3.3 垂径定理 导学案 -2023--2024学年北师大版数学九年级下册

3.3 垂径定理 新课导学 知识点1 垂径定理 垂直于弦的直径①  平分  这条弦，并且平分弦所对的两条②  弧  . 常用思维：过圆心，作垂线，连半径，构造直角三角形，用勾股定理求长度. 【例1】 如图，是的直径，弦于点，，，则（ C ）. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 对点训练1 [2023·南海区校级模拟]如图，线段是的直径，于点，若的长为16，的长为6，则的半径是（ D ）. A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 知识点2 垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径③  垂直  于弦，并且④  平分  弦所对的两条弧. 推论2：弦的垂直平分线经过⑤  圆心  ，并且平分弦所对的两条弧. 推论3：平分弦所对一条弧的直径⑥  垂直  平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 常见思维：有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分，设未知数，利用勾股定理列方程求解. 【例2】 如图所示，一圆弧过方格的格点，，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ C ）. A. B. C. D. 对点训练2 如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点，，，已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为      . 知识点3 垂径定理及其推论在日常生活中的应用 【例3】 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为. （1） 求拱桥所在圆的半径； 解：如图，设拱桥所在圆的圆心为，连接,,易知,，共点共线.，为 的中点.，.设，则.在 中，根据勾股定理，得，解得. 答：拱桥所在圆的半径是. （2） 有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，判断此货船能否顺利通过这座圆弧形拱桥，并说明理由. [答案] 如图，连接,，船舱顶部为长方形并高出水面，，.在 中，，. . 此货船能顺利通过这座拱桥. 对点训练3 如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧形，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米. （1） 求该圆弧所在圆的半径； 解：如图，设 所在圆的圆心为，为 的中点，于点，延长 经过点，则（米），设 的半径为 米，在 中，由勾股定理,得，即，解得，即该圆弧所在圆的半径为2米. （2） 在距蔬菜棚的一端（点）米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度. [答案] 如图，过点 作,交 的延长线于点，则（米），米，在 中，（米），（米）， （米），即支撑杆 的高度为0.4米. 课堂通关 第一关 过基础 1. 如图，在中，于点，交于点，，弦，则的长为（ B ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（ B ）. A. 7 B. 8 C. D. 10 3. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，的半径为3米.若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ D ）. A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 4. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度是      . 第二关 过能力 5. 如图，的半径为2，直径垂直于弦，垂足为， ，则弦的长为  2  . 6. 如图，的两条弦，互相垂直于点，，，，则的半径长为      . 第三关 过思维 7. 如图，已知圆的割线交圆于，两点，与圆交于点，且，. （1） 求圆的半径； 解：过点 作 于点（图略），则.,在 中，,在 中，,即 的半径为. （2） 求的面积. [答案]. 8. 如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点.若是的中点，求的长. 解：如图，连接，交 于点 是 的中点， ，， .，， 是 的中位线，是直径， .,,,，，，，.在 中，. 学科网（北京）股份有限公司 $$