1.1集合的概念学案+限时训练-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1章 集合与常用逻辑语 答案与解析 1.1　集合的概念 第1课时 集合的含义 【知识清单】 ①研究对象 ②a，b，c，… ③A，B，C，… ④一样的 ⑤确定性 ⑥互异性 ⑦无序性 ⑧a是集合A的元素 ⑨a∈A ⑩a不是集合A中的元素 ⑪ a∉A ⑫ N ⑬N*或N＋ 【牛刀小试】 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．C　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素． 3．(1)∉　∈　∉　∉　∈　(2)∈　∉ 4．3　由题意可知a＋1＝4，即a＝3. 〔变式训练1〕 1．(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合． (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素． 考点二 元素和集合的关系 〔变式训练2〕 1．0,1,2　 ∵∈N， ∴3－x＝1或2或3或6， 即x＝2或1或0或－3. 又x∈N，故x＝0或1或2. 即集合A中的元素为0,1,2. 2．－4＜a≤－2　因为1∉A,2∈A，所以即－4＜a≤－2. 〔变式训练3〕 1．由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1. 2．　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素， 所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. 第1课时 集合的含义限时练 A组 1．C　 A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C. 2．B　B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B. 3．D　>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确． 4．D　由题意知a应为无理数，故a可以为. 5．D　因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D. 6．A　由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A. 7．AC　若a＝2，则6－2＝4∈A； 若a＝4，则6－4＝2∈A； 若a＝6，则6－6＝0∉A，故选AC. 8．CD　由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2. 所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2. 故方程的另一根为－1.选CD. 9．{k|k≠±1}　∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1. 10．(1)∉　∈　(2)∉　∈　(3)∉　∈　[(1)∵2＝>，∴2∉B；∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋∈B. (2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C. (3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，－1是数， ∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D. 11．因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0. (1)当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1. 由(1)知x＝0应舍去． 综上知：x＝1，y＝0. B组 12．3　0　当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2. 当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2. 当a，b异号时，＋＝0. ∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0. 13．[证明]　(1)若a∈A，则∈A. 又因为2∈A，所以＝－1∈A. 因为－1∈A，所以＝∈A. 因为∈A，所以＝2∈A. 所以A中另外两个元素为－1，. (2)若A为单元素集， 则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠， 所以集合A不可能是单元素集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑语 1.1　集合的概念 第1课时 集合的含义 限时练 A组 1．下列各组对象不能构成一个集合的是(　　) A．不超过20的非负实数 B．方程x2－9＝0在实数范围内的解 C.的近似值的全体 D．某校身高超过170厘米的同学的全体 2．下列各组对象不能构成集合的是(　　) A．拥有手机的人　 B．2019年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 3．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　) A.∈M B．0 ∉M C．1∈M D．－∈M 4．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－5 C. D． 5．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 7．(多选题)集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　) A．2　　　　 B．－2　　　　 C．4　　 D．0 8．(多选题)已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　) A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2M 9．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________． 10．用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B,1＋________B； (2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C； (3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1,1)________D. 11．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值． B组 12．(一题两空)若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________，所有元素的和为________． 13．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑语 1.1　集合的概念 第1课时 集合的含义 【教学目标】 1.通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点) 【核心素养】 1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养． 2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养. 【知识清单】 1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把① 统称为元素，常用小写的拉丁字母② 表示． (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母③ 表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是④ ，就称这两个集合是相等的． (4)集合中元素的特性：⑤ 、⑥ 和⑦ ． 思考1：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？ 提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准． (2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定． 2．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果⑧ ，就说a属于A ⑨ “a属于A” 不属于 如果⑩ ，就说a不属于A ⑪ “a不属于A” 思考2：设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？ 提示：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A. 3．常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ⑫ ⑬ Z Q R 【牛刀小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)所有的正三角形组成一个集合． (　　) (2)高中《数学必修第一册》课本上的所有难题组成一个集合． (　　) (3)由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是同一个集合． (　　) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　) (5)集合N中的最小元素为0. (　　) (6)若a∈Q，则一定有a∈R. (　　) 2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　 D．4 3．用“∈”或“∉”填空： (1)________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R. (2)若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A,2______A．(用∈或∉填空) 4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________. 【方法点拨】 考点一 集合的基本概念 【例1】　(教材P5练习T1改编)考察下列每组对象，能构成集合的是________． ①与定点A，B等距离的点； ②高中学生中的游泳能手； ③中国各地最美的乡村； ④直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ⑤不小于3的自然数． 【解析】①④⑤　[②中“能手”和③中“最美”标准不明确，不符合确定性，①④⑤中的元素标准明确，均可构成集合．] 〔变式训练1〕 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． 考点二 元素和集合的关系 【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①；②；③；④. A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　 D．4 (2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 【解析】(1)B　(2)C　(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②是无理数，所以正确；③0不是正整数，所以错误；④|－5|＝5为正整数，所以错误．故选B. (2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N， 若a＝0，则4－a＝4， 此时A满足要求； 若a＝1，则4－a＝3， 此时A满足要求； 若a＝2，则4－a＝2， 此时A含1个元素不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.] 〔变式训练2〕 1．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 2．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R.若1∉A,2∈A，则实数a的取值范围为________． 考点三 集合中元素的特性及应用 【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 【解析】由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0. 〔变式训练3〕 1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值． 【核心素养提升】 1．记牢3个知识点 (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．掌握2种方法 (1)元素与集合关系的判定方法． (2)解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 3．规避1个易错点 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$