精品解析：山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年第二学期期中限时作业 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：130分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列化简正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 14 3. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于( ) A. B. C. D. 7. 若代数式有意义，则x的取值范围是( ) A. x＞﹣1且x≠1 B. x≥﹣1 C. x≠1 D. x≥﹣1且x≠1 8. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 9. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1﹣2a D. 2a﹣1 10. 如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 4 二、填空题（11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分） 11. 已知，则x的取值范围是______． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____． 14. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____． 15. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 16. 计算：_____________． 17. 若a，b都是实数，，则的值为___． 18. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 20. 计算： （1） （2） 21. 已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， （1）如果，，求； （2）如果，，求及直角三角形的面积． 22. 已知，如图．在中，，是中线．是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； 23. 已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． （3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 24. 阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ， ． （2）化简． （3）若，求的值． 25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 26. 如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． （1）在运动过程中，四边形的形状是___________； （2）___________时，四边形是矩形； （3）求当等于多少时，四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期中限时作业 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：130分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列化简正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】A、，故此选项错误，不符合题意； B、=5，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键． 2. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 14 【答案】A 【解析】 【详解】∵菱形两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形两条对角线的一半长分别为3和4， ∴菱形的边长为：． 故选A． 3. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】∵CE//BD，DE//AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.对每一项进行判断即可. 【详解】=5，错误；B=，正确；C.，错误；D.=，错误 故答案选B 【点睛】本题考查了同类二次根式的意义，解决本题的关键是正确的将二次根式化成最简. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟悉配方法是解题的关键． 根据题意配方即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 6. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【详解】解： ∵AC=12，DB=16， ∴AO=6，BO=8， 由勾股定理的，AB==10， ∵AH⊥BC， ∴S菱形ABCD=BC⋅AH=AC⋅BD， 即10AH=×12×16， 解得AH=， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程． 7. 若代数式有意义，则x的取值范围是( ) A. x＞﹣1且x≠1 B. x≥﹣1 C. x≠1 D. x≥﹣1且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得 x+1≥0且x-1≠0， 解得 x≥-1且x≠1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 8. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 9. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1﹣2a D. 2a﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a＜1， 所以，＝1，选A． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a的大小 10. 如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用矩形的性质可得， ，，即，再利用面积可得，，结合，可得，问题随之得解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 即， ∵，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及三角形的面积等知识，灵活利用面积得出，是解答本题的关键． 二、填空题（11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分） 11. 已知，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得． x的取值范围是． 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， ． 故答案为1. 13. 如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得：|m-1|=2，且m-3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：|m-1|=2，且m-3≠0， 解得：m=-1， 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 14. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____． 【答案】（﹣5，4） 【解析】 【分析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标. 【详解】解：由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上， ∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2 由菱形邻边相等可得AD=AB=5 在Rt△AOD中，由勾股定理得： OD==4 由菱形对边相等且平行得CD=BA=5 所以C（-5,4）． 故答案为：（﹣5，4）． 【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是运用勾股定理求出OD的长． 15. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 16. 计算：_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 17. 若a，b都是实数，，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 18. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接DE，交AC于点P，连接BD，由正方形的性质及对称的性质可得DE即为所求，然后运用勾股定理在RT△CDE中求解即可. 【详解】解：连接DE，交AC于点P，连接BD． ∵点B与点D关于AC对称， ∴DE的长即为PE+PB的最小值， ∵AB＝8，E是BC的中点， ∴CE＝4， 在Rt△CDE中， DE＝． 故答案为． 【点睛】正方形的性质、对称的性质及勾股定理是本题的考点，根据题意作出辅助线并确定DE即为所求是解题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】(1)x1=−3,x2=(2) 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可. 【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3) 3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0 (x＋3) (3x-2) ＝0 3x-2＝0或 x＋3＝0 ∴x1＝，x2＝－3； (2)2x2－4x－3＝0 a=2，b=-4，c=-3， △=16+24=40＞0， ， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先把二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）根据平方差公式和二次根式的除法将原式化简，再将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算即可； 解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及公式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 21. 已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， （1）如果，，求； （2）如果，，求及直角三角形的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，三角形的面积，二次根式的混合运算， （1）根据勾股定理即可求出斜边c的长度即可； （2）根据勾股定理即可求出b的长度，再根据面积公式即可得出直角三角形的面积， 掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵在直角三角形，直角边，， ∴ ， ∴的值为； 【小问2详解】 ∵在直角三角形，直角边，斜边， ∴， ∴直角三角形的面积：， ∴的值为，直角三角形的面积为． 22. 已知，如图．在中，，是中线．是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； 【答案】（1） 证明：是的中点， ， ，， ． （2） 证明：，是中线， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再题目已知条件可证得； （2）根据直角三角形中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． （3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 【答案】（1）见解析 （2）当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； （3）n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【解析】 【分析】（1）计算判别式Δ＞0，即可得证； （2）根据△ABC是等腰三角形，可知x=10是方程的一个根，代入方程，求出n，①当n=12时，②当n=10时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出△ABC的周长； （3）根据根与系数的关系，可得AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． 【小问1详解】 证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0， ∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根， ∵第三边BC的长是10， 当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根， 当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0， 解得n=12或10， ①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0， 设等腰三角形的底为m， 根据根与系数的关系，m+10=22， ∴m=12， ∴△ABC的周长为：10+10+12=32； ②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0， 设等腰三角形的底为n， 根据根与系数的关系，10+n=18， 解得n=8， ∴△ABC的周长为10+10+8=28； 综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； 【小问3详解】 解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根， ∴AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10， ∴AB2+AC2=BC2， 即4（n-1）2-2（n2-2n）=100， 解得n=8或-6， 当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意， 当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意， 综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 24. 阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ， ． （2）化简． （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）根据已知算式得出规律再利用规律进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 ∵（为正整数）， ∴ ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，数字的变化类和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解题的关键． 25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解； 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案． （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长． （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6． ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴EO=CO，FO=CO． ∴OE=OF． （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°． ∵CE=12，CF=5， ∴． ∴OC=EF=6.5． （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 26. 如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． （1）在运动过程中，四边形的形状是___________； （2）___________时，四边形是矩形； （3）求当等于多少时，四边形是菱形． 【答案】（1）平行四边形 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，则，得出，由平行四边形的面积得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当时，四边形是菱形．过作于，则，由勾股定理求出，得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 四边形是平行四边形；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； 【小问2详解】 时，四边形是矩形；理由如下： 若四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：，或（舍去）， ． 故答案为：1； 【小问3详解】 依题意得：平行且等于， 四边形是平行四边形， 故时，四边形是菱形． 又， ， 过作于，如图所示： 则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $