明确中考风向2024年四川省中考数学复习二次函数专题复习

二次函数综合应用 考点解读 二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等 解题思路 二次函数的综合应用问题常常与几何动点问题，图形周长面积问题，三角形和特殊四边形的存在性问题商品利润及最值问题结合，所以解决二次函数的综合应用问题，需要同学们能够掌握与二次函数相融合的相关知识点，比如存在性问题中，等腰三角形的两圆一线加勾股，直角三角形的两线一圆加K字形相似，特殊四边形中所涉及到的中点坐标公式列方程，面积倍分相等问题中极限思想平行线法等等，在解题思想上面也一定要有化动为静的思想，对于综合问题的化归思想等 模拟预测 1、（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2、（2023·四川南充·中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 3、（2023·四川南充·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B．或 C． D．或 4、（2023·四川广安·中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、（2023·四川遂宁·中考真题）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7、（2023·四川乐山·中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8、（2023·四川·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9、（2023·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 10、（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 11、（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论： ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 12、（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 13、（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 14、（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．    (1)求抛物线的表达式； (2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积； (3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标． 15、（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 16、（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值． 17、（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 18、（2023·四川乐山·中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 (1)求b的值； (2)将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 19、（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 20、（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 21、（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22、（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值； (3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标． 23、（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 24、（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数综合应用 考点解读 二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等 解题思路 二次函数的综合应用问题常常与几何动点问题，图形周长面积问题，三角形和特殊四边形的存在性问题商品利润及最值问题结合，所以解决二次函数的综合应用问题，需要同学们能够掌握与二次函数相融合的相关知识点，比如存在性问题中，等腰三角形的两圆一线加勾股，直角三角形的两线一圆加K字形相似，特殊四边形中所涉及到的中点坐标公式列方程，面积倍分相等问题中极限思想平行线法等等，在解题思想上面也一定要有化动为静的思想，对于综合问题的化归思想等 模拟预测 1、（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 2、（2023·四川南充·中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到 ∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上 ∴点在抛物线上 故选：D 3、（2023·四川南充·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示， 依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴ 综上所述，或， 故选：B． 4、（2023·四川广安·中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . . 故①正确. 是关于二次函数对称轴对称， . 在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示， . 故②正确. 图象与轴交于点， ，. . . 故③正确. ， . 当时，， . ， ， . 故④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点. 5、（2023·四川遂宁·中考真题）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴交点位于负半轴， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴, ∵, ∴, 解得， 故④正确； 故选C． 6、（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个， 故选D． 7、（2023·四川乐山·中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】抛物线经过点，且，，可以得到，，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③；利用，再根据，所以，从而可得，即可判断④． 【详解】解 ：∵抛物线的图象开口向上， ∴， ∵抛物线经过点，且， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∴，故②正确； 由图象可知，当时，，即， ∴ ∵，， ∴，故③正确； ∵， 又∵， ∴， ∵抛物线的图象开口向上， ∴，故④错误． ∴正确的有①②③共3个， 故选：B． 8、（2023·四川·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，得到，；抛物线过点和，代入可得和，解得，又由，得；对称轴为直线，，开口向下，所以有最大值为，且，无法判断关于x的方程是否有实数根． 【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线， ∵，所以，即，，则， 当时，，则，所以，故结论①错误； 因为，所以，，即，故结论②正确； 抛物线过和两点，代入可得和，两式相减解得，由可得，解得，故结论③正确； 对称轴为直线，，开口向下， ∴所以有最大值为， ∵不一定成立， ∴关于x的方程有实数根无法确定，故结论④错误． 故选：B 9、（2023·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A，点B 代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④． 【详解】解：∵抛物线开☐向下， ∴，故①错误， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 设点B坐标为 ∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为， ∴，解得：， ∴点B的坐标为，故②正确， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ ∴由得，即，故③正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，时函数最大值， 当时，， ∴，即， 综上所述：正确的结论有②③④， 故选：C． 10、（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 11、（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论： ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①② 【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③． 【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为， ∴对称轴， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， 由图象可得：当时，； ∴①正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴设抛物线为， 当时，，当时，， ∴，， 如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当是，， ∴， ∴， ∴， 解得：，故②正确； ∵点B是抛物线与y轴的交点， ∴当时，， ∴， ∵为直角三角形， 当时， ∴， ∵，，， ∴，整理得：， 解得：或（舍） ∴， 当时， ∴， ∴，整理得： 解得：或（舍） ∴， 当时， ∴， ∴，无解； 以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示， 则，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 故答案为：①②． 12、（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 (3)存在，m的值为2或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可； （3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设， 根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称， ∵，∴； 当时，则， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； （3）解：存在常数m，使得． 根据题意，画出图形如下图， 设抛物线与直线的交点坐标为，， 由得， ∴，； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴， 同理，可得直线的表达式为，则， 过E作轴于Q，过D作轴于N， 则，，，， 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 整理，得， 即， 将，代入，得， 即，则或， 解得，， 综上，存在常数m，使得，m的值为2或． 13、（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)定值，理由见详解 【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标； （3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 14、（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．    (1)求抛物线的表达式； (2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积； (3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点C的坐标，确定a值即可． （2）设，直线的解析式为，直线的解析式为，表示出P，Q，的坐标，进而计算即可． （3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可. 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点、， ∴设抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴， ∴． （2）如图，当点N在对称轴的右侧时， ∵， ∴对称轴为直线， 设，直线的解析式为，直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， ， ∴，，， ∴， ∴． 如图，当点N在对称轴的左侧时， ∵， ∴对称轴为直线， 设，，，， ∴， ∴． 综上所述，． （3）当的外接圆与相切，切点为M时， 最大， 设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接，，交圆于点T， 则，根据三角形外角性质，得，故， ∴最大，   设与圆交于点H，连接，，根据切线性质， ∴， 作直径，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点E作，垂足为F，过点C作，垂足为G，交于点P， 根据垂径定理，得，四边形是矩形， ∴， 根据，得， ∴， ∴， 在直角三角形中， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 故， ∴当最大时，． 15、（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)或或 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 当为对角线时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则， ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则，   同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S， ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 16、（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵其中点在抛物线对称轴的左侧． ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）解：依题意，点恰好在轴上，则， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，设直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值为． 17、（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为；的最大值为 (3)点M的坐标为：， 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． （3）解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴，   ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 18、（2023·四川乐山·中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 (1)求b的值； (2)将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 【答案】(1)0 (2)①② 【分析】（1）根据，且时，总有，变形后即可得到结论； （2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：                     时，总有， ． 则， ∴， ∴总成立，且， ； （2）①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或（舍） （ii）当抛物线过点时，如图所示， 此时，， 解得或（舍）， 综上，， ②同①考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或（舍） （ii）当抛物线过点时，如图所示， 此时，，解得或0（舍）．综上， 如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上． 令，解得， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ． ，即， ， 19、（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， (3)或 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； （3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接， ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，，   ； 综上所述：存在，的坐标为或． 20、（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点， ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点 ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴上方，当点与点重合时， ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 21、（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 【分析】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可； （2）如图：过点M作交于D，设点，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答； （3）如图可知：线段为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， 所以抛物线的函数表达式为； 当时，，则顶点M的坐标为． （2）解：如图：过点M作交于D 设点，则, ∴， ∵是等边三角形, ∴, ∴,即，解得：或（舍去） ∴，， ∴该三角形的边长． （3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形 ①如图：线段作为菱形的边， 当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时． 当为菱形对角线时，， 设，， 则，解得：或， ∴或 ②线段作为菱形的对角线时， 如图：设 ∵菱形, ∴,的中点G的坐标为，点G是的中点， ∴，解得， ∴， 设， 则有：，解得：， ∴． 综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 22、（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值； (3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设抛物线的解析式为， ， ， ， 把，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）直线表达式， 直线经过定点， 将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况 把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为， 新图象表达式为：时，；或时，， 如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点， 联立，得：， 整理得： ， ， ， ， ， 时，即如上图所示，符合题意， 时，如下图所示，经过点， 不符合题意，故舍去， 如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点， 把代入，得：， 解得：， 综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或 （3）在抛物线上， 设坐标为， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去）， ，代入， 点的坐标为 23、（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入可得； （2）过作轴于，过作轴于，设，求出；根据，，得，故，从而，即可解得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ； （2）过作轴于，过作轴于，如图： 设， 在中，令得或， ； ，， ， ， ， ， ， ， 解得或（此时与重合，舍去）， ，． 24、（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）得到，即可求解； （3）由题意的：，即可求解． 【详解】（1）由题意，得 （2）由（1）得抛物线的解析式为． 令，则，得． ∴B点的坐标为． ， ∴． ∵， ∴直线的解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为． ∵在直线上， ∴． ∴． ∴直线的解析式为． （3）设P点坐标为． ∵点P在直线和抛物线上， ∴． ∴． 解得（舍去）． ∴点P的坐标为． 由翻折，得． ∵， ∴'． ∴． ． 设点E的坐标为，则． ． 当时，点E的坐标为． 设, 由，得： ， 解得：， 则点的坐标为． 当时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$