广东省东莞第一中学、实验中学等三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷

试卷第 1页，共 4页 2023-2024 学年度第二学期期中三校联考 高二数学 命题人：刘世胜 审题人：吴二洋 东莞市第一中学 一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土． 现将“金、木、 水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数为（ ） A．12 B．24 C．48 D．72 2．某种袋装大米的质量 X （单位： kg ）服从正态分布  225,N  ，且  25.1 0.05P X   .若某商场购入 500 袋这种 大米，则该种袋装大米的质量在 24.9kg 25.1kg 的袋数约为（ ） A．300 B．350 C．400 D．450 3．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是 5”，则已知事件M 发生的条件下事件 N发生的概率  P N M ∣ （ ） A． 23 B． 1 3 C． 12 D． 5 9 4．函数 ( )( 3)y f x x   的导函数 ( )f x 的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ） A． ( )f x 在 ( 3,0) 上单调递减 B． ( )f x 在 ( 1,1) 上单调递减 C． ( )f x 在 (2, 4)上存在极小值点 D． ( )f x 在[ 3, )  上一定有最大值 5．2023 年第 19 届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、 宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近 5 个月销量，如表所示： 若 y与 x线性相关，且线性回归方程为 0.6ˆ ˆ  y x a， 则下列说法不正确的是（ ） A．由题中数据可知，变量 y与 x负相关 B．当 5x  时，残差为 0.2 C．可以预测当 6x  时销量约为 2.1 万只 D．线性回归方程 0.6ˆ ˆ  y x a中 ˆ 5.7a  6．为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的 2 倍，男性喜爱足球的 人数占男性人数的 5 6 ，女性喜爱足球的人数占女性人数的 1 3 ，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005 的前提 下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人 a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 A．11 B．12 C．13 D．14 7．若对任意的 1x ， 2 ( , )x m  ，且 1 2x x ， 1 2 2 1 2 1 ln ln 2x x x x x x    ，则实数 m的取值范围是（ ） A． 1 ,e e       B． 1 ,e e      C． 1 , e     D． 1 , e              2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       试卷第 2页，共 4页 8．已知随机变量 的分布列为（右表）：则下列说法正确的是（ ） A．存在 x， (0,1)y ， ( ) 1E   B．对任意 x， (0,1)y ， 1( ) 4 E   C．存在 x， (0,1)y ， 1( ) 4 D   D．对任意 x， (0,1)y ， ( ) ( )D E  二、多选题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．关于 52     x x 的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有的二项式系数和为 16 B．所有项的系数和为 243 C．只有第 3 项的二项式系数最大 D．x的系数为 40 10．过点  ,P a b 作直线 l与函数   32f x x  的图象相切，则（ ） A．若 P与原点重合，则 l方程为 0y  B．若 l与直线 6 0x y  垂直，则6 4a b  C．若点 P在  f x 的图象上，则符合条件的 l只有 1 条 D．若符合条件的 l有 3 条，则 3 1 2 a b   11．学校食堂每天中午都会提供 A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生 第一天选择A套餐的概率为 23 ，选择B套餐的概率为 1 3 .而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 1 4 ， 选择 B套餐的概率为 3 4 ；前一天选择 B套餐的学生第二天选择 A套餐的概率为 12 ，选择 B套餐的概率也是 1 2 ，如 此反复.记某同学第 n天选择A 套餐的概率为 nA ，选择 B套餐的概率为 nB .一个月（30 天）后，记甲､乙､丙三位同学 选择 B套餐的人数为 X ，则下列说法中正确的是（ ） A． 1n nA B  B．数列 2 5n A     是等比数列 C．   1.5E X  D．   361 125 P X   三、填空题 12．口袋里有大小相同的 2 个红球和 3 个黄球，现从中任取两个球，则取出的两个球都是红球的概率是 . 13．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成： ①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和 ⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用 4 种颜色给各个板块着色， 要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 种． 14．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有 自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为 1 1 1, , 3 3 3 ，而他自驾､坐 公交车､骑共享单车迟到的概率分别为 1 1 1, , 4 5 6 ，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了， 则他这天是自驾上班的概率为 .  x y P y x 试卷第 3页，共 4页 三．解答题 15．（本题满分 13 分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个球，其中 3 个黑球，2 个白球，不放回的依次取 出 2 个球，求： (1)求第1次抽到黑球且第 2 次也抽到黑球的概率； (2)已知第1次抽到黑球，则第 2 次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第1次抽到黑球”与“第 2次抽到黑球”是否互相独立． 16．（本题满分 15 分）已知函数     21 e   xf x x ax b，曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为  e 2 3 ey x    ． (1)求实数 a，b的值； (2)求  f x 的单调区间和极值． 17．（本题满分 17 分）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余 味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力 支持.已知脐橙分类标准：果径80mm 85mm 为一级果，果径 75mm  80mm为二级果，果径 70 75mm 或85mm以 上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取 1000 个，测量这些脐橙的果径（单位：mm）， 得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这 1000 个脐橙的果径的中位数； (2)在这 1000 个脐橙中，按分层抽样的方法 在果径70 85mm 中抽出 9 个脐橙，为进一步测量其他指标， 在抽取的 9 个脐橙中再抽出 3 个，求抽到的一级果个数 X 的分布列和数学期望； (3) 以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买 100 个， 其中一级果的个数为Y ，记一级果的个数为 k的概率为 ( )P Y k ，写出 ( )P Y k 的表达式，并求出当 k为何值时， ( )P Y k 最大？ 18．（本题满分 17 分）已知函数   2ln 2 , Rf x x x ax a    ， (1)当 0a  时，讨论  f x 的单调性； (2)若函数  f x 有两个极值点  1 2 1 2,x x x x ，求    1 22 f x f x 的最小值. 试卷第 4页，共 4页 19．（本题满分 17 分）比亚迪，这个中国品牌的乘用车，如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地.这一成 就是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国.现统计了自上市以 来截止到 2023 年 8 月的宋 plus的月销量数据. (1)通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了该款汽车的月销量，现将残差过 大的数据剔除掉，得到 2022 年 8 月至 2023 年 8 月部分月份月销量 y（单位：万辆）和月份编号 x的成对样本数据 统计. 月份 2022年 8月 2022年 9月 2022 年 12月 2023 年 1月 2023年 2月 2023 年 3月 2023年 4月 2023年 6月 2023 年 7月 2023 年 8月 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 月销量（万辆） 4.25 4.59 4.99 3.56 3.72 3.01 2.46 2.72 3.02 3.28 请用样本相关系数说明 y与 x之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出 y关于 x的经验回归方程；若 不能，请说明理由.（运算过程及结果均精确到 0.01，若 0.75r  ，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合） (2)为迎接 2024 新春佳节，某地 4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取 50 个装入盲 盒用于抽奖，已知抽出的 50 个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示. ①从这 50 个模型中随机取 1 个，用 A表示事件“取出的模型外观为红色”，用 B表示事件“取出的模型内饰为米色”， 求  P B 和  P B A ，并判断事件 A与 B是否相互独立； ②活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿 2 个盲盒. 其中的模型同时满足以下假设：假设 1：拿到的 2 个模 型会出现 3 种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设 2：按结果的可能性 大小，概率越小奖项越高.假设 3：该抽奖活动的奖金额为一等奖 3000 元、二等奖 2000 元、三等奖 1000 元.请你分 析奖项对应的结果，设 X为奖金额，写出 X的分布列并求出 X的期望（精确到元）. 参考公式：样本相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            1 2 2 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nxy x nx y ny                      ，      1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                ， ˆâ y bx  . 参考数据： 10 10 10 2 2 2 2 1 1 1 178.26, 19.58, 10 82.5, 10 6.20i i i i i i i x y xy x x y y            ， 82.5 6.20 22.62  . 答案第 1页，共 4页 高二数学期中考试 评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D B B B C D BD AD ABD 12． 1 10 13． 72 14． 37 180 15 37 15【解】（1）设 A  “第 1 次抽到黑球”， B  “第 2 次抽到黑球”，------1 分 第 1 次抽到黑球且第 2 次也抽到黑球的概率为 ( ) 3 2 3( ) ( ) 5 4 10 n ABP AB n       .------4 分 （2）依题意知 3( ) 5 P A  ，又 3( ) 10 P AB  ，------6 分 则在第 1 次抽到黑球的条件下第 2 次抽到黑球的概率为 3 ( ) 110( ) 3( ) 2 5 P ABP B A P A   ∣ .------8 分 （3）第 1 次抽到黑球的概率 3( ) 5 P A  ， 第 2 次抽到黑球的概率 4 3 3( ) 5 4 5 P B    ------9 分 所以 3 3 9( ) ( ) 5 5 25 P A P B    ，------11 分 由（1）知 3( ) 10 P AB  ，所以 ( ) ( ) ( )P AB P A P B ，------12 分 则事件“第 1 次抽到黑球”与“第 2 次抽到黑球”不相互独立.------13 分 16【解】（1）由题可得   e 2xf x x ax  ，------2 分 由题意  1 e 2 e 2f a    ，故 1a  ，------4 分 又    1 1 e 2 1 3 e 1f b         ，故 2b  .------6 分 （2）由（1）可得    e 2 e 2x xf x x x x    ， 令   0f x  可得 ln 2x  或 0x  ，令   0f x  可得0 ln 2x  ， 故  f x 的单调递增区间是  ,0 ，  ln 2,  ，单调递减区间是  0, ln 2 .---10 分 则  f x 的极大值为  0 1f  ，------12 分 极小值为        2 2ln 2ln 2 ln 2 1 e ln 2 2 2 ln 2 ln 2f       .------15 分 17【解】（1）果径 65,80 的频率为 (0.013 0.030 0.045) 5 0.44 0.5     ，果径[65,85)的频率为 (0.013 0.030 0.045 0.060) 5 0.74 0.5      .故果径的中位数在[80,85)，不妨设为 a，------1 分 则0.44 ( 80) 0.060 0.5a    ，解得 81a  ，所以估计这 1000 个脐橙的果径的中位数为81.------3 分 答案第 2页，共 4页 （2）果径[70,75),[75,80),[80,85)的频率之比为 (0.03 5) (0.045 5) : (0.06 5) : 3 : 4: 2    ， 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为 4，3，2 个，------4 分 故随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3，------5 分 则 3 5 3 9 C 10( 0) C 84 P X    ， 2 1 5 4 3 9 C C 40( 1) C 84 P X    ， 1 2 5 4 3 9 C C 30( 2) C 84 P X    ， 3 4 3 9 C 4( 3) C 84 P X    .------7 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 10 84 40 84 30 84 4 84 期望 10 40 30 4 112 4( ) 0 1 2 3 84 84 84 84 84 3 E X           .------10 分 （3）依题意知，这批果实中一级果的概率 30.0 1 6 0 5p   ， 每个果实相互独立，则 3~ 100, 10 Y B      ， 则 100 100 3 7( ) C 10 10 k k kP Y k                ，k=0,1,2,...,100 ------12 分 令 ( 1) ( ) P Y k P Y k     1 99 1 100 100 100 3 7C 3(100 )10 10 1 7( 1)3 7C 10 10 k k k k k k k k                               ，解得 29.3k  ，（注：学生建立不等式组也可） 故当 29k  时， ( 1) ( )P Y k P Y k    ， 即 ( 30) ( 29) ( 28) ( 27)P Y P Y P Y P Y        ； 当 30k  时， ( 1) ( )P Y k P Y k    ， 即 ( 30)P Y   ( 31) ( 32) ( 33)P Y P Y P Y     ，------14 分 所以 max ( ) ( 30)P Y k P Y   ，即一级果的个数最有可能为 30 个.------15 分 18【解】（1）因为   2ln 2 , 0f x x x ax x    ， 所以 21 2 2 1( ) 2 2 x axf x x a x x       ,------2 分 令 2( ) 2 2 1g x x ax   ，则  2 24 8 4 2a a     ， 当0 2a  时， 0  ，则 ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，此时 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，------4 分 ------8 分 答案第 3页，共 4页 当 2a  时， 0  ，由 ( ) 0g x  ，得 2 2 3 4 2 2, 2 2 a a a ax x     ，且 3 4x x ， 当 30 x x  或 4x x 时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ； 当 3 4x x x  时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在  30, x ,  4 ,x  上单调递增，在  3 4,x x 上单调递减；------6 分 综上，当0 2a  时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增， 当 2a  时， ( )f x 在  30, x ,  4 ,x  上单调递增，在  3 4,x x 上单调递减， 其中 2 2 3 4 2 2, 2 2 a a a ax x     .------7 分 （2）由（1）可知， 3 4,x x 为 ( )f x 的两个极值点，且 3 4x x ， 所以 1 3 2 4,x x x x  ，且 1 2,x x 是方程 22 2 1 0x ax   的两不等正根， 此时 2a  ， 1 2 0x x a   ， 1 2 1 2 x x  ， 所以 1 20, 2 x        ， 2 2 , 2 x         ------9 分 则        2 21 2 1 1 1 2 2 22 2 ln 2 ln 2f x f x x x ax x x ax          2 2 2 21 1 1 2 2 22 ln 2 1 ln 2 1x x x x x x        2 21 1 2 22 2ln ln 1x x x x      2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 32 2ln ln 1 ln 2ln 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x                ------13 分 令 2 2t x ，则 1 , 2 t       ，令   1 3 ln 2ln 2 1 2 2 g t t t t      ， 则     2 2 2 1 11 31 2 2 2 t t g t t t t        ， 当 1 ,1 2 t      时，   0g t  ，则  g t 单调递减， 当  1,t  时，   0g t  ，则  g t 单调递增，------16 分 所以    min 1 4ln 21 2 g t g    ， 所以    1 22 f x f x 的最小值为 1 4ln 2 2   .------17 分 答案第 4页，共 4页 19【解】（1）  1 1 2 3 10 5.50 10 x       ，  1 4.25 4.59 4.99 3.56 3.72 3.01 2.46 2.72 3.02 3.28 3.56 10 y            ，------2 分 10 10 1 1 2 2 2 0 2 1 1 10 10 10 i i i i i i i x y xy r x x y y                      178.26 10 5.5 3.56 17.54 0.78 22.6282.5 6.2          ，------3 分 因为 0.75r  ，所以可以使用一元线性回归模型拟合.------4 分 0 1 2 2 1 1 10 10 178.26 10 5.5 3.56 17.54ˆ 0.21 82.5 82.510 i i i i i x y xy b x x                ，------5 分 ˆˆ 3.56 0.21 5.5 4.715 4.72a y bx       ，------6 分 所以回归方程为： ˆ 0.21 4.72y x   .------7 分 （2）①模型内饰为米色的共有 20 个，所以   1 20 1 50 C 2 C 5 P B   ，------8 分 红色外观的模型有 35 个，其中内饰为米色的共有 15 个，所以   1 15 1 35 C 3 C 7 P B A   ，------9 分 红色外观模型且内饰为米色的共有 15 个，所以   1 15 1 50 C 3 C 10 P AB   ，------10 分   1 35 1 50 C 7 C 10 P A   ，因为      P AB P A P B ，所以 ,A B不独立.------11 分 ②设事件C  “取出的模型外观和内饰均为同色”， 事件D = “取出的模型外观和内饰都异色”， 事件 E  “仅外观或 仅内饰同色”，   2 2 2 2 20 10 15 5 2 50 C C C C 2 C 7 P C     ，   2 1 1 1 20 10 1 5 1 50 5C C C C 10 C 49 P D   ，   20 10 20 152 5 1 1 1 1 1 1 1 1 15 5 10 0 5C C C C C C C C 25 C 49 P E   ，------14 分 因为      P E P C P D  ，所以获得一等奖的概率为 10 49 ，二等奖的概率为 2 7 ，三等奖的概率为 25 49 .------15 分 其分布列为 ------16 分 期望为   10 2 253000 2000 1000 1694 49 7 49 E X        .------17 分