小升初典型应用题：平面图形之等积变形(专项练习)-2023-2024学年六年级下册数学 人教版

小升初典型应用题：平面图形之等积变形 1．、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，，，．求阴影部分的面积． 2．如图，正方形的面积是，等腰三角形的面积是9，求阴影的面积． 3．如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？ 4．把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法． 5．如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少？ 6．下图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？ 7．如下图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是多少平方厘米？ 8．如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于 ． 9．已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积． 10．如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 11．如图，长方形ABCD的长为8cm，宽为4cm，对角线AC、BD把它分成了4份，而对角线AC又被分成了相等的4段，求阴影部分的面积是多少？ 12．下图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积. 13．如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少？ 14．长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 15．如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？ 16．如图9所示，正方形ABCD的边长为8厘米，M为AD边上的中点，求图中阴影部分的面积． 17．如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 18．如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 19．右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 20．如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积． 21．图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 22．把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 23．如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 24．在下图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积. 25．下图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？ 26．如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求 的面积． 27．如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形． 28．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 29．如图，在三角形ABC中， BC＝8厘米，AD＝6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 30．右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 31．如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 32．如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？ 33．如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少。 34．如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积． 35．图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少？ 36．如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少． 37．如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米． 38．如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？ 39．如图所示，四边形ABCD是边长为18的正方形，E、F、G分别是AB、BC、CD的三等分点，H是AD上任意一点，求图中的阴影部分面积。 40．如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 41．如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为多少． 42．传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米． 43．如图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求 的面积． 44．图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少． 45．图中AOB的面积为，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积． 46．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 47．、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，，，．求阴影部分的面积． 48．如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 49．如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．25 【详解】连接、． 由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来． 由于为直角梯形，且，，，，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25． 2．4 【分析】如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，可以得到PO∥CD，那么三角形DPO的面积等于三角形CPO的面积，可以得到阴影部分的面积等于三角形BCP的面积减去三角形BCO的面积，也就是等腰三角形的面积减去正方形面积的。 【详解】如图所示： 连接AC，交BD于点O，连接PO，可以得到PO∥CD； 【点睛】本题考查的是等积变形。 3．16 【详解】 根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差． 如右上图，连接、． 由于，所以． 而，，所以(平方分米)． 4． 【详解】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了． 5．6 【详解】 如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米． 6．2倍 【分析】三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高. 三角形ABD与三角形ADC的高相同. 【详解】三角形ABD与三角形ADC的高相同. 三角形ABD面积=4×高÷2. 三角形 ADC面积=2×高÷2. 因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍. 7．30平方厘米 【详解】 连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)． 8． 【详解】根据题意可知，，所以，． 9．20 【详解】 如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图． 由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20． 10．（1）；（2）3 【详解】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD的面积高高 三角形ABC的面积高高 三角形ADC的面积高高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍； 三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍． 11．8cm2 【分析】首先两块阴影的面积是一样的，都等于长方形面积的一半的，求出长方形面积，然后计算阴影面积。 【详解】（cm2） （cm2） 答：阴影部分的面积是8cm2。 【点睛】本题实质上考查的是等高模型的应用，高相等，底是几倍的关系，面积就是几倍的关系。 12．4 【详解】BC＝2＋4＋2＝8. 三角形ABC面积=8×4÷2＝16. 我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形DFE的面积是三角形ABC面积的. 三角形DFE面积=16÷4＝4. 13．6 【详解】 如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米． 14．13.5 【详解】 （法1）特殊点法．由于为边上任意一点，找的特殊点，把点与点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是与的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形面积的和，所以阴影部分面积为长方形面积的，为． （法2）寻找可利用的条件，连接、，如右上图． 可得：、、，而， 即； 而，． 所以阴影部分的面积是：． 15．平方厘米 【详解】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米． ，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米． 16． 【分析】直接用三角形的面积公式来求解是比较难的．因此不妨通过添加适当的辅助线来化简问题． 【详解】如图10所示 连接DG （同底等高） 从而 由对称性 又有（等底等高） 所以 即 从而 17．100平方厘米 【分析】连接BD、EG和FK，如图，则BD∥EG∥FK，根据平行线之间的垂线段相等可知，三角形EGD与三角形BEG等底等高，则这两个三角形的面积相等，又因三角形GEQ是二者的公共部分，它们都去掉三角形GEQ，则剩余部分的面积仍然相等，即三角形QGD与三角形BEQ面积相等；同样的办法可以推出，三角形GFK与三角形EFK的面积相等，去掉公共部分三角形OKF，则三角形EKO与三角形GOF的面积相等，于是阴影部分就全部转化到了正方形BEFG中，即阴影部分的面积就等于正方形BEFG的面积，于是利用正方形的面积公式即可求解。 【详解】据分析可得：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】此题难度较大，推出阴影部分的面积就是等于正方形BEFG的面积，是解答本题的关键。 18．12 【详解】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48． 那么的面积为． 19．8 【详解】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 20．10 【详解】 连接交于点，并连接．如下图所示， 可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有： ， 因为，所以． 21． 【详解】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母． 有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米． 22． 【详解】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法． 23．28 【详解】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 24．49 【分析】四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积. 【详解】把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是 7×2÷2＝7. 因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5. 因为 BE＝8是 CE＝2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是 3.5×4＝14. 长方形ABCD面积=7×（8＋2）=70. 四边形ABMD面积=70-7-14＝49. 25．48 【详解】把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了三角形ABC和三角形ADC. 对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4×10÷2＝20. 对三角形 ADC来说，DC是底边，高是8，因此面积=7×8÷2＝28. 四边形ABCD面积=20＋28＝48. 26．1 【详解】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想．连接． ∵∥，∴ 同理∥，∴ 又，，∴ ，即． 27． 【详解】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，A′BD与 面积相等，从而A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD； ⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则A′CD与四边形ABCD等积． 28．50 【详解】 方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 方法二：连接CF，那么CF平行BD ， 所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 29．6 【详解】略 30．8 【详解】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 31．28 【详解】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 32．16 【详解】 根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差． 如右上图，连接、． 由于，所以． 而，，所以(平方分米)． 33．120 【分析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半进行解答即可。 【详解】 答：它内部阴影部分的面积是120。 【点睛】不规则图形的面积一般都是转化到规则图形中，利用规则图形的面积公式进行计算。 34．24 【详解】∵是的中点，是的中点，∴，， 又∵是长方形，∴ (平方厘米)． 35．48 【详解】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是． 36．6 【详解】 如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米． 37．6 【详解】图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方厘米)． 38．3个，△AEC、△BED、△DEC． 【详解】3个，△AEC、△BED、△DEC． 39．108 【分析】图中阴影部分由不规则四边形和组成，无法直接求面积，需要运用“分解法”，做辅助线转化为三角形，再根据三角形的底和高与正方形边长的数量关系：三角形面积＝底×高÷2，可知等高的两个三角形，面积比等于底之比，再根据三角形面积和正方形面积公式，知底和高均等于正方形边长的三角形的面积是正方形面积的一半，从而将题目中边的关系转化为面积关系，据此列式求解。 【详解】连接HC、HB，如图所示： 答：图中阴影部分面积为108。 【点睛】本题考查巧求面积，运用“分解法”做辅助线将复杂图形转化为简单图形，并掌握等高模型的解法，明白等高的两个三角形，面积比等于底之比是解题的关键。 40．△AEC、△AFC、△ABF． 【详解】△AEC、△AFC、△ABF． 41．33 【详解】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33． 42．5 【详解】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相等．由与，与面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．(平方米)． 43．1 【详解】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想．连接． ∵∥，∴ 同理∥，∴ 又，，∴ ，即． 44．48 【详解】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是． 45．80 【详解】在中，因为，且，所以有． 因为和等底等高，所以有． 从而，在中，，所以梯形面积：． 46．50 【详解】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 方法二： 连接CF，那么CF平行BD ， 所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 47．25 【详解】 连接、． 由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来． 由于为直角梯形，且，，，，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25． 48．1/30 【详解】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以， 并得、是的三等分点，所以，所以，所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，，从而可以确定的点的位置， ，，(鸟头定理)， 可得 49．4 【详解】 连结AF、CE． ∴；； 又∵AC与EF平行，∴． ∴ (平方厘米)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$