第八章 立体几何初步 章末测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章《立体几何初步》章末测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D C D A B A ACD CD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法不正确的是（　　） A. 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 B. 若两条直线没有公共点，则这两条直线异面直线 C. 若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈l D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 解：若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A正确．若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，也可能平行，故B错误．若a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β.因为α∩β＝l，所以A∈l，故C正确．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确. 2. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 解：梯形中，，而， 则梯形的高， 因此梯形面积， 而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的， 所以原图形OABC的面积为. 3. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 解： 对于A项，如图正方体中， 平面平面，平面， 但是，平面，故A错误； 对于B项，如图正方体中， 平面，平面，，， 但是，平面，故B错误； 对于C项，如图正方体中， 平面平面，平面平面， 但，平面平面，故C错误； 对于D项，因为，， 根据线面垂直的性质定理可知，. 又，所以，故D项正确. 4. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 解：设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 5. 如图，在正四棱台中，棱，，夹角为，，则棱，的夹角为（ ） A. B. C. D. 解：由棱台的定义可知，分别延长，，，交于点P，连接AC， 如图， 在正四棱台中，棱，的夹角为，， 所以△PAB是边长为2的等边三角形，所以. 又在正方形中，,则， 所以， 所以，所以棱，的夹角为， 6. 在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. ，是异面直线， B. ，是相交直线， C. ，是异面直线，与不垂直 D. ，是相交直线，与不垂直 解：显然根据异面直线判定方法：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过点的直线是异面直线． 下面证明与垂直： 证明：因平面，平面， 所以， 因为，分别为的中点，连接， 所以， 因为，平面， 所以平面， 如图：取的中点，连接，， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为， 所以， 又因为为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 7. 如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ） A. 三点共线，且 B. 三点共线，且 C 三点不共线，且 D. 三点不共线，且 解：连接连接，， 直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解： 过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等腰梯形中，，以CD所在直线为轴，其余三边绕CD旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有（ ） A. 等腰梯形ABCD的高为1 B. 该几何体为圆柱 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 解：因为在等腰梯形ABCD中，，，， 所以等腰梯形ABCD的高为， 该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥，A正确，B错误． 该几何体的表面积， 体积，C、D正确． 10. 如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意，可将几何体补全为如图所示正方体， 不妨设，则，， 三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 是边长为的正三角形，所以． 根据正方体的性质可得平面， 因平面,所以, 同理，又，平面，平面， 所以平面， 又，所以平面，且， 从而三棱锥的体积， 所以，. 11. 已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 的最小值为 C. 若，则圆锥与圆台的体积之比为1:8 D. 若为圆台的外接球球心，则圆的面积为 解：由题意可作图如下： 由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，则，， 可得圆锥的高. 对于A：，A选项正确； 对于B：已知，设点在底面的投影为，如下图所示： 则，所以，B选项正确； 对于C：由题意可作图如下： 当时，，所以， 又，所以，C选项错误； 对于D：由题意可作图如下： 若点是圆台的外接球球心，则由， 解得，所以，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为__________. 解：由题意得：该几何体的底面半径为，高为的圆锥，则母线为， 所以. 13. 正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为______． 解：在正方体右侧作出一个全等的正方体，连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 14. 四面体中，，，，且异面直线和所成的角为，若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为_________. 解：四面体中，，，异面直线和所成的角为，可得如下示意图：过B点作且，连接， 则有且面， 如下图，若为外接圆圆心，则可找到外接球圆心，为BC的中点，即，外接球半径为， ∴四边形为矩形，， ∴在平面中有，可得， 令，则四面体的体积， 而由余弦定理知：，即当且仅当时等号成立，所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点. （1）求圆柱的表面积 （2）求四棱锥的体积的最大值 解：（1）如图： 连接BD，在中，，，， 由余弦定理，得， 所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得， 所以，故圆柱的表面积； （2）由（1）知，中，，， 由余弦定理，得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，又， 所以四棱锥的体积， ， 故四棱锥的体积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点. （1）证明：//平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 解：（1）在四棱锥中，菱形的对角线，交于点N，则N是的中点， 而M为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点F，连接，，，如图， 菱形中，由，得是正三角形，有， 由，得，又平面平面，平面平面， 而平面，平面，因此平面，平面， 设，则，，， 在中，由余弦定理得， 则，因为，平面，平面， 于是平面，则点C到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 17. 如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 解：（1）在图1中连接交于，则， 所以在图2中，，因为为平面中的两条相交直线， 所以平面，又平面，所以； （2）由（1）可知，为二面角的平面角， 在中，， 由余弦定理，得，因为， 所以，所以二面角的大小为. 18. 如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点． （1）当P为线段中点时，求证：平面平面； （2）当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角P-AB-C的余弦值． 解：（1）由题意，，，，平面，故平面， ∵平面，∴， ∵P为的中点，∴，且，平面 ∴平面， 又∵平面ABP，∴平面平面. （2）由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为， 故，解得． 作，，连接PN如图． 则平面ABC，又平面ABC，故． 又，平面PMN，故平面PMN，故∠PNM为二面角P-AB-C的平面角， 又，，故， 故， 即二面角P-AB-C的余弦值为. 19. 已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值. 解：（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以. 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. （2）过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面，因为平面，所以， ，，平面，所以平面， 所以与平面所成角. 由（1）知，平面，平面，所以, 在中，因为，，所以， 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得. 所以与平面所成角的正弦值为. （3）取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面. 所以，过点作，垂足为，连接，， ，平面，所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角. 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得. 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，即二面角的平面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章《立体几何初步》章末测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法不正确的是（　　） A. 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 B. 若两条直线没有公共点，则这两条直线异面直线 C. 若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈l D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 3. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正四棱台中，棱，，夹角为，，则棱，的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. ，是异面直线， B. ，是相交直线， C. ，是异面直线，与不垂直 D. ，是相交直线，与不垂直 7. 如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ） A. 三点共线，且 B. 三点共线，且 C 三点不共线，且 D. 三点不共线，且 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等腰梯形中，，以CD所在直线为轴，其余三边绕CD旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有（ ） A. 等腰梯形ABCD的高为1 B. 该几何体为圆柱 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 10. 如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 的最小值为 C. 若，则圆锥与圆台的体积之比为1:8 D. 若为圆台的外接球球心，则圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为__________. 13. 正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为______． 14. 四面体中，，，，且异面直线和所成的角为，若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点. （1）求圆柱的表面积 （2）求四棱锥的体积的最大值 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点. （1）证明：//平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 18. 如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点． （1）当P为线段中点时，求证：平面平面； （2）当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角P-AB-C的余弦值． 19. 已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$