期末高频考点：数与代数(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

数与代数 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．亿以内的数位和组成 【知识点归纳】 1、亿以内数的认识： 10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。 2、一（个）、十、百、千、万........亿都是计数单位。 3、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 4、位数：一个数含有几个数位，就是几位数，如652100是个六位数。 5、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。 2．分数的意义和读写 【知识点归纳】 分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示． 在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份． 分数的分类： （1） 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1． （2） 假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1． （3） 带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数． 3．小数的读写、意义及分类 【知识点解释】 1.小数的意义： 小数由整数部分、小数部分和小数点组成．小数是十进制分数的一种特殊表现形式．分母是10、100、1000…的分数可以用小数表示．所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数．无理数为无限不循环小数．根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数．小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分是小数部分．整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数．例如0.3是纯小数，3.1是带小数． 2.小数的读法： 整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字． 3.小数的写法： 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，然后，顺次写出小数部分每一个数位上的数字． 4.小数的分类： ①按照整数部分的情况分类，可得“纯小数”和“带小数”两种小数． ②按照小数部分的情况分类，可得“有限小数”和“无限小数”两种，在无限小数中，又有“无限循环小数”和“无限不循环小数” 4．小数的性质及改写 【知识点归纳】 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变． 小数的改写：为了读写方便，常常把较大的数改写成． 5．小数的加法和减法 【知识点归纳】 小数加法的意义与整数加法的意义一样，是把两个数合并成一个数的运算． 小数减法的意义与整数减法的意义一样，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算． 小数加法的法则：小数加法的法则与整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐．由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的位数就必然对齐了． 步骤：①把各个加数的小数点上下对齐；②按照整数加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，满十进一；③和（计算结果）的小数点要与加数的小数点上下对齐． 小数减法的法则：小数点对齐，相同位数对齐． 步骤：①把被减数和减数的小数点上下对齐；②按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时，借一当十；③差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐． 6．小数乘法 【知识点归纳】 小数乘法的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的就简便运算；一个数乘纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少． 小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点．如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉． 7．小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． ②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 8．分数的加法和减法 【知识点归纳】 分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算． 法则： ①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变 ②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算． ③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起． 分数加法的运算定律： ①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变． ②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变． 分数减法的运算性质：与整数减法性质一样． 9．分数乘法 【知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 10．根据情景选择合适的计量单位 【知识点归纳】 货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分． 时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月． 长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米． 面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米． 地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米． 体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米． 容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米． 质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克． 一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60． 根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择． 11．小数方程求解 【知识点归纳】 一般把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。 解方程的步骤 （1）去分母。 当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）去括号。 在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）移项。 通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）合并同类项。 对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）系数化为1. 合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。 12．比的意义 【知识点归纳】 两个数相除，也叫两个数的比． 13．比例的意义和基本性质 【知识点归纳】 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16 14．解比例 【知识点归纳】 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项＝ （2）求未知内项＝ 第二部分 典型例题 解方程或比例。 5x+1.6×7＝31.2 【考点】解比例；小数方程求解． 【专题】简易方程；运算能力． 【答案】x＝；x＝4；x＝1.6。 【分析】（1）根据比例的基本性质，把原式化为x＝×，然后方程的两边同时除以求解； （2）先计算1.6×7＝11.2，根据等式的性质，方程的两边同时减去11.2，然后方程的两边同时除以5求解； （3）根据比例的基本性质，把原式化为4x＝0.8×8，然后方程的两边同时除以4求解。 【解答】解：（1） x＝× x÷＝×÷ x＝ （2）5x+1.6×7＝31.2 5x+11.2＝31.2 5x+11.2﹣11.2＝31.2﹣11.2 5x＝20 5x÷5＝20÷5 x＝4 （3） 4x＝0.8×8 4x÷4＝0.8×8÷4 x＝1.6 【点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积。 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．如图中，A代表的数是（　　） A． B． C． D． 2．在0.9的末尾添上一个0，这个数就（　　） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．大小不变 3．与8.8×1.25的积不相等的式子是（　　） A．1.1×8×1.25 B．8×1.25+0.8×1.25 C．8×1.25+0.8 D．11×0.8×1.25 4．下列算式结果最接近1的是（　　） A． B． C． D． 5．为了保护脊柱的健康，儿童的负重最好不超过体重的，小亮的书包（　　） A．超重 B．不超重 C．无法确定 二．填空题（共5小题） 6．1连续减去0.1，连续减 　 　次，结果是0。 7．如果a×4＝b×6，那么a：b＝　 　：　 　． 8．在7.7、7.47、7.07、7.470中，计数单位不同但大小相等的小数是 　 　和 　 　，计数单位相同但大小不相等的小数是 　 　和 　 　。 9．男生人数的 与女生人数的60%相等，男、女生人数的比是 　 　。 10．在横线上填上合适的单位。 （1）课桌高约7 　 　。 （2）一棵大树高约4 　 　。 （3）一把三角尺厚约1 　 　。 （4）一支铅笔长约20 　 　。 三．判断题（共5小题） 11．6、3、4、8这四个数可以组成比例．　 　． 12．个位、十位、百位、千位、万位……都是计数单位。 　 　 13．计算小数加减法，要先把末位上的数对齐．　 　． 14．把一个蛋糕分成8份，每份是这个蛋糕的．　 　 15．分针走10分钟所经过的区域占整个钟面的。 　 　 数与代数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．如图中，A代表的数是（　　） A． B． C． D． 【考点】分数的意义和读写． 【专题】综合题；数据分析观念． 【答案】D 【分析】根据题意，在数轴上从0～1每个单元格平均分成了9份，每份表示，A点表示21份，用分数表示是。 【解答】解：A代表的数是。 故选：D。 【点评】此题考查了分数的意义，要求学生能够掌握。 2．在0.9的末尾添上一个0，这个数就（　　） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．大小不变 【考点】小数的性质及改写． 【专题】运算顺序及法则；数感． 【答案】C 【分析】根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；据此判断。 【解答】解：0.9的末尾添上一个0，这个数大小不变。 故选：C。 【点评】此题考查小数性质的运用：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 3．与8.8×1.25的积不相等的式子是（　　） A．1.1×8×1.25 B．8×1.25+0.8×1.25 C．8×1.25+0.8 D．11×0.8×1.25 【考点】小数乘法． 【专题】运算顺序及法则；运算能力． 【答案】C 【分析】根据整数乘法以及整数四则混合运算的顺序，分别求出各个算式的结果，然后再进一步解答． 【解答】解：1.1×8×1.25 ＝1.1×（8×1.25） ＝1.1×10 ＝11 8×1.25+0.8×1.25 ＝10+1 ＝11 8×1.25+0.8 ＝10+0.8 ＝10.8 11×0.8×1.25 ＝11×（0.8×1.25） ＝11×1 ＝11 只有8×1.25+0.8的得数不一样． 故选：C． 【点评】本题关键是求出各个算式的结果，然后再比较解答． 4．下列算式结果最接近1的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分数乘法；分数的加法和减法． 【专题】运算能力． 【答案】B 【分析】分别计算出各个选项中算式的结果，看哪个算式的接轨与1的差最小即可。 【解答】解：选项A，，1﹣＝ 选项B，，1﹣＝ 选项C，，1﹣＝ 选项D，，1﹣＝ ＜＜＜，所以算式的结果最接近1。 故选：B。 【点评】解答本题需熟练掌握分数加减法则、分数乘法法则及比较分数大小的方法，灵活解答。 5．为了保护脊柱的健康，儿童的负重最好不超过体重的，小亮的书包（　　） A．超重 B．不超重 C．无法确定 【考点】分数的意义和读写． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】A 【分析】把小亮的体重看作单位“1”，书包的重量最好不超过体重的，书包不超过30×＝（千克），再和小亮的书包6千克比较大小。 【解答】解：30×＝（千克） ＝4.5千克 6＞4.5 答：小亮的书包超重。 故选：A。 【点评】本题考查了分数乘法的意义及数的大小。 二．填空题（共5小题） 6．1连续减去0.1，连续减 　10　次，结果是0。 【考点】小数除法． 【专题】运算能力． 【答案】10。 【分析】用1除以0.1，即可解答。 【解答】解：1÷0.1＝10（次） 答：1连续减去0.1，连续减10次，结果是0。 故答案为：10。 【点评】本题考查小数除法的计算。 7．如果a×4＝b×6，那么a：b＝　3　：　2　． 【考点】比例的意义和基本性质． 【专题】比和比例． 【答案】见试题解答内容 【分析】比例的性质，把所给的等式a×4＝b×6，改写成一个外项是a，一个内项是b的比例，则和a相乘的数4就作为比例的另一个外项，和b相乘的数6就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可． 【解答】解：根据比例的基本性质可知a和4为比例的外项，那么b和6是比例的内项， 所以a：b＝6：4＝3：2． 故答案为：3；2． 【点评】此题考查把给出的等式改写成比例式，在改写时要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项． 8．在7.7、7.47、7.07、7.470中，计数单位不同但大小相等的小数是 　7.47　和 　7.470　，计数单位相同但大小不相等的小数是 　7.47　和 　7.07　。 【考点】小数的读写、意义及分类． 【专题】常规题型；数感． 【答案】7.47、7.470；7.47、7.07。 【分析】小数的性质：小数末尾添上0或者是去掉0，小数的大小不变；首先搞清小数的位数，有一位小数，计数单位就是0.1；有两位小数计数单位就是0.01，…，以此类推；据此解答即可。 【解答】解：根据分数的基本性质可知：7.47＝7.470；7.7、7.47、7.07、7.470，这几个数的计数单位分别是0.1、0.01、0.01、0.001； 所以，在7.7、7.47、7.07、7.470中，计数单位不同但大小相等的小数是 7.47和7.470；计数单位相同但大小不相等的小数是7.47和7.07。 故答案为：7.47、7.470；7.47、7.07。 【点评】本题考查的是小数的性质和计数单位的知识，要熟练掌握。 9．男生人数的 与女生人数的60%相等，男、女生人数的比是 　9：10　。 【考点】比的意义． 【专题】比和比例． 【答案】9：10。 【分析】根据“某班男生人数的和女生人数的60%相等，”得出男生人数×＝女生人数×60%，再逆用比例的基本性质求出男、女生人数的比，最后利用比的基本性质化成最简整数比。 【解答】解：因为男生人数×＝女生人数×60%， 所以男生人数：女生人数＝60%： ＝9：10， 答：男、女生人数的最简整数比是9：10。 故答案为：9：10。 【点评】关键是根据题意得出数量关系式：男生人数×＝女生人数×60%，再逆用比例的基本性质和比的基本性质解答。 10．在横线上填上合适的单位。 （1）课桌高约7 　分米　。 （2）一棵大树高约4 　米　。 （3）一把三角尺厚约1 　毫米　。 （4）一支铅笔长约20 　厘米　。 【考点】根据情景选择合适的计量单位． 【专题】应用意识． 【答案】（1）分米，（2）米，（3）毫米，（4）厘米。 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【解答】解：（1）课桌高约7分米。 （2）一棵大树高约4米。 （3）一把三角尺厚约1毫米。 （4）一支铅笔长约20厘米。 故答案为：分米，米，毫米，厘米。 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 三．判断题（共5小题） 11．6、3、4、8这四个数可以组成比例．　√　． 【考点】比例的意义和基本性质． 【专题】比和比例；运算能力；应用意识． 【答案】√ 【分析】比例的性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积；如果两个数的积等于另两个数的积，那么这四个数就能组成比例． 【解答】解：因为3×8＝4×6，相当于两个内项的积等于两个外项的积，所以用6、3、4、8这四个数能组成比例； 原题说法正确； 故判断为：√． 【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用． 12．个位、十位、百位、千位、万位……都是计数单位。 　×　 【考点】亿以内的数位和组成． 【专题】整数的认识． 【答案】× 【分析】个位、十位、百位、千位、万位…都是数位，而个、十、百、千、万…都是计数单位，据此解答即可． 【解答】解：个位、十位、百位、千位、万位…都是数位， 而个、十、百、千、万…都是计数单位， 所以题中说法不正确． 故答案为：×． 【点评】此题主要考查了数位和计数单位的区别． 13．计算小数加减法，要先把末位上的数对齐．　×　． 【考点】小数的加法和减法． 【专题】综合判断题；运算顺序及法则． 【答案】× 【分析】小数加、减法的计算法则：①计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）；②再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点． （得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉．） 【解答】解：计算小数加减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）． 故原来的说法是错误的． 故答案为：×． 【点评】考查了小数加减法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 14．把一个蛋糕分成8份，每份是这个蛋糕的．　×　 【考点】分数的意义和读写． 【专题】综合判断题；分数和百分数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分数的意义，把一个蛋糕看作单位“1”，把它平均分成8份，每份就是这个蛋糕的． 【解答】解：根据分数的意义，把一个蛋糕平均分成8份，每份是这个蛋糕的， 原题没有说是“平均分”，所以每份不一定是这个蛋糕的； 故答案为：×． 【点评】此题考查了分数的意义，注意“平均分”这一要素． 15．分针走10分钟所经过的区域占整个钟面的。 　×　 【考点】分数的意义和读写． 【专题】分数和百分数；数据分析观念． 【答案】× 【分析】把一个整体平均分成几份，取出其中一部分，取出部分占这个整体的几分之几，其中，分母是平均分成的份数，分子是取出的份数。 钟面上有12个大格，将钟面平均分成12等份，60个小格，分针走一圈是60分钟，分针走10分钟，经过10个小格，也就是2个大格。 根据分数的意义和钟面知识，即可解答。 【解答】解：由分析可知，分针走过10分钟所经过的区域是钟面的2个大格，由分数的意义可知，分针走过10分钟所经过的区域占整个钟面的。题目说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题考查分数的意义和钟面的认识，属于基础知识，要熟练掌握。 学科网（北京）股份有限公司 $$