3.6 直线和圆的位置关系 导学案 -2023--2024学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系（1） 新课导学 知识点1 直线与圆的三种位置关系 1. 直线和圆有唯一的公共点时，这条直线叫圆的①  切线  ，这个唯一的公共点叫②  切点  . 2.直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种. 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线 与 相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线 与 相交 【例1】 （根据九年级北师大版教材P91习题3.7第1题改编）如图,在矩形中，，，以点为圆心，为半径作. （1） 当半径为何值时，与直线相切； 解： 四边形 为矩形， ， ，. 圆心 到 的距离为，与直线 相切，， 当半径 为3时，与直线 相切. （2） 当半径为何值时，与直线相切； [答案] 如图，连接，过点 作 于点 在 中，，，.又， 圆心 到 边的距离 当半径 为2.4时，与直线 相切. （3） 当半径的取值范围为什么时，与直线相交且与直线相离. [答案] 与直线 相交，圆心 到 边的距离为，.又 与直线 相离，圆心 到 的距离为， 当半径 的取值范围为 时，与直线 相交且与直线 相离. 对点训练1 在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为3的圆（ B ）. A. 与轴相交，与轴相切 B. 与轴相离，与轴相切 C. 与轴相离，与轴相交 D. 与轴相切，与轴相离 知识点2 圆的切线的性质 圆的切线垂直于过切点的③  半径  . 【例2】 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若 ，则的度数为（ D ）. A. B. C. D. 对点训练2 如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接，若 ，则的度数为（ C ）. A. B. C. D. 知识点3 运动中的圆与直线相切 【例3】 如图，直线分别与轴，轴交于点，，在直线上取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点的坐标为. （1） 若，求的值； 解：作 于点（图略）,,当 时，,,,.在 中,,.把 的坐标代入,得. （2） 在（1）的条件下，有一动点从点出发，沿着射线方向以每秒1个单位的速度运动，以点为圆心，作半径为的圆，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点作直线垂直于轴，点与点同时分别从点，点开始运动，问经过多少秒后，直线和相切. [答案] 设点 到直线 的距离为.作 轴于点（图略）,则.①当 时,,,由,得；②当 时,,或,解得 或；③当 时,,,解得.由于,故舍去. 综上所述,或 或. 对点训练3 如图，直线，与和分别相切于点和点.点和点分别是和上的动点，沿和平移.的半径为1， .下列结论错误的是（ B ）. A. B. 若与相切，则 C. 若 ，则与相切 D. 和的距离为2 课堂通关 第一关 过基础 1. 在中，，是角平分线.以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ B ）. A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 2. 平面内，的半径为3，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能为（ D ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知的半径为3，点到直线的距离为，若直线与公共点的个数为2，则可取值为（ A ）. A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心、以为半径作圆与轴相交，且原点在圆的外部，那么半径的取值范围是（ C ）. A. B. C. D. 第二关 过能力 5. 如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，则沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是（ D ）. A. B. C. D. 或 6. 如图，在梯形中，， ，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的与边只有一个公共点，则的取值范围是（ B ）. A. B. C. D. 第三关 过思维 7. 如图，的半径是3，点在上，点是所在平面内一点，且，过点作直线，使. （1） 点到直线距离的最大值为  5  ； （2） 若点，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为      . 8. 如图，直线，相交于点， ，半径为的的圆心在直线上，开始时，.如果以的速度沿由向的方向移动，那么当的运动时间为  4或8  时，与直线相切. [解析]当点 在射线 上时，与 相切，如图1，过点 作 于点，. ，，的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，移动所用的时间；当点 在射线 上时，与 相切，如图2，过点 作 于点，. ，，的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，移动的时间.综上所述，或.故答案为4或8. 第2课时 直线和圆的位置关系（2） 新课导学 知识点1 切线的判定 过半径外端且①  垂直  于这条半径的直线是圆的切线. 【例1】 下列直线中可以判定为圆的切线的是（ D ）. A. 与圆有公共点的直线 B. 经过半径外端的直线 C. 垂直于圆的半径的直线 D. 与圆心的距离等于半径的直线 对点训练1 下列四个选项中的表述，一定正确的是（ C ）. A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 知识点2 切线的证明技巧 （1）有交点，连半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径. 【例2】 如图所示，为的直径，为上一点，过点的直线于点，平分.求证：是的切线. 证明：如图，连接，平分， . ，， ，. ， ， ，为 的半径，是 的切线. 对点训练2 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点.求证：是的切线. 证明：如图，连接，是 的中点，，， . ，.又 为 的半径，是 的切线. 知识点3 切线的判定与性质的综合应用 【例3】 如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点，交边于点，作于点. （1） 求证：是的切线； 证明：如图1，连接，是等边三角形， .， .， . . . 点 在 上，是 的切线. （2） 若的边长为4，求的长度. 解：如图2，连接，. 为 的直径， .，是等边三角形， ， ，. 对点训练3 如图，是的直径，是的弦，过点作于点，延长至点，且与相切，切点为，连接并延长交的延长线于点，连接. （1） 求证：是的切线； 证明：如图，连接，则 于点,，，，与 相切于点，， .是 的半径，是 的切线. （2） 若，,求的值. 解：是 的直径，，, ， ，. ，， ，，，，，，，， ，，. 知识点4 三角形的内切圆与内心 1. 三角形的内切圆：与三角形的三边都②  相切  的圆是三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心是三角形的三条③  角平分线  的交点，叫做三角形的内心. 【例4】 在中， ，点是的内心，则      ，若点为的外心，则      . 对点训练4 在中， ，，，为的内心，于，则  1  ，  2  ，      . 课堂通关 第一关 过基础 1. 下列说法中正确的是（ B ）. A. 与圆有公共点的直线是圆的切线 B. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D. 经过圆的半径的外端点的直线是圆的切线 2. 如图，是的弦，是过点的直线， ，当的度数为      时，是的切线. 第二关 过能力 3. 如图，为的直径，为上一点，点是的中点，于点，于点. （1） 判断与的位置关系，并证明你的结论； 解：与 相切.理由：如图，连接，， 点 是 的中点，，，，，，，是 的半径，与 相切. （2） 求的值. [答案] 如图，作 于点，，. ，，，. 4. 如图，是的直径，，都是上的点，且平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点. （1） 求证：是的切线； 证明：如图，连接，平分，，，， .在 上，是 的切线. （2） 若，，求的长. 解：如图，连接 交 于点，是 的直径， .，， ，， ，，，，是 的中位线，， ， 四边形 是矩形，. 第三关 过思维 5. 如图，在中， ，的平分线交于点，为上的一点，，以点为圆心，长为半径作，，. （1） 求证：是的切线； 证明：如图，过点 作 于点，为 的切线， ,. 平分，,,是 的切线. （2） 求线段的长. 解：在 和 中，，，，. 在 和 中，,,,，,即，. 学科网（北京）股份有限公司 $$