明确中考风向2024年四川省中考数学复习一次函数与反比例函数专题复习

一次函数与反比例函数综合 考点解读 反比例函数的专题内容当中与一次函数进行综合考察的题型是历年中考数学对于函数考察的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及其共存问题，交点和不等式问题以及综合类的题型三大类。无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分地了解，借助数形结合的方式。通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题 解题思路 ①熟练掌握一次函数及反比例函数的图像与性质 ②针对反比例函数和一次函数图像共存问题这类型的题型特点就是在题目提供的一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。 ③反比例函数和一次函数的交点和不等式问题。这类问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集 ④反比例函数和一次函数的综合题型。既然是综合题型，涉及的不仅仅是函数的图像和焦点的问题，这只是综合类型题型中的一小部分，还有可能结合几何来进行考察，所以在这过程当中我们只需要掌握最基础的部分。剩下的内容就要进行知识点之间的相互配合，只有掌握每一部分涉及内容的基础知识以及方法技巧，那么将知识点融合时他们之间的联系才能够更快地显现出来 模拟预测 1、（2023·四川广安·中考真题）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ． 2、（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 3、（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ． 4、（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则 ． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ． 5、（2023·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ． 7、（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标． 8、（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当为何值时，？ 9、（2023·四川德阳·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8． (1)求反比例函数的解析式； (2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 10、（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 11、（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E． (1)求k，m的值及C点坐标； (2)连接，，求的面积． 12、（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积． 13、（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点． (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． 14、（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15、（2023·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 16、（2023·四川广安·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 17、（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 18、（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 19、（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数与反比例函数综合 考点解读 反比例函数的专题内容当中与一次函数进行综合考察的题型是历年中考数学对于函数考察的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及其共存问题，交点和不等式问题以及综合类的题型三大类。无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分地了解，借助数形结合的方式。通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题 解题思路 ①熟练掌握一次函数及反比例函数的图像与性质 ②针对反比例函数和一次函数图像共存问题这类型的题型特点就是在题目提供的一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。 ③反比例函数和一次函数的交点和不等式问题。这类问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集 ④反比例函数和一次函数的综合题型。既然是综合题型，涉及的不仅仅是函数的图像和焦点的问题，这只是综合类型题型中的一小部分，还有可能结合几何来进行考察，所以在这过程当中我们只需要掌握最基础的部分。剩下的内容就要进行知识点之间的相互配合，只有掌握每一部分涉及内容的基础知识以及方法技巧，那么将知识点融合时他们之间的联系才能够更快地显现出来 模拟预测 1、（2023·四川广安·中考真题）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图像过一、三象限， ∴． 故答案为：． 2、（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为． 由题意，在中，，， ． ． ． 又绕点顺时针旋转至的位置， ． ． 又点是的中点， ． 在中， ， ． ，． 又在上， ． 故答案为：． 3、（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，由对称的性质知，，利用相似三角形的判定和性质求得，则，根据以及反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：连接， 设对称轴与x轴交于点G， ∵与关于对称轴， ∴，，， ∵点A为的中点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4、（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则 ． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若是“和谐点”，则， 则， ∴， 即，解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为： （2）设点为双曲线上的“和谐点”， ∴，， 即， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，且， 对抛物线来说， ∵， ∴开口向下， 当时，， 当时，， ∵对称轴为，， ∴当时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为， 故答案为： 5、（2023·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接，首先联立求出，，然后利用勾股定理求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，最后将代入求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点D，过点C作轴于点E，连接， ∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ∴联立，即， ∴解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴点C的坐标为， ∴将代入得，． 故答案为：． 7、（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可． （2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴点A的坐标为． ∵反比例函数 的图象经过点， ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H， ∵， 则，． 由勾股定理，得, 由图象的对称性，可知． 又∵， ∴． ∴C点的坐标为． 8、（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当为何值时，？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可． 【详解】（1）解：将点代入， ， ， 将代入， ， ， 将和代入， ，解得：， ； （2）解：根据图象可得，当时，的取值范围为：． 9、（2023·四川德阳·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8． (1)求反比例函数的解析式； (2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，可得，结合的面积是8．可得，从而可得答案； （2）先求解，，可得直线为，联立，再解方程组即可． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， ∴设， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， ∵的面积是8． ∴， 解得：； ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点A的横坐标为2时， ∴，即， 则， ∵直线过点C， ∴， ∴， ∴直线为， ∴， 解得：或，经检验，符合题意； ∴或． 10、（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据四边形是边长为的正方形求出点的坐标，代入求出k； （2）设，过点D作轴，根据面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线的函数表达式． 【详解】（1）解：四边形是边长为的正方形， ， ； 即反比例函数的表达式为． （2）解：设，过点D作轴， 点，，， ∴ ， ， 解得：，，经检验，是符合题意的根， 即点， 设直线的函数解析式为，得∶ ，解得：， 即：直线的函数解析式为． 11、（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E． (1)求k，m的值及C点坐标； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)；； (2) 【分析】 （1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可； （2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：把点代入和得： ，， 解得：，， ∴的解析式为，反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：延长交x轴于点F，如图所示： 将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为： ， 联立， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴点F的坐标为， ∴， ∴ ． 12、（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数为． (2) (3)9 【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为． （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：． （3）∵，同理可得的解析式为：， ∵过点B作平行于x轴，交于点D，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 13、（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点． (1)求m的值和一次函数的表达式； (2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ， 又点，都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：对于，当时，， ∴， ， ∵， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示． ， ． ， 解得 点P的纵坐标为2或． 将代入得， 将代入得， ∴点或． 14、（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， ∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，或； （3）解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为或． 15、（2023·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或， (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为或； （3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、， 设，则， ∴， 则， ， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ∴， 即点的坐标为． 如图，过作轴于点，过作轴于点，设， 由（1）得：，， ∴，， ∴，，， 则 ， ， ∴， 即点的坐标为， 综上所述：或． 16、（2023·四川广安·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或或 【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案； （2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入一次函数得， 解得：， 故一次函数的解析式为， 把点代入，得， ， 把点代入，得， 故反比例函数的解析式为； （2）解：，，， 当时，或， 当时，点关于直线对称， ， 综上所述：点的坐标为或或． 17、（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则， ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接， ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 18、（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N， 令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 19、（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【详解】（1）将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为 学科网（北京）股份有限公司 $$