小升初典型应用题：最值问题(专项练习)-2023-2024学年六年级下册数学 人教版

小升初典型应用题：最值问题 1．将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？ 2．有一种电子游戏，从第一关开始打，打通一关进入下一关，共有很多关，每关最多可得800分，另外每获得1000分就可获得一次奖励（即在得到1000分、2000分、3000分……以后各得一次奖励），每一次奖励最多为500分，打到第四关，最多可得多少分？要得到12000分，至少要打到第几关？ 3．如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么最大的人的年龄可能是多少？ 4．一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？ 5．一根长72厘米的铁丝围成一个长方体，问围成一个什么形体时，体积最大？最大体积是多少立方厘米？ 6．某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少? 7．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少? 8．有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？ 9．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值． 10．7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵．种树最少的小队最少种了多少棵树? 11．四位数能被18整除，要使这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？ 12．用3个不同数字（不包括0）组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是1776，则其中最小的那个三位数是多少？ 13．有一个位数,在它的两头各添上一个1以后就变成一个位的数.若是的99倍,求当最小时,的值. 14．一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？ 15．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为K，如果K为整数，那么K的最大值是多少？ 16．把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 17．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？ 18．1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数。现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积。那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？ 19．用1、2、3、4、5、6六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？ 20．某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000m， 从乙店经过丙店到甲店要走3500m，从丙店经过甲店到乙店要走2500m．哪两家的店距离最近？相距多远？ 21．在9×9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些格则空着。问空格数最少是多少？ 22．在算式2＋3×4＋5×6＋7×8中添加一个括号，使得计算出的最大结果是多少？ 23．在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？ 24．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少? 25．一把钥匙只能开一把锁，现有五把钥匙、五把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试开多少次才能配好全部的锁和钥匙？ 26．如图，一个边长为10厘米的正方形ABCD，在两边AB和AD上分别有点E和点F，AE=5厘米，AF=6厘米，请你在BC或CD边上选一点，并与原有的两点连成一个三角形，使三角形的面积尽可能地大，求这个三角形面积的最大值． 27．一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最小值是多少？当取到最小值时，这组数是怎样构成的？ 28．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 29．把123，124，125三个数分别写在下图所示的A，B，C三个小圆圈中，然后按下面的规则修改这三个数。第一步，把B中的数改成A中的数与B中的数之和；第二步，把C中的数改成B中（已改过）的数与C中的数之和；第三步，把A中的数改成C中（已改过）的数与A中的数之和；再回到第一步，循环做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运算几步，那么124应填在哪个圆圈中？   30．4个人的年龄和是100岁，其中最小的17岁，且四人的年龄都不相同，那么年龄最大的最多是几岁？ 31．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数． 32．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 33．有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有10个停车站．如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站坐到以后的每一站．为了使乘客都有座位，那么这辆公共汽车上至少要有多少个座？ 34．一次考试满分100分，5个同学平均得分92分，且各人得分是不相同的整数．已知分数最少的80分．那么第三名同学最少得多少分？ 35．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？ 36．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？ 37．要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米的钢管，那么只有当锯得的38毫米的钢管和90毫米的钢管各多少段时，所损耗的钢管才能最少？ 38．某甲于上午9时15分由码头划船出游，最迟于中午12点返回原码头．已知河水的流速为1.4千米/小时，划船时，船在静水中速度可达3千米/小时，如果甲每划30分钟就要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，求甲最多能划离码头多远． 39．三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了场，乙打了场时，丙最多打几场？ 40．一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米? 41．有5位同学收集汽车票，他们共有3张1元、3张2元、2张5元和4张10元的车票，这五位同学每人的车票价钱数各不相同，问：收集汽车票价钱最多的同学最少收集了多少元的汽车票？ 42．科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点，越野车装满油从起点出发，到储油点时从车中取出部分油放进储油点，然后返回出发点，加满油后再开往，到储油点时取出储存的油放在车上，从出发点到达终点．用队长想出的方法，越野车不用其他车帮助就完成了任务，那么，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．294． 【详解】试题分析：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；表示出这12个乘积的和s=（21﹣a）×a+（21﹣b）×b+（21﹣c）×c=21×（a+b+c）﹣（a2+b2+c2），进而根据不等式的性质，求出s的最大值是多少即可． 解：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c， 则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21； 这12个乘积的和s=（21﹣a）×a+（21﹣b）×b+（21﹣c）×c =21×（a+b+c）﹣（a2+b2+c2） ≤441﹣ =441﹣ =441﹣147 =294 当且仅当a=b=c=7时，取“=”． 答：这12个乘积的和最大是294． 点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是不等式性质的灵活应用． 2．5700分   第9关 【详解】解：打通第一关得到800分，打通第二关得到1600分，其间得到奖励分500分，共2100分，在得到2000分时又获得奖励500分，共得2600分，第三关得到2600+800=3400分，其间得到奖励分500分，共得3900分，第四关得到3900+800=4700分，其间在4000分时获得奖励500分，共计5200分，其间在5000分时获得奖励500分，所以在打通第四关时得分是5700分． 假定打到某一关时得分超过12000分，那么由于满整千分就可以得到奖励分，因此在得到12000分以前，已经获得了11次奖励，共得奖励分最多为500×11=5500分，所以各层打的分至少有12000-5500=6500分，每关得分800，6500÷8=8……100，因此至少要打到第9关． 3．30岁 【分析】三个人的平均年龄是22岁，那么三个人的年龄和是66岁，没有小于18岁的，可以令年龄最小的人刚好是18岁，当有两个人都是18岁时，另一人的年龄最大。 【详解】（岁） （岁） 答：最大的人的年龄可能是30岁。 【点睛】当总数一定时，一个量增加，另一个量必然减少，当其中一个取最小值的时候，另一个取最大值。 4．3次 【详解】最多试3次． 第一次，3把锁，拿一把钥匙，最多2次即可确定一把相应的锁． 第二次，2把锁，拿一把钥匙，最多1次即可确定一把相应的锁． 第三次，1把锁，不用试，即可确定． 总共，2+1=3次，3把锁即可全部确定． 5．围成一个正方体时，体积最大，最大为216立方厘米 【详解】由于长方体分别有四条高、长、宽，不妨设为a、b、c，因此，因此，问题转化为已知a+b+c=18，求abc的最大值．显然，当这三个数相等，即a=b=c =6时，即围成一个正方体时，体积最大，此时体积为6×6×6=216（立方厘米）． 6．原数最小是102564． 【详解】设原数的十位数字为A，百位数字为B，千位数字C… 那么A是新数的个位数字，由4×4＝16，知A＝6．又由6×4+1＝25，推得B＝5． 依次类推，可以得到C＝2，D＝0，E＝1． 这时竖式变为102564×4＝410256，成为一个完整的算式． 因此原数最小是102564． 7．312 【详解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我 们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7． 然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算． 8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312; 9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313． 所以，最小值为312． 8．74 【详解】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来． 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(个)，其中个用黑色． 这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米． 9．60483 【详解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小． 则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93． 则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20． 所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483． 类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795． 10．7 【详解】我们知道种树较多的6个小队最多能种18+17+16+15+14+13＝93棵，所以，最少的小队最少种100－93＝7棵． 11．a＝1，b＝6 【分析】18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除. 【详解】要被2整除，b只能是0，2，4，6，8. 再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11. 如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740； 如果b=2，只有a=5，此数是7542； 如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344； 如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146； 如果b＝8，只有a＝8，此数是7848. 因此其中最小数是7146.此时a＝1，b＝6． 12．125 【详解】设这三个数字为a、b、c，那么由这三个数组成的六个不同的三位数分别是； 这六个数的和是： 若这六个数的和是1776．则a+b+c=1776÷222=8 因为8=1+2+5=1+3+4，因此其中最小的那个数是125． 13．112359550561797752809 【详解】由已知,有,且有:. 故,. 用1000…除以89直到首次余88为止,不难求出: 112359550561797752809. 14．9876504 【详解】略 15．79 【详解】解：设这个三位数的各位数字之和为a，由三个数字均不为零，知3≤a≤27． 当a≤9时，对每一个确定的a，要使K最大，应使这个三位数最大，即十位数字和个位数字都取1，百位数字取（a-2），当a=3，4，5，6，7，8，9时，K=37，52.75，62.2，68.5，73，101.83，79，因此当a≤9时，最大的整数K=711÷（7+1+1）=79．下面证明K=79是最大的． 若a=10，则aK的个位数字是0，即这个三位数的个位数字是0，与题意不符． 若a=11，则三位数最大是911，911÷11=82.8，商不是整数．而81×11=891，82×11=902，80×11=880均不合要求． 若a=12，最大的三位数是921，而921÷12<79 若a≥13，由于a×79≥13×79=1027＞1000，这与题意不符． 综上所述，K的最大值是79． 16．224 【详解】1到10的乘积里会出现和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224。 17．15个；1人． 【详解】试题分析：因为至多就是每个组人数尽量少，1+2+3+4+4+…15=120，而135﹣120=15，所以这15人再每个小组分给1人，最后一个小组分2人，即第一组1人，第二组3人，第三组4人，第五组5人…第15组17人，由此得出至多可以分成15个组，人数最少的那组有1人． 解：因为1+2+3+4+5+…15=120，而135﹣120=15 所以1+3+4+4+5+6+7+…+17=135 所以至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人． 答：至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人． 点评：关键是明确至多可以分成多少个组就是每个组人数尽量少，所以应该从一个组一个人开始试着进行推算． 18．43人 【分析】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处？ 【详解】考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式。因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数。 但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢？构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求。 答：选为仪仗队的运动员最少有43人。 【点睛】在求解构造论证的题目时，可以使用反证法，先进行假设，如果有矛盾，则假设错误。 19．最大乘积是342002，最小乘积是33210 【详解】要使乘积最大，不仅百位上的数一定是5和6，十位上的数一定是3和4，个位上的数只能是1和2，而且要使组成的三位数的差尽可能小．由于631-542=89，632-541=91，因此最大的乘积是631×542=342002． 同理，要使乘积最小，必须百位上为1和2，十位上为3和4，个位数上为5和6，并且这两个数的差尽可能大，这两个数为135和246，此时最小乘积为33210． 20．甲到乙最近；1000米． 【详解】解：设从乙店到丙店为x米,由题意列方程： 3000-x+3500-x=2500 解得，x=2000 所以甲到乙距离：3000-2000=1000（米） 乙到丙距离：3500-2000=1500（米） 所以甲到乙最近是1000米． 21．9个 【分析】考虑到甲虫总是斜着爬，我们把棋盘黑白相间染色，发现原来黑色格子里的甲虫都会爬到黑色的格子里面，而白色格子里面的甲虫都会爬到白色格子里面，所以我们只用观察最少能空出多少个黑格子，多少个白格子。 【详解】因为甲虫每次都从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，而由奇数行有25个黑格子，偶数行有16个黑格子知，偶数行的16只甲虫爬到奇数行会空出9个黑格子，而奇数行的25只虫子爬到偶数行就可以没有空格。白格子虫子也会从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，但是奇数行和偶数行都是20个格子，最少的情况下不会出现空格子，所以最少出现9个空格。 【点睛】此题还可以用下列方法求解： ①对2×2棋盘如下黑白染色，则易知两黑格及两白格分别对换甲虫即可使棋盘格不空；从而得到2n×2n棋盘可划分为若干块2×2棋盘，棋盘格均不空。 ②对3×3棋盘如下黑白染色，注意到图中有5个黑格，黑格中的甲虫爬行后必进入黑格，且四个角上的黑格内的甲虫必爬人中心黑格，而中心黑格内的甲虫只能爬人某一格，必至少空3个黑格。 ③对5×5棋盘黑白染色后，利用①、②的结论易知至少空5个黑格。 ④依次类推，可知对9×9棋盘黑白染色后，至少空9个空格。下图是甲虫爬行的一种方法。 22．986 【分析】没有数字0和1时，几个数的乘积一般比它们的和大，因此应该把这个算式变成尽量多的数相乘，观察算式可知，添加一个括号可以出现三个数相乘，尝试可得出最大结果。 【详解】要使结果最大，尽可能出现连乘。由分析可添加括号为：2＋3×（4＋5×6＋7）×8； 2＋3×（4＋5×6＋7）×8 ＝2＋3×41×8 ＝2＋984 ＝986 答：计算出的最大结果是986。 【点睛】多个数连乘的结果一般比这些数的和大，怎样添加括号使算式包含多个数连乘是思考问题的关键。此外，通过变大乘数也能使结果变大，如何使乘数变大也是考虑的方向之一。 23．48枚 【分析】8×8的正方形网格，总共有64个位置，要使得每行、每列及每条斜线上都有偶数个棋子，那么先假设把6个位置全部放满，然后减少，但减少的时候每行、每列要减少偶数个，同时还要兼顾剩下的棋子最多。 【详解】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格。而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格。由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格。其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意。此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示。 答：最多可以放48枚棋子。 【点睛】国际象棋的棋子是放在格子中的，而不是放在格点上，这一点与中国象棋不同，不能搞错了。 24．1989 【详解】设原四位数为，其反序数是新四位数，依题意有： 显然通过千位和d大于a，于是可由个位得10+a－d＝2，即d－a＝8，故d＝9，a＝1． 由十位得b－c＝1，从而可以为1109，1219，1329，1439，1549，1659，1769，1879，1989共9个数，其中最大的为1989． 25．10次 【详解】至少要10次才能全部配好． 第一次，5把锁，拿一把钥匙，最多4次即可确定一把相应的锁． 第二次，4把锁，拿一把钥匙，最多3次即可确定一把相应的锁． 第三次，3把锁，拿一把钥匙，最多2次即可确定一把相应的锁． 第四次，2把锁，拿一把钥匙，最多1次即可确定一把相应的锁． 第五次，1把锁，不用试，即可确定． 总共4+3+2+1=10次，5把锁即可全部确定． 26．40平方厘米 【分析】先假设所求的点G在BC边上，并设BG=x厘米，直接求△EFG的面积比较困难，因此可由已知条件可用正方形的面积减去△AEF、△BEG与梯形FGCD的面积之和． △EFG的面积= 类似地可以讨论G在CD上的情况 【详解】解：假设所求的点在BC边上，设BG=x厘米 △EFG的面积 =100-15-2.5x-(70-5x)=15+2.5x 要使△EFG的面积最大，只要x取最大值就行了．因此G点应取在C点，此时BG=BC=10厘米．△EFG（即△EFC）的面积最大，为15+2.5×10=40（平方厘米） 再考虑CD边，假设CD边上有这样的点K，使得△EFK的面积最大．设DK=y厘米，则 △EFK的面积=100-15-2y-（75-5y）=10+3y 要使△EFK的面积最大，应使y的值最大，y最大为10，此时K点就是C点． 综上所述，所求的点即为C点，△CEF的面积最大，最大值是40平方厘米． 【点睛】最值点往往在特殊位置取得，或由极端情形出发，逐步调整到最值状态． 27．这组数之和的最小值是61；这组数是1、2、3、5、10、15、25 【分析】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8；最大的为25；可以将所有的情况都列举出来，然后找出这组数之和的最小值。 【详解】下面将所有的可能情况列出： l，2，3，4，…，25所有的和是35； l，2，3，5，…，25所有的和是36； 1，2，3，6，…，25所有的和是37； 1，2，4，5，…，25所有的和是37； 1，2，4，6，…，25所有的和是38； 1，2，4，8，…，25所有的和是40； 25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数。在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数。要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20＋5开始。 25＝20＋5＝19＋6＝18＋7＝17＋8＝16＋9＝15＋10＝14＋11＝13＋12 这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：16＋9＝15＋10＝14＋11＝13＋12 看这些谁能出现和最小的l，2，3，4，…，25中，检验发现没有可以满足的： 再看l，2，3，5，…，25，发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：1＋2＋3＋5＋10＋15＋25＝36＋25＝61 答：这组数之和的最小值是61；此时这组数是1、2、3、5、10、15、25。 【点睛】本题考查的是最值问题，在求解的时候需要考虑到所有可能的情况，需要进行分类讨论。 28． 【分析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，由内往外，有重复计算三次的，重复计算两次的，只计算一次的，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中。 【详解】13×4＋（12＋11＋10＋9）×3＋（8＋7＋6＋5）×2＋（4＋3＋2＋1） ＝52＋126＋52＋10 ＝240 答：和最大是多少是240。 【点睛】本题将容斥问题、最值问题、数阵图问题相结合，关键是区分每一个区域重复计算的次数。 29．124在A中时，运算的次数最多 【分析】可以分析当124分别处于A、B、C三个圈子中，分别需要多少步操作，可以得到全部是奇数的情况，然后选出所需步数最多的情况。 【详解】当124在A中时，每次运算后的状态分别为：偶奇奇—偶奇奇—偶奇偶—偶奇偶—偶奇偶—偶奇奇—偶奇奇，需6步完成操作。 当124在B中时，第一次后，B中的数字为偶数＋奇数＝奇数，而A、C也是奇数，运算完毕。 当124在C中，开始状态为奇奇偶，然后变为奇偶偶—奇偶偶—奇偶偶—奇奇偶—奇奇奇，需5步操作。 所以124在A中时，运算的次数最多。 答：124在A中时，运算的次数最多 【点睛】本题考查的是最优化的问题，当有多种情况时，可以进行分类讨论，找出最优解。 30．46岁 【详解】要让年龄最大的人年龄最大，那么其他的人的年龄的和就要最小；最小的人17岁，那么其他2人最小是18岁和19岁； 100-17-18-19=46(岁) 31．最大的是10112358，最小的是156 【详解】要得到最大的自然数，应使得这个自然数的位数尽可能地多．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的位数越少，所以若想按规则构造最大的自然数，前两个数字应取10，这类数中，最小的应是三位数，先考虑百位为1的自然数，若十位数字为a，则个位数字为（a+1），只有当a+（a+1）>9时，即a≥5时，才能保证按规则构造的数是三位数，取a=5． 答：这类数中最大的是10112358，最小的是156． 【点睛】在自然数中求满足条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较灵活，要仔细分析条件，进行深入细致的推理． 32．人 【分析】先分别求出会打乒乓球、会打羽毛球、会打排球的人数，然后根据容斥原理求解问题。 【详解】解：设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有人，只会打乒乓球和排球两项的有人，只会打羽毛球和排球两项的有人。由于只会三项运动中的一项的不可能小于，所以、、有如下关系： 会打乒乓球的人数：（人） 会打羽毛球的人数：（人） 会打排球的人数：（人） 将三条关系式相加，得到，而60人当中会至少一项运动的人数有 人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当、、分别取、、时，不等式组成立）。 答：这三项运动都不会的最多有4人。 【点睛】本题考查的是容斥原理与最值问题，可以画韦恩图表示各个量的关系，假设极端情况进行分析求解。 33．25个 【分析】根据题意，在起点有9个乘客上了车，第二站又上来8个乘客，下去一个乘客，我们列表写出具体情况： 站次 1 (起点) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (终点) 上车人数 9 8 7 6 5 4 3 2 1 下车人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因此，这辆车至少应有的座位数应该按上车人数最少的情况来考虑，也就是说按表所列上车人数的情况下，应保证每位乘客均有座位． 从表上看出，前五站上车人多下车人少，后五站上车人少下车人多，因此车上乘客最多时是在第五站乘客上下车后的人数． 【详解】车上的乘客在第五站时最多，此时汽车上的乘客人数为：（9+8+7+6+5）-（1+2+3+4）=35-10=25（个） 因此，车上至少要有25个座位，才能保证每个乘客都有座位． 【点睛】此题用枚举法也是不错的方法，只要将在每个站时车上的人数列出来，同样可以求出人数的最大值． 34．91分 【详解】5个同学的总分：92×5=460（分）； 另外4个同学的总分：460-80=380（分）； 要使第三名的分数最低,则其他4名的分数要尽量高；第一名最高 100 分,第二名最高99分； 第三名和第四名的分数和最低为：380-100-99=181（分）, 181÷2=90.5（分）,则第四名最高只能是90分, 第三名至少是：181-90=91（分） 35．应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵． 【分析】想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束： A种：由20朵花组成的花束价值4元 B种：由35朵花组成的花束价值6元 C种：由50朵花组成的花束每束价值9元 平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束 【详解】解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买．由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵． 因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵． 解法二：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数．可以先缩小字母的取值范围．例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束．同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16 36．95分 【分析】六位同学的总分为92.5×6=555分，要使第三名同学得分尽可能少，第二名应仅次于第一名的得分99分，因此第二名同学得98分，同时应使第四、第五名同学的得分尽可能与第三名同学的得分接近． 【详解】解：第三、四、五名同学的总分是：92.5×6-99-98-76=282（分） 由于282÷3=94分，因此要使这三名同学得分接近，应为95、94、93分．所以按分数从高到低排列居第三名的同学至少得95分． 37．当锯得38毫米的钢管7段，90毫米的钢管8段时，钢管的损耗最少． 【分析】要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余． 【详解】解：设38毫米、90毫米的钢管分别锯了x段、y段，一共需要锯（x+y-1）次，由题意得： 38x+90y+（x+y-1）=1000，并且要使x+y最小，化简方程得 y=11-，由于x、y都是正整数，得： 要使锯的次数最少，应取x=7，y=8 即当锯得38毫米的钢管7段，90毫米的钢管8段时，钢管的损耗最少． 38．甲最远离开码头1.7千米 【分析】甲从上午9时15分到中午12时返回码头，共划行2小时45分钟，即165分钟．他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，由165=30×4+15×3，可得甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟的休息． 分两种情况讨论： （一）甲先向下游划，由于只有4个划行时间段，还要原路返回，故甲最多只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则他将无法返回． （二）甲先向上游划，则他至少可以用2个30分钟的时间段向上游划． 【详解】解：先假设甲向下游划，则他划行30分钟，休息15分钟共航行的距离为： （3+1.4）×0.5+1.4×0.25=2.55（千米） 返回时用3个30分钟，2个15分钟休息，可得航行的距离为：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时将不能回到出发地． 如果甲开始向上游划，划了3个30分钟的时间段，并休息了2个15分钟后，从第3个休息的15分钟起就已经随水流向回去的方向开始漂移． 因此，甲离开码头最远的距离为：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米 答：甲最远只能离开码头1.7千米 【点睛】当题目中没有指明航行的方向时，应分情况讨论．另外要注意题目中单位的一致． 39．场 【分析】可以假设极端情况，甲、乙都只与丙打，这样丙可以打15场，但是但甲比乙多打3场，所以甲不全是和丙打，还会和乙打。 【详解】甲、乙都只与丙打，丙可打（场） 但甲比乙多打（场） 不算最后一场输赢，甲应赢丙（场） 这样总场数为（场） 丙打了（场） 答：丙最多打11场。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的最值问题，对于最值问题，可以考虑极端情况求解问题。 40．48 【详解】如下图所示，我们将长方体的顶点标上字母： 注意到，我们尽量让小虫多走长方形的长，此时有A→B→C→D→A→E→F→G→H→E，小虫共走了6+5+6+5+4+6+5+6+5＝48分米． 当然与上面的路线对称的路线也是符合题意的． 所以，小虫最多能爬48分米． 41．15元 【解析】略 42．800千米 【详解】汽车从起点行驶到点时，首先要消耗掉往返间路程的油，留下的油要保证再次到点时油箱还是满的，所以这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是（千米） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$