2.4 二次函数的应用 导学案 -2023--2024学年北师大版九年级数学下册

2.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数的应用——最值问题 新课导学 知识点1 图形面积最大问题 1.求出函数表达式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 【例1】 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为，面积为. （1） 用含有的代数式表示； 解： 篱笆的总长为，的长为，的长为， 矩形花圃的面积为，. （2） 如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ [答案] 根据题意，得，整理得，解得,. 当 时，，不符合题意，舍去. 当 时，，符合题意. 答：的长为. 对点训练1 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，围成的苗圃面积为，则关于的函数关系式为（ C ）. A. B. C. D. 知识点2 拱桥问题 解决拱桥问题的一般步骤： （1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐标；（3）合理设出函数表达式；（4）利用待定系数法求出函数表达式；（5）根据求得的表达式进一步分析、判断，并进行有关的计算. 【例2】 图1是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，建立如图2所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1） 如图2，求该抛物线的函数表达式； 解：设该抛物线的函数表达式为, 由已知可得，点 的坐标为 且点 在该抛物线上，,解得, 该抛物线的函数表达式为. （2） 当水面下降1米，到处时，水面宽度增加了多少米？（结果保留根号） [答案] 将 代入,得,解得, .,,即水面宽度增加了 米. 对点训练2 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米. （1） 作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； 解：作图如图. （2） 在（1）的条件下进行下列探究： ① 求抛物线的表达式； [答案] 由题意，设抛物线的表达式为, 米,米, 点 的坐标为. 将 的坐标代入，得, , 抛物线的表达式为. ② 当水面下降多少米时，水面宽为8米？ [答案] 由题意，水面宽8米，则,, 拱顶离水面 米. , 水面下降 米. 课堂通关 第一关 过基础 1. 如图，四边形中，，若，则四边形面积的最大值是（ C ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为平方米，则绿地面积与之间的函数表达式为（ A ）. A. B. C. D. 第二关 过能力 3. 如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为. （1） 球在空中运行的最大高度是多少米？ 解：因为抛物线 的顶点坐标为,所以球在空中运行的最大高度为. （2） 如果该运动员跳投时，球离地面的高度为，请问他距离篮筐中心的水平距离是多少？ [答案] 当 时，，解得.又因为,所以. 当 时，,又因为,所以. 由，故运动员距离篮筐中心的水平距离为. 第三关 过思维 4. [2023·龙岗区智民中学二模]如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点到的距离是，以所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系. （1） 求抛物线的表达式； 解：设抛物线的表达式为， 由题意得，，解得， 抛物线的表达式为. （2） 已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离（单位：）随时间（单位：）的变化满足函数关系式，且当水面到顶点的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这内，需多少小时禁止船只通行？ [答案] 画出 的图象如图，水面到顶点 的距离不大于 时，即水面与河底 的距离，当 时，，解得，. 答：需 禁止船只通行. 第2课时 二次函数的应用——销售问题 新课导学 知识点1 销售问题 销售问题常用等量关系 ： 利润收入-成本； 利润单件利润  销量   ； 利润（售价-进价）  销量  . 【例1】 某商场将进价为每件18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件每提高1元，日销售量就要减少10件.若设定价为每件元，则每件利润为      元，日销售量为      件，每天利润为      元；若设每件提高元，则每件利润为      元，日销售量为      件，每天利润为      元. 对点训练1 某件商品进价为每件30元，每天销量件与每件售价元满足，则  44  时，每天的利润最大，且最大利润为  1 960  元. 知识点2 利润中的分段问题 【例2】 星星服装厂生产品牌服装，每件成本为68元，零售商到星星服装厂一次性批发品牌服装件，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系. （1） 求与之间的函数关系式. 解：当 时，设 与 的函数关系式为，根据题意得 解得； 当 时，由图象可知. 综上，与 之间的函数关系式为 （2） 零售商到星星服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问为何值时，最大？最大值是多少？ [答案] 分两种情况： ①当 时，，， 图象开口向下，有最大值， 当 时，最大，的最大值为4 410； ②当 时，，，随 的增大而增大， 当 时，最大，的最大值为， 当 时，最大. 答：零售商到星星服装厂一次性批发 品牌服装 件，当 时，最大，最大值是4 410元. （3） 零售商到星星服装厂一次性批发品牌服装件，若星星服装厂欲获利不低于4 320元，请直接写出的取值范围. [答案] 或. 对点训练2 李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售.已知该品牌服装进价为每件40元，日销售量（件）与售价（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资为每人82元，每天应支付其他费用106元. （1） 直接写出日销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系式； 解：当 时，设 与 的函数表达式为，由图象可得 解得； 当 时，设 与 的函数表达式为，由图象得 解得. 综上所述，与 之间的函数关系式为 （2） 当某天服装的售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入支出），求该店员工人数； [答案] 设人数为，当 时，，则,解得. 答：该店员工人数为3. （3） 若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格为多少元? [答案] 设每天获得的利润为 元.当 时，, 当 时，的最大值为180. 当 时，，当 时，的最大值为171. ，的最大值为180. 答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格为55元. 课堂通关 第一关 过基础 1. 为喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数表达式为（ A ）. A. B. C. D. 2. 某厂今年七月份产品的产量为100吨，以后每月产品的产量与上月相比增长率都是，设九月份该产品的产量为吨，则关于的函数关系式为（ B ）. A. B. C. D. 3. 某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元.经调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 40 50 60 销售量（千克） 120 100 80 设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（ B ）. A. 1 800 B. 1 600 C. 1 400 D. 1 200 4. 某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件.设每件商品降价元（为整数），每星期的利润为元.以下说法错误的是（ D ）. A. 每件商品进价为40元 B. 降价后每件商品售价为元 C. 降价后每周可卖件 D. 每星期的利润为 第二关 过能力 5. 六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为元/千克（，且 为正整数）. （1） 若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的售价为多少元/千克？ 解：由题意得，解得. 答：该日水蜜桃的售价为20元/千克 . （2） 若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值. [答案] 根据题意得 ， 政府将销售价格定为不超过30元/千克， ，且 为正整数. ，时，有最大值，是800，时，有最小值是. 答：关于 的函数表达式为，的最大值是800，的最小值是600. 第三关 过思维 6. [2023·罗湖区八校联考]某公司电商平台在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量（件）是关于售价（元/件）的一次函数.已知，当时，；当时，. （1） 求与的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）. 解：设，由题意，得 解得 所以 与 的函数表达式为. （2） 若该商品的进价为30元/件. ① 当售价为多少元/件时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润； [答案]由题意得，所以当 时，周销售利润 最大，最大利润为7 200元. ② 因原料涨价，该商品进价提高了元/件，公司为回馈消费者，规定该商品售价不得超过75元/件，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6 000元，求的值. [答案] 由题意得，其对称轴为直线，时，的值随 值的增大而增大， 当 时周销售利润最大，，. 学科网（北京）股份有限公司 $$