2.3 确定二次函数的表达式 导学案 -2023--2024学年北师大版数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 第1课时 确定二次函数的表达式（1） 新课导学 知识点1 利用顶点坐标求二次函数的表达式 利用待定系数法求表达式：一设、二代、三求、四还原. （1）设二次函数的表达式:顶点式为      ； （2）根据图象或已知条件列方程； （3）解方程（或方程组），求出待定系数； （4）写出二次函数的表达式. 【例1】 已知抛物线的顶点坐标为，且点在此抛物线上，求，，的值. 解： 顶点坐标为， 可设抛物线的表达式为 点 在抛物线上,，,,,,故,,. 对点训练1 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的表达式. 解：设抛物线的表达式为，由题意得，， 抛物线的表达式为，即. 知识点2 利用两个点的坐标求二次函数的表达式 若只有两个未知系数，代入两个点的坐标求解即可. 【例2】 已知二次函数的图象经过点，. （1） 求该二次函数的表达式； 解：根据题意,得 解得 所以该二次函数的表达式为. （2） 用配方法把（1）所得的函数表达式化成的形式，并写出该函数图象的顶点坐标和对称轴. [答案]，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线. 对点训练2 已知抛物线经过点，，则该抛物线的表达式为      . 课堂通关 第一关 过基础 1. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交点的坐标为，则该抛物线的表达式为      . 2. 某抛物线的形状、开口方向都与抛物线相同，顶点坐标为，则该抛物线的表达式为      . 3. 已知二次函数的图象经过，则此二次函数的表达式为      . 4. 已知抛物线与轴交于，与轴相交于点，则此抛物线的表达式为      . 第二关 过能力 5. 抛物线的顶点坐标为，与轴两个交点间的距离为4，求抛物线的表达式. 解：设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴是直线，与 轴两个交点间的距离为4， 抛物线 过点,，解得， 抛物线的表达式为. 第三关 过思维 6. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，并与轴交于点. （1） 求抛物线的表达式； 解： 抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为. 抛物线与 轴交于点，， 解得， 抛物线的表达式为. （2） 如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，，求面积的最大值. [答案] 如图1，连接，设， ，顶点，，，. 点 位于第一象限，， ，, ，当 时，有最大值为. 第2课时 确定二次函数的表达式（2） 新课导学 知识点1 利用抛物线上任意三点求二次函数的表达式 1.三类表达式 （1）一般式：，，是常数，； （2）顶点式：，二次函数的顶点坐标是； （3）交点式：，其中，是图象与轴交点的横坐标 . 2. 利用待定系数法求表达式：一设、二代、三求、四还原. （1） 设此二次函数的表达式为①      ； （2） 将已知的三个点的坐标代入表达式中，得到一个②  三元  一次方程组； （3）解这个三元一次方程组，得到，，的值； （4）将，，的值代入（1）中即可得到所求的表达式. 【例1】 已知二次函数的图象经过，，三点，求此二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为，由函数图象过已知三点,,,得 解得 故所求二次函数的表达式为. 对点训练1 已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为，由题意得 解得 故所求二次函数的表达式为. 【例2】 已知二次函数的图象经过，两点，且以直线为对称轴，求这个二次函数的表达式. 解：依题意,得 解得 二次函数的表达式为. 对点训练2 如图，中，，，，求经过，，三点的抛物线的表达式. 解： 四边形 是平行四边形， ，，，点 的坐标为. 设抛物线的表达式为， 解得，， 抛物线的表达式为. 知识点2 综合运用几何知识求二次函数的表达式 此类问题通常与线段的倍分关系、三角形的面积等知识点相关，要注意点所在的象限. 【例3】 已知抛物线交轴于，两点（在左边），为顶点.若，求抛物线的表达式. 解：，，. 对称轴为直线，，，，. 抛物线的表达式为. 对点训练3 抛物线与轴交于，两点，与轴负半轴交于点，且，，求此抛物线的表达式. 解：抛物线的对称轴为直线， ，，，,， 抛物线的表达式为. 课堂通关 第一关 过基础 1. 已知二次函数的图象经过点，，，求此函数的表达式. 解：设此函数的表达式为， 解得 此函数的表达式为. 2. 已知—个二次函数的图象经过点，和，试确定此二次函数的表达式. 解：设此函数的表达式为, ,, ,即. 3. 抛物线经过点，，求此抛物线的表达式. 解：由题意,得 抛物线的表达式为. 4. 已知二次函数的图象经过，，三点. （1） 求二次函数的表达式. 解：将,,的坐标代入,得 解得 二次函数的表达式为. （2） 写出该图象的顶点坐标和对称轴. [答案],当 时，，则顶点坐标为，对称轴为直线. 第二关 过能力 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得抛物线，则原抛物线的表达式为      . 6. 将抛物线平移后经过，两点，求平移后得到的抛物线的表达式. 解：设平移后得到的抛物线的表达式为.则，，解得，， 平移后得到的抛物线的表达式为. 7. 如图，对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为. （1） 求抛物线的表达式； 解：由对称性，得，设抛物线的表达式为，把 的坐标代入，得，解得，， 抛物线的表达式为. （2） 若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值. [答案] 设点，过点 作 轴，垂足为，如图，， 当 时，有最大值，且. 8. 如图，抛物线与轴交于点,,且过点. （1） 求抛物线的表达式和顶点坐标； 解： 抛物线与 轴交于点，， 设抛物线的表达式为，把 的坐标代入得，解得，故抛物线的表达式为，即， 顶点坐标为. （2） 请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后抛物线的表达式. [答案]先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为，平移后抛物线的顶点坐标为，顶点在直线 上（答案不唯一）. 第三关 过思维 9. 如图，抛物线的顶点为，在抛物线上，点在轴上，点在抛物线上，当以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标. 解：易得，，过点 作 轴于点，过点，分别作 轴，轴的平行线,两直线交于点，，. 当 时，， ,, ，； 当 时，，，. ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$