1.6 利用三角函数测高 导学案 -2023--2024学年北师大版九年级数学下册

1.6 利用三角函数测高 新课导学 知识点1 测量底部可以到达的物体的高度 特别说明:所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离； 用相似三角形边的比计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中常常先考虑三角函数，用等角的三角函数值相等进行代换可以使过程简洁. 【例1】 （教材P22测量高度活动改编）如图，要测量物体的高度，步骤如下： （1）在测点处安置测倾器，测得点的仰角为 ； （2）量出测点到物体底部的水平距离； （3）量出测倾器的高度.根据测量数据，可求出的高度为      . 对点训练1 [2023·茂名期末]西周时期，周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表.如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为.已知冬至时该市的正午日光入射角约为 ，则立柱的高约为（ D ）. A. B. C. D. 知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度 特别说明:所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离； 用解直角三角形的知识解决实际问题通常是把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系，当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解. 【例2】 如图，要测量物体的高度，步骤如下：（1）在测点处安置测倾器，测得点的仰角为 ；（2）在测点与物体之间的处安置测倾器，测得此时的仰角为 ；（3）量出测倾器的高度，以及测点，之间的距离.借助,求出，则可得      . 对点训练2 [2023·茂名二模]数学实践小组想利用镜子的反射测量旗杆的高度.如图，点是镜子的位置，旗杆到镜子的距离是，小明站在处，眼睛到地面的距离，小明到镜子的距离是，，点，，在同一直线上，小明在镜子中刚好看见旗杆的顶点.现有条件①：；条件②：从处看旗杆顶部的仰角 为 .请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度.（注：若选两个条件分别作答，按第一个解答计分，参考数据 取， 取， 取） 解：选择条件①： 由题意,得，，， ，， ，，解得， 旗杆 的高度为. 选择条件②：如图，过点 作，垂足为. 由题意,得，，设， ，. 在 中， ， ， . 由题意,得，，， ，， ，，， ，解得， . 旗杆 的高度约为. 课堂通关 第一关 过基础 1. [2023·深圳一模]如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，坡角 ，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（ A ）. A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. [2023·深圳统考二模]在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度.如图，测量仪在处测得树顶的仰角为 ，在处测得树顶的仰角为 （点，，在同一条水平直线上），已知测量仪的高度米，米，则树的高度是（ D ）.（参考数据：，，） A. 12米 B. 12.65米 C. 13米 D. 13.65米 3. 如图，人字梯，的长都为2米.当 时，人字梯顶端到地面的高度是  1.5  米.（结果精确到.参考数据：，，） [解析]在 中，， ， ，（米）. 4. 如图，交警为提醒广大司机前方道路塌陷，在路口设立了警示牌.已知立杆的高度是，从侧面点测得警示牌顶端点和底端点的仰角分别是 和 .那么警示牌的高度为      . [解析]由题意得， ， , ,，， ， 故答案为. 第二关 过能力 5. [2023·茂名阶段练习]如图所示，为了知道楼房外墙上一广告屏的高度是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在处测得 ，在处测得 ，点，，共线，于点，于点，，，请根据测量数据，求出广告屏的高度.（结果精确到，参考数据：，，，） 解：由题意，得，，，， 四边形，都是矩形， ，， . 在 中， ， ， . 在 中， , , , , 广告屏的高度 为. 第三关 过思维 6. 某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 时结果保留整数，参考数据：,,. （1） 问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ 解：如图1， 图1 设 米，则 米， ， 即 ，解得， ， 居民住房的采光有影响. （2） 若要使超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？ [答案] 如图2，， 图2 （米）， 故两楼应相距32米. 学科网（北京）股份有限公司 $$