AOBE的面积通过等积变形，转化为求△ODO的面积。 10．64平方厘米 【分析】△ADO与△BCO的面积比为AD平方与BC平方的比，即为9∶81＝；而△CDO与△ABO的面积相等为12，又＝12×12＝144，因为144÷9＝4×4，所以＝4，则＝4×9＝36；而梯形ABCD的面积为△ADO、△BCO、 △ABO、 △CDO 的面积和，即为：4＋36＋12＋12＝64（平方厘米），即梯形ABCD的面积为64平方厘米。 【详解】根据蝴蝶定理可得： ∶＝（3×3）∶（9×9）＝9∶81＝， ∵＝12（平方厘米）， ∴＝12（平方厘米）， 又：＝12×12＝144， ∵144÷9＝4×4， ∴＝4（平方厘米）， 则＝4×9＝36（平方厘米）； ＝4＋36＋12＋12＝64（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积为64平方厘米。 【点睛】正确理解蝴蝶定理公式，是解答此题的关键。 11．21 【详解】 如图，设上底为，下底为，三角形与三角形的高相差为． 由于，所以．即． 又，所以． 12．60 【详解】 连接、． 由于，，于是，同理． 于是． 再由于，，于是，同理． 于是． 那么． 13．60 【分析】连接MN、AC、BD； 由于M是AB的中点，所以△AMN与△BMN的面积相等，而△MTB比△ASM的面积大1，所以△MSN比△MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以△DMN的面积与△CMN的面积相等，那么△CTN的面积比△DSN的面积大1，所以△CTN的面积为9。 假设△MTN的面积为a，则△MSN的面积为a＋1。根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知△ASD的面积为，△BTC的面积为。要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7。由于△ADM的面积为△ABD面积的一半，△BCN的面积为△BCD面积的一半，所以△ADM与△BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以△ADM与△BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即： ＋6＋＋9＝7＋a＋a＋1＋8，得＋＝2 a＋1。 将a＝1、3、7分别代入检验，只有a＝7时等式成立，所以△MTN的面积为7，△MSN、△ASD、△BTC的面积分别为8、6、9。四边形ABCD的面积为，据此解答即可。 【详解】 ＝30×2 ＝60； 答：四边形ABCD的面积为60。 【点睛】解答本题的关键是画出辅助线，明确多个三角形之间的关系，从而进一步确定四边形ABCD的面积。 14．2.7 【详解】 如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：． 15．2 【详解】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 16．6；1：3 【详解】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，． 17．（1）见详解 （2）见详解 （3）25平方厘米 【分析】（1）从边相对的顶点A向边上画垂直线段，与边相交于D点，线段AD就是三角形边上的高； （2）等底等高的三角形面积相等，图中经过点A的虚线与BC边平行，在虚线上任选一点P，分别与B点、C点连接，所形成的三角形都与三角形ABC等底等高且面积相等。 （3）根据蝴蝶原理，图中梯形的上、下两部分面积之积等于左、右两部分面积之积，左、右两部分面积相等。则左、右两部分面积之积＝4×9＝36（平方厘米），36＝6×6，所以左、右两部分面积都是6平方厘米。最后把四部分面积全部加起来即可。 【详解】（1）如下图： （2）如下图： （3）根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，梯形的面积＝4＋9＋6＋6＝25（平方厘米） 【点睛】本题考查画三角形的高、三角形的面积和梯形的面积，利用蝴蝶定理求出梯形左右两部分的面积是题目中的难点。 18．2.7 【详解】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：． 19．(1) 4   （2） 【详解】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为； ⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为， 根据蝴蝶定理，，所以， 那么． 20．490 【分析】根据“梯形ABCD的上底与下底之比为3∶4”，设梯形ABCD的上底AD的长度为3份，下底BC的长度为4份，，根据梯形蝴蝶定理可知：△ABO的面积的对应份数是（3×4）份，梯形ABCD的面积的对应份数是（3＋4）2份；可得：∶＝（3×4） ∶（3＋4）2。 【详解】设梯形ABCD的上底AD的长度为3份，下底BC的长度为4份，由梯形蝴蝶定理可得： ∶＝（3×4） ∶（3＋4）2＝12∶49     又＝120 ＝×120＝490 答：梯形的面积为490。 【点睛】熟练掌握梯形蝴蝶定理的应用，是解答此题的关键。 21．28 【详解】 连接．根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米． 但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)． 22．192 【分析】根据蝴蝶定理公式：左边部分的面积＝右边部分的面积，上、下两部分面积之积＝左、右两部分面积之积，据此可得右边部分面积是36，进而求得下面部分面积及梯形的面积。 【详解】由＝36，可得：＝36 又：＝12 ∴＝36×36÷12＝108 ∴＝108＋12＋36＋36＝192 答：这个梯形的面积是192。 【点睛】正确理解蝴蝶定理公式，是解答此题的关键。 23．9平方厘米 【详解】 连接、．四边形为梯形，所以， 又根据蝴蝶定理，， 所以． 所以(平方厘米)，(平方厘米)． 那么长方形的面积为平方厘米． 四边形的面积为(平方厘米)． 24．6平方厘米 【详解】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)． 25．12 【详解】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)． 26．10 【分析】由△ABC的面积为96，D、E分别是AB，AC的中点，可得梯形DEBC的面积是72；由“D、E分别是AB，AC的中点，F、G分别为BE、CD的中点”把FG的长度看作1份，则DE的长度是1份、BC的长度是4份，再多次利用蝴蝶定理，可得梯形DECB面积的份数为36，每份的面积的2，梯形FGED的面积是9份；梯形FGED中各部分、梯形DECB中各部分面积对应的份数；据此可得阴影五边形面积对应5份，2×5＝10，所以阴影五边形的面积是10。 【详解】因为：△ABC的面积为96，D、E分别是AB，AC的中点，可得：； 由“D、E分别是AB，AC的中点，F、G分别为BE、CD的中点” 把FG的长度看作1份，则DE的长度是1份、BC的长度是4份； 根据蝴蝶定理可得：梯形FGED的面积是9份；梯形FGED中各部分面积的份数，如下图，得阴影五边形面积对应5份； 再根据蝴蝶定理可得：梯形DECB面积的份数为36，每份的面积的2，梯形DECB中各部分面积对应的份数，如下图； 可得，阴影五边形的面积为：72÷36×5＝10 答：阴影五边形的面积是10。 【点睛】多次利用蝴蝶定理，是解答此题的关键。 27．49.5 【详解】 连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形． 由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米． 那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米． 又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)． 28．115 【详解】根据题意可知，则，， 而平方厘米，所以 ，则平方厘米． 又，所以平方厘米． 所以(平方厘米)． 29．14 【详解】 欲求四边形的面积须求出和的面积． 由题意可得到：，所以可得： 将、延长交于点，可得： ， 而，得， 而，所以 ． 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出． 30．5 【详解】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为． 如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即， 那么． 31．40 【详解】 连接，． 根据题意可知，；； 所以，，，，， 于是：；； 可得．故三角形的面积是40． 32．5 【详解】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为． 如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即， 那么． 33．60 【详解】 连接、、． 由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9． 假设的面积为，则的面积为．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为． 要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7． 由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即： ，得． 将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以的面积为7，、、的面积分别为8、6、9． 四边形ABCD的面积为． 小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的． 34．49.5 【详解】 连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形． 由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米． 那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米． 又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)． 35．4 【详解】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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