2.2 二次函数的图象与性质 导学案 -2023--2024学年北师大版九年级数学下册

2.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数的图象与性质 新课导学 知识点1 当为正数时，的图象与性质 二次函数的图象是一条①  抛物线  ，当时，它的开口向②  上  ，且关于③  轴  对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最④  低  点.在对称轴左侧，随的增大而⑤  减小  ；在对称轴右侧，随的增大而⑥  增大  . 【例1】 二次函数的图象的顶点是      ，开口  向上  ，对称轴是  轴  ；当      时，随的增大而增大；当      时，随的增大而减小，顶点是最  低  点. 对点训练1 下列关于函数的性质表述正确的一项是（ C ）. A. 无论为任何实数，的值总为正 B. 当的值增大时，的值也增大 C. 它的图象关于轴对称 D. 它的图象在第一、三象限内 【例2】 已知点，，都在函数的图象上，则（ A ）. A. B. C. D. 对点训练2 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ C ）. A. B. C. D. 知识点2 当为负数时，的图象与性质 二次函数的图象是一条⑦  抛物线  ，当时，它的开口向⑧  下  ，且关于⑨  轴  对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最⑩  高  点.在对称轴左侧，随的增大而⑪  增大  ，在对称轴右侧，随的增大而⑫  减小  . 的大小决定抛物线开口的大小：越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. 【例3】 二次函数的图象的顶点是      ，开口  向下  ，对称轴是  轴  ；当      时，随的增大而减小；当      时，随的增大而增大，顶点是最  高  点. 对点训练3 对于抛物线，下列说法正确的是（ D ）. A. 开口向上，对称轴是轴 B. 开口向下，对称轴是轴 C. 开口向上，对称轴是轴 D. 开口向下，对称轴是轴 【例4】 已知，两点都在二次函数的图象上，则（ A ）. A. B. C. D. 对点训练4 已知，点，，都在二次函数的图象上，则（ C ）. A. B. C. D. 课堂通关 第一关 过基础 1. （根据九年级北师大版教材P33做一做改编）二次函数图象的顶点坐标是（ B ）. A. B. C. D. 2. 关于二次函数与,有下列叙述：①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是轴；③它们的图象都经过点；④二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下；⑤它们的图象关于轴对称.其中正确的有（ A ）. A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 抛物线，，共有的性质是（ B ）. A. 开口向下 B. 对称轴是轴 C. 都有最低点 D. 随的增大而减小 4. 若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（ A ）. A. B. C. D. 第二关 过能力 5. 与抛物线关于轴对称的抛物线为      . 6. 已知点，直线为，抛物线上有一点，过点作直线的垂线段，求证：. 证明：设，易得,,. 第三关 过思维 7. 如图，，，，四点在抛物线上，且轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长. 解：由，可设， ,,， 解得. 第2课时 二次函数的图象与性质 新课导学 知识点1 当为正数时，的图象与性质 二次函数的图象是一条①  抛物线  ，当时，它的开口向②  上  ，对称轴是③  轴  ，顶点坐标是④      ，顶点是图象的最⑤  低  点. 【例1】 抛物线的顶点坐标是（ B ）. A. B. C. D. 对点训练1 抛物线的顶点坐标是（ C ）. A. B. C. D. 【例2】 对于二次函数，下列说法中错误的是（ B ）. A. 最小值为2 B. 图象与轴没有公共点 C. 当时，随的增大而减小 D. 其图象关于轴对称 对点训练2 对于二次函数，下列说法错误的是（ D ）. A. 最小值为2 B. 图象与轴没有公共点 C. 图象的对称轴是轴 D. 当时，随的增大而增大 知识点2 当为负数时，的图象与性质 二次函数的图象是一条⑥  抛物线  ，当时，它的开口向⑦  下  ，对称轴是⑧  轴  ，顶点坐标是⑨      ，顶点是图象的最⑩  高  点. 【例3】 抛物线的开口向  下  ，对称轴是  轴  ，当  0  时，有最  大  值，是  3  . 对点训练3 与抛物线顶点相同，形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是（ B ）. A. B. C. D. 知识点3 抛物线的上下平移 为正数时，函数的图象是由的图象向上平移个单位长度得到的； 为负数时，函数的图象是由的图象向下平移个单位长度得到的. 【例4】 将二次函数的图象向下平移1个单位长度，则平移后得到的图象对应的函数表达式为（ A ）. A. B. C. D. 对点训练4 抛物线向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的表达式为      . 课堂通关 第一关 过基础 1. 抛物线的对称轴是（ C ）. A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 直线 2. 抛物线，，共有的性质是（ C ）. A. 开口向上 B. 都有最高点 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点 3. 已知，点，，都在函数的图象上，则（ D ）. A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则      ，  5  . 第二关 过能力 5. [2023·深圳一模]已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ D ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. （根据九年级北师大版教材P36随堂练习2改编）分别指出抛物线与的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它们是由抛物线如何平移得到的. 解：开口方向都向上，对称轴都是 轴，顶点坐标分别为 和.它们分别是由抛物线 向下平移3个单位长度和向上平移4个单位长度得到的. 第三关 过思维 7. 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点. （1） 当 时，求的值； 解：由题意，得，， ,,. ，，, ,. （2） 当 时，求抛物线的表达式. [答案] 当 时，易得,，， 抛物线的表达式为. 第3课时 二次函数的图象与性质 新课导学 知识点1 二次函数的图象与性质 1. 当时，抛物线开口向①  上  ，对称轴是直线②      ，顶点坐标为③      ； 2. 当时，抛物线开口向④  下  ，对称轴是直线⑤      ，顶点坐标为⑥      ； 3. 抛物线可以看成是由抛物线  左右  平移得到的. 【例1】 抛物线的顶点坐标是（ B ）. A. B. C. D. 对点训练1 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ A ）. A. B. C. D. 【例2】 [2023· 龙岗区17校联考]将抛物线向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为（ A ）. A. B. C. D. 对点训练2 将抛物线平移，得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ A ）. A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 知识点2 二次函数的图象与的图象之间的平移规律 平移步骤：1.先将函数表达式化成的形式，顶点坐标为； 2.函数的图象的平移方法如下： （1）上下平移 若原函数表达式为 注：①其中均为正数,若为负数，则将对应的加（减）号改为减（加）号即可； ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负. （2）左右平移 若原函数表达式为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式,再进行相应的变形: 注：①其中均为正数，若为负数，则将对应的加（减）号改为减（加）号即可; ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负. 【例3】 把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为（ C ）. A. B. C. D. 对点训练3 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是（ B ）. A. B. C. D. 知识点3 二次函数的图象与性质 1.当时，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； 2.当时，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为. 【例4】 对于抛物线，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小.其中正确结论的个数为（ C ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 对点训练4 对于抛物线，有下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而增大.其中正确的结论是  ①②③④  （填序号）. 课堂通关 第一关 过基础 1. 二次函数（ A ）. A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为3 D. 最大值为3 2. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法错误的是（ D ）. A. B. 图象的对称轴为直线 C. 点的坐标为 D. 当时，随的增大而增大 3. 对于抛物线，有下列结论：①它的开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线；④与轴的公共点的坐标为.其中正确的是  ①③④  （填上所有正确结论的序号）. 4. 点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是      . 第二关 过能力 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ C ）. A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 6. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ B ）. A. B. C. D. 7. 点，的坐标分别为和，抛物线（其中）的顶点在线段上运动,与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为  3  . 8. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴交于点,（点在点左侧）. （1） 求二次函数的表达式及，两点的坐标； 解：，，. （2） 将二次函数的图象沿轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的表达式. [答案]. 第三关 过思维 9. 如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且. （1） 求抛物线的表达式； 解：由题意得， ，， 将 点坐标代入表达式，可求得， 抛物线的表达式为. （2） 若点在该抛物线上，求的面积. [答案] 点 在抛物线上， . 如图，过点 作 轴于点， 则. 第4课时 二次函数的图象与性质 新课导学 知识点1 二次函数的图象与画法 二次函数的图象的对称轴是直线①      ，顶点坐标是②      . 简易画法：五点定形法. 其步骤如下： （1）先根据函数表达式求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴； （2）求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点，及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将，，，及这五个点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来. 注意：当抛物线与 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 轴的交点 及其关于对称轴的对称点，由，，三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，，然后顺次用平滑的曲线连接五点，画出二次函数的图象， 【例1】 二次函数（ A ）. A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 对点训练1 抛物线的顶点坐标是 （ A ）. A. B. C. D. 【例2】 求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1） ； 解：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2） . [答案]开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 对点训练2 求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1） ; 解：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. （2） . [答案]开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 知识点2 二次函数的增减性和最值 函数 二次函数，，为常数， 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，随的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而增大.简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，随的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，随的增大而减小.简记：左增右减 最大（小）值 抛物线有最低点，当时，有最小值， 抛物线有最高点，当时，有最大值， 【例3】 已知二次函数,当时,随的增大而增大, 则的取值范围是（ D ）. A. B. C. D. 对点训练3 已知点，，在二次函数的图象上, 则，，的大小关系是（ B ）. A. B. C. D. 知识点3 二次函数图象的平移 上加下减常数项，左加右减自变量 【例4】 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ A ）. A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 对点训练4 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（ C ）. A. 向左平移6个单位长度 B. 向右平移6个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 课堂通关 第一关 过基础 1. 关于二次函数，下列说法正确的是（ D ）. A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为 2. 已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该函数有（ B ）. A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值2 D. 最大值2 3. 函数的顶点坐标为（ A ）. A. B. C. D. 4. 用配方法将二次函数的表达式化成的形式为      . 第二关 过能力 5. 将二次函数的图象绕点旋转 得到的图象满足的表达式为（ C ）. A. B. C. D. 6. [2023·龙岗区培新中学二模]在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是 （ A ）. A. B. C. D. 7. 抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，则，的值分别为（ B ）. A. 2, B. 2,0 C. ，8 D. ，2 8. 二次函数在的范围内有最小值      . 第三关 过思维 9. 点是第一象限的抛物线上一点，过点向轴作垂线，垂足为点，设. （1） 用含的式子表示的值； 解：,轴，, . （2） 当的值最大时，求点的坐标. [答案] 由（1）得 当 时，的值最大，此时点 的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$